怎样证明两线段相等与两角相等.docx

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怎样证明两线段相等与两角相等

⒍怎样证明两线段相等与两角相等

【重点解读】

证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程.解决此类问题的关键是：

正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线，进行几何证明的叙述.

⒈怎样证明两线段相等

证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：

⑴三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；

②证明三角形全等：

全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；

③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；

④线段中垂线性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；

⑤角平分线性质：

角平分线上的点到这个角两边的距离相等；

⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；

⑵证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；

②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；

③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；

⑶圆①同圆或等圆的半径相等；

②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：

垂直于弦的直径平分这条弦；

平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；

③圆的旋转不变性：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；

④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；

⑷等量代换：

若a=b，b=c，则a=c；

等式性质：

若a=b，则a－c=b－c；若

，则a=b.

此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比

例的性质等证明线段相等.

⒉怎样证明两角相等

证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：

⑴同角（或等角）的余角、补角相等；

⑵证明两直线平行，同位角、内错角相等；

⑶到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；

⑷全等三角形、相似三角形的对应角相等；

⑸同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；

⑹平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等；

⑺同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；

⑻弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；

⑼从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；

⑽圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角；

⑾通过计算证明两角相等；

⑿等量代换，等式性质.

【典题精析】

例1已知：

如图，分别延长菱形ABCD的边AB、AD到点E、F，使得BE＝DF，

连结EC、FC．求证：

EC＝FC．

分析一要证明EC＝FC，

可通过证明△BCE≌△DCF，条件为边角边

证明一∵菱形ABCD，∴BC=DC，∠ABC=∠ADC，

例1图

∴∠CBE=∠CDF（等角的补角相等）

又∵BE＝DF，

∴△BCE≌△DCF，

∴EC＝FC.

分析二连结AC，证明△ACE≌△ACF，条件也为边角边

证明二连结AC，∵菱形ABCD，

∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，（菱形的对角线平分一组对角）

∵BE=DF∴AE=AF（等式性质），又AC=AC

∴△ACE≌△ACF，EC＝FC.

通过证三角形全等来证明两线段（或两角）相等是常用的方法，关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件，图形有的翻折全等，有的旋转全等，有的平移全等，有的是三者的综合形式，该问题是翻折型全等.

例2已知：

AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB

于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G.

求证：

⑴∠ACD=∠F；⑵AC2=AG·AF.

分析要证明∠ACD=∠F，可通过角之间的转化，

已知中AB是⊙O的直径是关键的条件，

连结BC，得∠ACB=90°，

∠ACD=∠B（直角三角形母子三角形中的对应角相等），

∠F=∠B，（同弧所对的圆周角相等）.

证明：

⑴连结BC，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），

即∠ACD+∠DCB=90°

∵CD⊥AB∴∠DCB+∠B=90°，∴∠ACD=∠B（同角的余角相等）

∵∠F=∠B，∴∠ACD=∠F（等量代换）.

⑵略

证明线段相等或角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联

系的线段或角作为桥梁，实现线段之间的转化或角之间的转化，从而证明它们的等量关系.直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.

例3已知：

如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，

且∠ADE=∠BDC.⑴求证：

△ABC为等腰三角形；

⑵若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长.

分析条件∠ADE=∠BDC的转化：

∠ADE=∠ABC，（圆的内接四边形的外角等于内对角）

∠BDC=∠BAC（同弧所对的圆周角相等），

可得∠ABC=∠BAC，△ABC为等腰三角形.

证明：

∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADE=∠ABC，

∵∠BDC=∠BAC，又∵∠ADE=∠BDC

∴∠ABC=∠BAC∴CA=CB（等角对等边）

即△ABC为等腰三角形.

例4已知：

如图，正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点，延长AB至E

使BE=CD，连结DE，交BC于点P.

⑴求证：

DP=PE；

⑵若D为AC的中点，求BP的长.（略）

分析要证明DP=PE，DP、PE不在同一三角形中，

考虑证三角形全等，但两线段居于的三角形不全等，

故考虑添加辅助线——平行线，构筑全等的三角形.

⑴证明：

过点D作DF∥AB，交BC于F

∵△ABC为正三角形∴∠CDF=∠A=60°

∴△CDF为正三角形，DF=CD

又BE=CD，∴BE=DF又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF

在△DFP和△EBP中，有：

∠PEB=∠PDF，∠BPE=∠FPD，BE=FD

∴△DFP≌△EBP，

∴DP=PE.

添加辅助线是几何证明和计算中常用的方法，通常有作平行线、作垂线、连结两点、延长线段相交等，正确添加辅助线是解决问题的关键.

该问题中添加平行线有多种方法，可以自所证线段的各分点处作平行线，如：

过点D作DF∥BC，过点E作EF∥AC等.

思考：

若将条件正△ABC改为等腰△ABC，AB=AC，结论DP=PE是否仍成立？

若将条件正△ABC改为等腰△ABC，CA=CB，结论DP=PE是否仍成立？

例5已知：

△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，

求证：

⑴G是CE的中点；⑵∠B=2∠BCE.

分析：

⑴已知中多垂直和中线条件，

可联想直角三角形斜边上的中线性质；

要证明G是CE的中点，结合已知条件DG⊥CE，

符合等腰三角形三线合一中的两个条件，

故连结DE，证明△DCE是等腰三角形，由DG⊥CE，

可得G是CE的中点.

⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE，∠B转化为∠EDB.

证明：

⑴连结DE，

∵∠ADB=90°，E是AB的中点，

∴DE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

又∵DC=BE，∴DC=DE，

又∵DG⊥CE，

∴G是CE中点（等腰三角形底边上的高平分底边）.

⑵∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC（等边对等角），

∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE（三角形的外角等于两不相邻内角的和），

又∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE

直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：

已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线.特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.

例6如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E，给出下列4个结论：

①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切线；④

=

；

其中一定成立的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

分析①可证得△CDF≌△CDE，得CE=CF成立；

②∠ACB和∠EDF（无直接关系，找相关的角）：

∠ACB与∠ACE邻角互补，∠EDF也和∠ACE互补（四边形的内角和360°），同角的补角相等，即∠ACB=∠EDF；

④

所对的圆周角为∠DCA，

所对的圆周角为∠DAB，∵∠DAB=∠DCE（四边形的外角等于不相邻的内角），又∠DCA=∠DCE，∴∠DCA=∠DCE，

=

，故选D.

一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题.

【智能巧练】

⒈⑴如图，△ABC中，∠B的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠D与

∠A的比是________

⑵如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP＇重合.如果AP=3，那么PP＇的长为_______.

⒉⑴如图，∠B、∠C的平分线交于点P，过点P作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，则（）

A.EF=EB+FCB.EF>EB+FC

C.EF

⑵在Rt△ABC中，AF是斜边BC上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为（）

A.

B.

C.

D.

⒉⑴⒉⑵

⑶在△ABC中，∠B=2∠C，则（）

A.2AB=ACB.2AB>ACC.2AB

⑷在⊙O中，如果

，那么弦AB与CD的大小关系是（）

A.AB=2CDB.AB>2CDC.AB<2CDD.不能确定

⒊如图，已知：

平行四边形ABCD中，E是CA延长线上的点，

F是AC延长线上的点，且AE=CF

求证：

⑴∠E=∠F；

⑵BE=DF

⒋如图，△ABC中，高BD、CE交于点F，且CG=AB，BF=AC，连接AF，

求证：

AG⊥AF

第4题第5题第6题

⒌Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上任意一点，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为F、E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并说明之.

⒍如图，AB是⊙O的直径，DC切⊙O于C，AD⊥DC，垂足为D，CE⊥AB，垂足E

求证：

CD=CE.

⒎已知：

如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D.延长DA交△ABC的外接圆于点F.

⑴求证：

FB=FC；

⑵若

，求FB的长.

第7题第8题

⒏梯形ABCD中AB//CD，对角线AC、BD垂直相交于H，M是AD上的点，MH所

在直线交BC于N.在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论

组成一个正确的命题，并证明这个命题.①AD=BC②MN⊥BC③AM=DM

【探索创新】

⒈探求：

等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和，

并证明：

距离之和是一个定值

已知：

如图，AB=AC，P为BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，

探求证明：

PE＋PF为定值.

分析探索定值

由P在BC上任意性知，当P移动到顶点C时，

PE即为C到AB的距离，PF为0，

此时PE+PF等于C到AB的距离.

故作高CD，猜想PE+PF等于一腰上的高.

证明定值

截长或补短法

过点P作PG⊥CD于G，易证得矩形DEPG，

得PE=DG；同时易证△CPG≌△PCF，得PF=CG，

∴PE+PF=DG+CG=CD.

面积法

题中有多个与高有关垂直关系，又AB=AC，联想面积法

连结AP，

AB·CD，

AB·PE，

AC·PF

∵

=

+

，即AB·CD=AB·PE+AC·PF

又AB=AC

∴PE＋PF=CD.

运用动点移动的方法构造特殊的图形位置，是探索定值问题常用的行之有效的方法

⒉⑴求证：

等腰三角形底边延长线上的任意一点到两腰的距离之差是定值

⑵求证：

等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值

【答案点击】

⒈⑴1∶2⑵

；⒉⑴A⑵⑶B⑷C；⒊证明△ABE≌△CDF，或连结ED、FB，证明平行四边形EBFD；⒋证明△CAG≌△BFA，∴∠G=∠BAF，∵∠G+∠GAE=90°，∴∠BAF+∠GAE=90°，∴AG⊥AF；⒌△MEF是等腰Rt△，连结AM，证△AME≌△BMF⒍连结AC，由DC切⊙O于C，得OC⊥DC，∵AD⊥DC，∴AD//OC，可证得AC是∠DAB的角平分线，得CD=CE⒎⑴∵∠DAC=∠FBC，∠EAD=∠FAB=∠FCB，∵∠DAC=∠EAD，∴∠FBC=∠FCB⑵证明△FBA∽△FDB，得FB=6⒏题设①②结论③证明略

⒎怎样证明关于线段的几何等式

【重点解读】

线段的几何等式，主要涉及线段的倍分关系式、和差关系式、比例式、等积式等.

证明线段倍分关系的定理和方法有：

三角形和梯形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、特殊四边形的性质等；探索、证明线段的倍分关系式，一般转化为证明线段的相等关系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法.证明线段的和差关系式，一般思路将线段加长或截短，转化为证明线段相等，利用等量代换或等式性质.

证明线段比例式的一般思路是：

把比例式中涉及的四条线段放入两个三角形，如果这两个三角形相似，且所给线段是对应线段，则问题得证；如果找不到两个三角形，或者找到的三角形不相似，可考虑将四条线段中的某些线段进行等量代换，再按上述方法探求证明；如果明显没有等量线段可替换，可找中间比.

证明线段等积式的一般思路：

先看等积式是否满足有关定理（射影定理、圆幂定理），如果满足，则结论成立；如果不满足，可把等积式化成比例式、或替换部分后化成比例式，再按比例式的证明方法证明.

证明过程中常用的定理和性质有：

比例性质、相似三角形的判定和性质、射影定理、圆幂定理、平行线分线段成比例定理.

【典题精析】

例1已知：

E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结

AE

，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，

连结OF，求证：

AB=2OF.分分析题中平行四边形条件可利用平行四边形的性质，

且中点条件居多，可考虑用中位线

证明：

连结BE，∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，AO=CO，

∵CE=DC∴AB∥＝CE，

∴四边形ABEC为平行四边形，

∴BF=FC，∴OF∥AB，

∴AB=2OF

线段之间的倍分关系式，常联想用中位线定理.

例2已知：

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，

BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，

求证：

⑴若B、C两点分别在AE的异侧，BD=DE+CE；

⑵若B、C两点分别在AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何，证明你的猜想.

分析⑴一条线段等于两线段之和，这里可找到与BD相等的线段AE，

易证得△BAD≌△ACE，同时AD=CE，故BD=AE=AD+DE=CE+DE（等量代换），

问题得证.

⑵同理，易证得△BAD≌△ACE，故BD+CE=AE+AD=DE.

证明：

略

例3如图，△ABC內接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E，

求证：

分析要证明这四条线段成比例，

可放入两三角形△ABD、△AEC，证三角形相似，

条件有两个：

∠D=∠C，

∠BAD=∠CAD（等弧所对的圆周角相等）

证明：

∵D是弧BC的中点，

∴∠BAD=∠CAD

∵∠D=∠C，∴△ABD∽△AEC∴

例4已知：

如图，等腰△ABC的顶角为锐角，以腰AB为直径的圆交BC于D，

交AC于E，DF⊥AC，垂足为F

求证：

分析一

把线段放入两个三角形中，

证两三角形相似

证明一连接AD、DE，

∵AB为直径，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

在△DEF和△ADF中，∠AFD=∠DFE=90°

∠DEF=∠ABC=∠C，∠ADF=90°－∠DAC=∠C，

∴∠DEF=∠ADF，∴△DEF∽△ADF，

∴

，即

.

分析二由射影定理知

，转化为证明EF=FC

证明二连结AD、DE，

∠ADC=∠DFC=90°，∠C=∠C，

∴△ADC∽△DFC，

，即

.

在△DEF和△DCF中，∠DFE=∠DFC=90°，

∠DEF=∠ABC=∠DCF，DF=DF，

∴△DEF≌△DCF，∴EF=FC，

∴

分析三证明DF是切线，由切割线定理即得

证明三连结OD，则OB=OD，∴∠ODB=∠OBD=∠ACB，∴OD∥AC，

又DF⊥AC，∴OD⊥DF，DF是⊙O的切线，∴

解题时，要充分利用已知条件，已知条件中的特殊条件更要发掘其内涵，注意条件之间的内在联系的运用.

例5已知：

BC为圆O的直径，AD⊥BC垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E

交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且A为弧BF的中点.

求证：

⑴AE=BE

⑵AH·BC=2AB·BE.

分析

⑴AE、BE在同一三角形中，易证等角对等边

⑵等积式中的四条线段分散在很多三角形中，

可将它们相对集中在两三角形△AFH、△BCH中，

AB转化为AF（等弧对等弦）；

系数2的思考：

Rt△ABH中，AE=BE，反之易证BH=2BE

证明：

⑴略，

⑵连结AF，

可证得△AFH∽△BCH，

，

又可证得AB=AF，

AE=EH=BE，BH=2BE，

∴

，∴AH·BC=2AB·BE

例6如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是

上一点（点P不

与A、C两点重合），连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，下列四个结论：

⑴

⑵∠EPC=∠APD⑶

⑷

正确的有_____.

分析

⑴直径AB垂直于弦CD，由圆的轴对称性得

；

⑵∠EPC是圆的内接四边形的外角，∠EPC=∠ADC

∠ADC=∠APD（等弧所对的圆周角相等），∴∠EPC=∠APD；

⑶若

成立，则△DAF∽△DPA，

但两三角形显然不相似（∠DAF≠∠DPA），故⑶不成立；

⑷由圆内成比例线段知，⑷显然成立；

∴正确的有⑴、⑵、⑷.

【智能巧练】

⒈⑴在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为_________.

⑵已知：

O为△ABC内的一点，过点O作EF、GH、QP分别平行于BC、AB、CA，交AB、BC、CA于点P、E、H、Q、F、G，

则

_______.

⒉选择：

⑴如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）

A.AE⊥AFB.EF∶AF=

∶1C.

D.FB∶FC=HB∶EC

第⑴题第⑵题第⑶题

⑵如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于E，

有如下结论:

①PA=PB+PC②PA·PE=PB·PC③

其中正确结论的个数有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

⑶如图，已知⊙

与⊙

外切于点C，AB是两圆的外公切线，切点为A、B，分别延长AC、BC交⊙

于点E，交⊙

于点D，下列结论，正确的有（）个

①AD为⊙

的直径②AD∥BE③AC·BC=DC·CE④AC·AE=BC·BD

A.1B.2C.3D.4

⒊已知：

如图，设D、E分别是△ABC外接圆的弧AB、AC的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G,

求证：

AF·AG=DF·EG..

第3题第4题

⒋⊙O的两条割线AB、AC分别交⊙O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC圆于G.

求证：

⑴AC·FG=BC·CG;

⑵若CF=AE，求证：

△ABC是等腰三角形.

⒌⑴如图，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重

合），直线l交⊙O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD．

求证：

①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF．

⑵在问题⑴中，直线l向下平行移动，与⊙O相切，其他条件不变．

①请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母；

②问题⑴中的两个结论是否仍成立？

如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

【探索创新】

已知：

AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，点E是

上一动点.

⑴如图1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，连结AD、CE，

求证：

①∠CED=∠ADE②

=NF·NE

⑵如图2，若DE与AC的延长线交于F，且DE=AC，那么

=NF·NE的结论是否成立？

若成立请证明，若不成立请说明理由.

图1图2

⑴证明：

①∵DE=AC，

∴

，

∴∠CED=∠ADE

②连结CN

∴CN=DN，∠NCF=∠ADE（圆的轴对称性质）

∵∠CED=∠ADE，∠CNF=∠ENC

∴△NCE∽△NFC

∴

，

∴

=NF·NE

【答案点击】

⒈⑴连接DF，由菱形的轴对称性知DF=BF，要使EF+BF最小，必两点之间线段最短，DE长就是，DE=3

⑵1⒉⑴B⑵B⑶D⒊连接AD、AE，证△ADF∽△EAG⒋连结CF，证△ACB∽△CGF⒌⑴①略，②连结DF，可证得△ACE∽△AFD，⑵结论仍成立.