怎样证明两线段相等与两角相等.docx
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怎样证明两线段相等与两角相等
⒍怎样证明两线段相等与两角相等
【重点解读】
证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型,主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力,其综合证明难度有所降低,但增加了探索的思维过程.解决此类问题的关键是:
正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定,正确添加辅助线,进行几何证明的叙述.
⒈怎样证明两线段相等
证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有:
⑴三角形①两线段在同一三角形中,通常证明等角对等边;
②证明三角形全等:
全等三角形的对应边相等,全等形包括平移型、旋转型、翻折型;
③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边;
④线段中垂线性质:
线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等;
⑤角平分线性质:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等;
⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边;
⑵证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分;
②矩形的对角线相等,菱形的四条边都相等;
③等腰梯形两腰相等,两条对角线相等;
⑶圆①同圆或等圆的半径相等;
②圆的轴对称性(垂径定理及其推论):
垂直于弦的直径平分这条弦;
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦;
③圆的旋转不变性:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都相等;
④从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等;
⑷等量代换:
若a=b,b=c,则a=c;
等式性质:
若a=b,则a-c=b-c;若
,则a=b.
此外,也有通过计算证明两线段相等,有些条件下可以利用面积法、相似线段成比
例的性质等证明线段相等.
⒉怎样证明两角相等
证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有:
⑴同角(或等角)的余角、补角相等;
⑵证明两直线平行,同位角、内错角相等;
⑶到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上;
⑷全等三角形、相似三角形的对应角相等;
⑸同一三角形中,等边对等角,等腰三角形三线合一;
⑹平行四边形的对角相等;等腰梯形同一底上的两个角相等;
⑺同圆中,同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等;
⑻弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角;
⑼从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角;
⑽圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角;
⑾通过计算证明两角相等;
⑿等量代换,等式性质.
【典题精析】
例1已知:
如图,分别延长菱形ABCD的边AB、AD到点E、F,使得BE=DF,
连结EC、FC.求证:
EC=FC.
分析一要证明EC=FC,
可通过证明△BCE≌△DCF,条件为边角边
证明一∵菱形ABCD,∴BC=DC,∠ABC=∠ADC,
例1图
∴∠CBE=∠CDF(等角的补角相等)
又∵BE=DF,
∴△BCE≌△DCF,
∴EC=FC.
分析二连结AC,证明△ACE≌△ACF,条件也为边角边
证明二连结AC,∵菱形ABCD,
∴AB=AD,∠BAC=∠DAC,(菱形的对角线平分一组对角)
∵BE=DF∴AE=AF(等式性质),又AC=AC
∴△ACE≌△ACF,EC=FC.
通过证三角形全等来证明两线段(或两角)相等是常用的方法,关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件,图形有的翻折全等,有的旋转全等,有的平移全等,有的是三者的综合形式,该问题是翻折型全等.
例2已知:
AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,过点C作直线CD⊥AB
于点D,E是AB上一点,直线CE与⊙O交于点F,连结AF,与直线CD交于点G.
求证:
⑴∠ACD=∠F;⑵AC2=AG·AF.
分析要证明∠ACD=∠F,可通过角之间的转化,
已知中AB是⊙O的直径是关键的条件,
连结BC,得∠ACB=90°,
∠ACD=∠B(直角三角形母子三角形中的对应角相等),
∠F=∠B,(同弧所对的圆周角相等).
证明:
⑴连结BC,∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角为直角),
即∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB∴∠DCB+∠B=90°,∴∠ACD=∠B(同角的余角相等)
∵∠F=∠B,∴∠ACD=∠F(等量代换).
⑵略
证明线段相等或角相等时,如果没有三角形全等,我们常找与它们都相关或都有联
系的线段或角作为桥梁,实现线段之间的转化或角之间的转化,从而证明它们的等量关系.直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.
例3已知:
如图,四边形ABCD内接于⊙O,过点A的切线与CD的延长线交于E,
且∠ADE=∠BDC.⑴求证:
△ABC为等腰三角形;
⑵若AE=6,BC=12,CD=5,求AD的长.
分析条件∠ADE=∠BDC的转化:
∠ADE=∠ABC,(圆的内接四边形的外角等于内对角)
∠BDC=∠BAC(同弧所对的圆周角相等),
可得∠ABC=∠BAC,△ABC为等腰三角形.
证明:
∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠ADE=∠ABC,
∵∠BDC=∠BAC,又∵∠ADE=∠BDC
∴∠ABC=∠BAC∴CA=CB(等角对等边)
即△ABC为等腰三角形.
例4已知:
如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E
使BE=CD,连结DE,交BC于点P.
⑴求证:
DP=PE;
⑵若D为AC的中点,求BP的长.(略)
分析要证明DP=PE,DP、PE不在同一三角形中,
考虑证三角形全等,但两线段居于的三角形不全等,
故考虑添加辅助线——平行线,构筑全等的三角形.
⑴证明:
过点D作DF∥AB,交BC于F
∵△ABC为正三角形∴∠CDF=∠A=60°
∴△CDF为正三角形,DF=CD
又BE=CD,∴BE=DF又DF∥AB,∴∠PEB=∠PDF
在△DFP和△EBP中,有:
∠PEB=∠PDF,∠BPE=∠FPD,BE=FD
∴△DFP≌△EBP,
∴DP=PE.
添加辅助线是几何证明和计算中常用的方法,通常有作平行线、作垂线、连结两点、延长线段相交等,正确添加辅助线是解决问题的关键.
该问题中添加平行线有多种方法,可以自所证线段的各分点处作平行线,如:
过点D作DF∥BC,过点E作EF∥AC等.
思考:
若将条件正△ABC改为等腰△ABC,AB=AC,结论DP=PE是否仍成立?
若将条件正△ABC改为等腰△ABC,CA=CB,结论DP=PE是否仍成立?
例5已知:
△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE,G是垂足,
求证:
⑴G是CE的中点;⑵∠B=2∠BCE.
分析:
⑴已知中多垂直和中线条件,
可联想直角三角形斜边上的中线性质;
要证明G是CE的中点,结合已知条件DG⊥CE,
符合等腰三角形三线合一中的两个条件,
故连结DE,证明△DCE是等腰三角形,由DG⊥CE,
可得G是CE的中点.
⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,BE=DE,∠B转化为∠EDB.
证明:
⑴连结DE,
∵∠ADB=90°,E是AB的中点,
∴DE=AE=BE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
又∵DC=BE,∴DC=DE,
又∵DG⊥CE,
∴G是CE中点(等腰三角形底边上的高平分底边).
⑵∵DE=DC,∴∠DCE=∠DEC(等边对等角),
∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE(三角形的外角等于两不相邻内角的和),
又∵DE=BE,∴∠B=∠EDB,∴∠B=2∠BCE
直角三角形、等腰三角形等特殊三角形,其特殊性质有:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式:
已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线.特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.
例6如图,⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D,DF⊥AC,垂足为F,DE⊥BC,垂足为E,给出下列4个结论:
①CE=CF;②∠ACB=∠EDF;③DE是⊙O的切线;④
=
;
其中一定成立的是()
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
分析①可证得△CDF≌△CDE,得CE=CF成立;
②∠ACB和∠EDF(无直接关系,找相关的角):
∠ACB与∠ACE邻角互补,∠EDF也和∠ACE互补(四边形的内角和360°),同角的补角相等,即∠ACB=∠EDF;
④
所对的圆周角为∠DCA,
所对的圆周角为∠DAB,∵∠DAB=∠DCE(四边形的外角等于不相邻的内角),又∠DCA=∠DCE,∴∠DCA=∠DCE,
=
,故选D.
一般的,证明线段相等或角相等,可根据条件寻找三角形,证三角形全等;无三角形全等时,可找与之相关连的线段或角,探索等量关系;证明弧相等,可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等,即转化为证明角相等的问题.
【智能巧练】
⒈⑴如图,△ABC中,∠B的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,则∠D与
∠A的比是________
⑵如图,△ABC是直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP'重合.如果AP=3,那么PP'的长为_______.
⒉⑴如图,∠B、∠C的平分线交于点P,过点P作EF∥BC,交AB于E,交AC于F,则()
A.EF=EB+FCB.EF>EB+FC
C.EF⑵在Rt△ABC中,AF是斜边BC上的高线,且BD=DC=FC=1,则AC的长为()
A.
B.
C.
D.
⒉⑴⒉⑵
⑶在△ABC中,∠B=2∠C,则()
A.2AB=ACB.2AB>ACC.2AB⑷在⊙O中,如果
,那么弦AB与CD的大小关系是()
A.AB=2CDB.AB>2CDC.AB<2CDD.不能确定
⒊如图,已知:
平行四边形ABCD中,E是CA延长线上的点,
F是AC延长线上的点,且AE=CF
求证:
⑴∠E=∠F;
⑵BE=DF
⒋如图,△ABC中,高BD、CE交于点F,且CG=AB,BF=AC,连接AF,
求证:
AG⊥AF
第4题第5题第6题
⒌Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC上任意一点,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足分别为F、E,M为BC中点,试判断△MEF是什么形状的三角形,并说明之.
⒍如图,AB是⊙O的直径,DC切⊙O于C,AD⊥DC,垂足为D,CE⊥AB,垂足E
求证:
CD=CE.
⒎已知:
如图,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D.延长DA交△ABC的外接圆于点F.
⑴求证:
FB=FC;
⑵若
,求FB的长.
第7题第8题
⒏梯形ABCD中AB//CD,对角线AC、BD垂直相交于H,M是AD上的点,MH所
在直线交BC于N.在以上前提下,试将下列设定中的两个作为题设,另一个作为结论
组成一个正确的命题,并证明这个命题.①AD=BC②MN⊥BC③AM=DM
【探索创新】
⒈探求:
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和,
并证明:
距离之和是一个定值
已知:
如图,AB=AC,P为BC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,
探求证明:
PE+PF为定值.
分析探索定值
由P在BC上任意性知,当P移动到顶点C时,
PE即为C到AB的距离,PF为0,
此时PE+PF等于C到AB的距离.
故作高CD,猜想PE+PF等于一腰上的高.
证明定值
截长或补短法
过点P作PG⊥CD于G,易证得矩形DEPG,
得PE=DG;同时易证△CPG≌△PCF,得PF=CG,
∴PE+PF=DG+CG=CD.
面积法
题中有多个与高有关垂直关系,又AB=AC,联想面积法
连结AP,
AB·CD,
AB·PE,
AC·PF
∵
=
+
,即AB·CD=AB·PE+AC·PF
又AB=AC
∴PE+PF=CD.
运用动点移动的方法构造特殊的图形位置,是探索定值问题常用的行之有效的方法
⒉⑴求证:
等腰三角形底边延长线上的任意一点到两腰的距离之差是定值
⑵求证:
等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值
【答案点击】
⒈⑴1∶2⑵
;⒉⑴A⑵⑶B⑷C;⒊证明△ABE≌△CDF,或连结ED、FB,证明平行四边形EBFD;⒋证明△CAG≌△BFA,∴∠G=∠BAF,∵∠G+∠GAE=90°,∴∠BAF+∠GAE=90°,∴AG⊥AF;⒌△MEF是等腰Rt△,连结AM,证△AME≌△BMF⒍连结AC,由DC切⊙O于C,得OC⊥DC,∵AD⊥DC,∴AD//OC,可证得AC是∠DAB的角平分线,得CD=CE⒎⑴∵∠DAC=∠FBC,∠EAD=∠FAB=∠FCB,∵∠DAC=∠EAD,∴∠FBC=∠FCB⑵证明△FBA∽△FDB,得FB=6⒏题设①②结论③证明略
⒎怎样证明关于线段的几何等式
【重点解读】
线段的几何等式,主要涉及线段的倍分关系式、和差关系式、比例式、等积式等.
证明线段倍分关系的定理和方法有:
三角形和梯形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、特殊四边形的性质等;探索、证明线段的倍分关系式,一般转化为证明线段的相等关系,采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法.证明线段的和差关系式,一般思路将线段加长或截短,转化为证明线段相等,利用等量代换或等式性质.
证明线段比例式的一般思路是:
把比例式中涉及的四条线段放入两个三角形,如果这两个三角形相似,且所给线段是对应线段,则问题得证;如果找不到两个三角形,或者找到的三角形不相似,可考虑将四条线段中的某些线段进行等量代换,再按上述方法探求证明;如果明显没有等量线段可替换,可找中间比.
证明线段等积式的一般思路:
先看等积式是否满足有关定理(射影定理、圆幂定理),如果满足,则结论成立;如果不满足,可把等积式化成比例式、或替换部分后化成比例式,再按比例式的证明方法证明.
证明过程中常用的定理和性质有:
比例性质、相似三角形的判定和性质、射影定理、圆幂定理、平行线分线段成比例定理.
【典题精析】
例1已知:
E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连结
AE
,分别交BC、BD于点F、G,连接AC交BD于O,
连结OF,求证:
AB=2OF.分分析题中平行四边形条件可利用平行四边形的性质,
且中点条件居多,可考虑用中位线
证明:
连结BE,∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,AO=CO,
∵CE=DC∴AB∥=CE,
∴四边形ABEC为平行四边形,
∴BF=FC,∴OF∥AB,
∴AB=2OF
线段之间的倍分关系式,常联想用中位线定理.
例2已知:
△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,
BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,
求证:
⑴若B、C两点分别在AE的异侧,BD=DE+CE;
⑵若B、C两点分别在AE的同侧,其余条件不变,则BD与DE、CE的关系如何,证明你的猜想.
分析⑴一条线段等于两线段之和,这里可找到与BD相等的线段AE,
易证得△BAD≌△ACE,同时AD=CE,故BD=AE=AD+DE=CE+DE(等量代换),
问题得证.
⑵同理,易证得△BAD≌△ACE,故BD+CE=AE+AD=DE.
证明:
略
例3如图,△ABC內接于圆,D是弧BC的中点,AD交BC于E,
求证:
分析要证明这四条线段成比例,
可放入两三角形△ABD、△AEC,证三角形相似,
条件有两个:
∠D=∠C,
∠BAD=∠CAD(等弧所对的圆周角相等)
证明:
∵D是弧BC的中点,
∴∠BAD=∠CAD
∵∠D=∠C,∴△ABD∽△AEC∴
例4已知:
如图,等腰△ABC的顶角为锐角,以腰AB为直径的圆交BC于D,
交AC于E,DF⊥AC,垂足为F
求证:
分析一
把线段放入两个三角形中,
证两三角形相似
证明一连接AD、DE,
∵AB为直径,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
在△DEF和△ADF中,∠AFD=∠DFE=90°
∠DEF=∠ABC=∠C,∠ADF=90°-∠DAC=∠C,
∴∠DEF=∠ADF,∴△DEF∽△ADF,
∴
,即
.
分析二由射影定理知
,转化为证明EF=FC
证明二连结AD、DE,
∠ADC=∠DFC=90°,∠C=∠C,
∴△ADC∽△DFC,
,即
.
在△DEF和△DCF中,∠DFE=∠DFC=90°,
∠DEF=∠ABC=∠DCF,DF=DF,
∴△DEF≌△DCF,∴EF=FC,
∴
分析三证明DF是切线,由切割线定理即得
证明三连结OD,则OB=OD,∴∠ODB=∠OBD=∠ACB,∴OD∥AC,
又DF⊥AC,∴OD⊥DF,DF是⊙O的切线,∴
解题时,要充分利用已知条件,已知条件中的特殊条件更要发掘其内涵,注意条件之间的内在联系的运用.
例5已知:
BC为圆O的直径,AD⊥BC垂足为D,过点B作弦BF交AD于点E
交半圆O于点F,弦AC与BF交于点H,且A为弧BF的中点.
求证:
⑴AE=BE
⑵AH·BC=2AB·BE.
分析
⑴AE、BE在同一三角形中,易证等角对等边
⑵等积式中的四条线段分散在很多三角形中,
可将它们相对集中在两三角形△AFH、△BCH中,
AB转化为AF(等弧对等弦);
系数2的思考:
Rt△ABH中,AE=BE,反之易证BH=2BE
证明:
⑴略,
⑵连结AF,
可证得△AFH∽△BCH,
,
又可证得AB=AF,
AE=EH=BE,BH=2BE,
∴
,∴AH·BC=2AB·BE
例6如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为H,点P是
上一点(点P不
与A、C两点重合),连结PC、PD、PA、AD,点E在AP的延长线上,PD与AB交于点F,下列四个结论:
⑴
⑵∠EPC=∠APD⑶
⑷
正确的有_____.
分析
⑴直径AB垂直于弦CD,由圆的轴对称性得
;
⑵∠EPC是圆的内接四边形的外角,∠EPC=∠ADC
∠ADC=∠APD(等弧所对的圆周角相等),∴∠EPC=∠APD;
⑶若
成立,则△DAF∽△DPA,
但两三角形显然不相似(∠DAF≠∠DPA),故⑶不成立;
⑷由圆内成比例线段知,⑷显然成立;
∴正确的有⑴、⑵、⑷.
【智能巧练】
⒈⑴在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E为AB的中点,F是AC上的一动点,则EF+BF的最小值为_________.
⑵已知:
O为△ABC内的一点,过点O作EF、GH、QP分别平行于BC、AB、CA,交AB、BC、CA于点P、E、H、Q、F、G,
则
_______.
⒉选择:
⑴如图,将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连接EF交AB于H,则下列结论错误的是()
A.AE⊥AFB.EF∶AF=
∶1C.
D.FB∶FC=HB∶EC
第⑴题第⑵题第⑶题
⑵如图,正△ABC内接于⊙O,P是劣弧BC上任意一点,PA与BC交于E,
有如下结论:
①PA=PB+PC②PA·PE=PB·PC③
其中正确结论的个数有()
A.3个B.2个C.1个D.0个
⑶如图,已知⊙
与⊙
外切于点C,AB是两圆的外公切线,切点为A、B,分别延长AC、BC交⊙
于点E,交⊙
于点D,下列结论,正确的有()个
①AD为⊙
的直径②AD∥BE③AC·BC=DC·CE④AC·AE=BC·BD
A.1B.2C.3D.4
⒊已知:
如图,设D、E分别是△ABC外接圆的弧AB、AC的中点,弦DE交AB于点F,交AC于点G,
求证:
AF·AG=DF·EG..
第3题第4题
⒋⊙O的两条割线AB、AC分别交⊙O于D、B、E、C,弦DF∥AC交BC圆于G.
求证:
⑴AC·FG=BC·CG;
⑵若CF=AE,求证:
△ABC是等腰三角形.
⒌⑴如图,已知直线AB过圆心O,交⊙O于A、B,直线AF交⊙O于F(不与B重
合),直线l交⊙O于C、D,交AB于E,且与AF垂直,垂足为G,连结AC、AD.
求证:
①∠BAD=∠CAG;②AC·AD=AE·AF.
⑵在问题⑴中,直线l向下平行移动,与⊙O相切,其他条件不变.
①请你画出变化后的图形,并对照图,标记字母;
②问题⑴中的两个结论是否仍成立?
如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
【探索创新】
已知:
AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于M,点E是
上一动点.
⑴如图1,若DE交AB于N,交AC于F,且DE=AC,连结AD、CE,
求证:
①∠CED=∠ADE②
=NF·NE
⑵如图2,若DE与AC的延长线交于F,且DE=AC,那么
=NF·NE的结论是否成立?
若成立请证明,若不成立请说明理由.
图1图2
⑴证明:
①∵DE=AC,
∴
,
∴∠CED=∠ADE
②连结CN
∴CN=DN,∠NCF=∠ADE(圆的轴对称性质)
∵∠CED=∠ADE,∠CNF=∠ENC
∴△NCE∽△NFC
∴
,
∴
=NF·NE
【答案点击】
⒈⑴连接DF,由菱形的轴对称性知DF=BF,要使EF+BF最小,必两点之间线段最短,DE长就是,DE=3
⑵1⒉⑴B⑵B⑶D⒊连接AD、AE,证△ADF∽△EAG⒋连结CF,证△ACB∽△CGF⒌⑴①略,②连结DF,可证得△ACE∽△AFD,⑵结论仍成立.