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计算机二级公共基础知识辅导讲义

全国计算机等级考试——二级公共基础知识辅导讲义

第一章数据结构与算法

1.1算法

1、算法是指解题方案的准确而完整的描述。

换句话说，算法是对特定问题求解步骤的一种描述。

*：

算法不等于程序，也不等于计算方法。

程序的编制不可能优于算法的设计。

2、算法的基本特征

（1）可行性。

针对实际问题而设计的算法，执行后能够得到满意的结果。

（2）确定性。

每一条指令的含义明确，无二义性。

并且在任何条件下，算法只有唯一的一条执行路径，即相同的输入只能得出相同的输出。

（3）有穷性。

算法必须在有限的时间内完成。

有两重含义，一是算法中的操作步骤为有限个，二是每个步骤都能在有限时间内完成。

（4）拥有足够的情报。

算法中各种运算总是要施加到各个运算对象上，而这些运算对象又可能具有某种初始状态，这就是算法执行的起点或依据。

因此，一个算法执行的结果总是与输入的初始数据有关，不同的输入将会有不同的结果输出。

当输入不够或输入错误时，算法将无法执行或执行有错。

一般说来，当算法拥有足够的情报时，此算法才是有效的；而当提供的情报不够时，算法可能无效。

*：

综上所述，所谓算法，是一组严谨地定义运算顺序的规则，并且每一个规则都是有效的，且是明确的，此顺序将在有限的次数下终止。

3、算法复杂度主要包括时间复杂度和空间复杂度。

（1）算法时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量，可以用执行算法的过程中所需基本运算的执行次数来度量。

（2）算法空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

1.2数据结构的基本概念

1、数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。

2、数据结构主要研究和讨论以下三个方面的问题：

（1）数据集合中各数据元素之间所固有的逻辑关系，即数据的逻辑结构。

数据的逻辑结构包含：

1）表示数据元素的信息；2）表示各数据元素之间的前后件关系。

（2）在对数据进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数据的存储结构。

数据的存储结构有顺序、链接、索引等。

1）顺序存储。

它是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置相邻的存储单元里，结点间的逻辑关系由存储单元的邻接关系来体现。

由此得到的存储表示称为顺序存储结构。

2）链接存储。

它不要求逻辑上相邻的结点在物理位置上亦相邻，结点间的逻辑关系是由附加的指针字段表示的。

由此得到的存储表示称为链式存储结构。

3）索引存储：

除建立存储结点信息外，还建立附加的索引表来标识结点的地址。

*：

数据的逻辑结构反映数据元素之间的逻辑关系，数据的存储结构（也称数据的物理结构）是数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式。

同一种逻辑结构的数据可以采用不同的存储结构，但影响数据处理效率。

（3）对各种数据结构进行的运算。

3、数据结构的图形表示

一个数据结构除了用二元关系表示外，还可以直观地用图形表示。

在数据结构的图形表示中，对于数据集合D中的每一个数据元素用中间标有元素值的方框表示，一般称之为数据结点，并简称为结点；为了进一步表示各数据元素之间的前后件关系，对于关系R中的每一个二元组，用一条有向线段从前件结点指向后件结点。

4、数据结构分为两大类型：

线性结构和非线性结构。

（1）线性结构（非空的数据结构）条件：

1）有且只有一个根结点；2）每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。

*：

常见的线性结构有线性表、栈、队列和线性链表等。

（2）非线性结构：

不满足线性结构条件的数据结构。

*：

常见的非线性结构有树、二叉树和图等。

1.3线性表及其顺序存储结构

1、线性表由一组数据元素构成，数据元素的位置只取决于自己的序号，元素之间的相对位置是线性的。

线性表是由n（n≥0）个数据元素组成的一个有限序列，表中的每一个数据元素，除了第一个外，有且只有一个前件，除了最后一个外，有且只有一个后件。

线性表中数据元素的个数称为线性表的长度。

线性表可以为空表。

*：

线性表是一种存储结构，它的存储方式：

顺序和链式。

2、线性表的顺序存储结构具有两个基本特点：

（1）线性表中所有元素所占的存储空间是连续的；

（2）线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。

*：

由此可以看出，在线性表的顺序存储结构中，其前后件两个元素在存储空间中是紧邻的，且前件元素一定存储在后件元素的前面，可以通过计算机直接确定第i个结点的存储地址。

3、顺序表的插入、删除运算

（1）顺序表的插入运算：

在一般情况下，要在第i（1≤i≤n）个元素之前插入一个新元素时，首先要从最后一个（即第n个）元素开始，直到第i个元素之间共n-i+1个元素依次向后移动一个位置，移动结束后，第i个位置就被空出，然后将新元素插入到第i项。

插入结束后，线性表的长度就增加了1。

*：

顺性表的插入运算时需要移动元素，在等概率情况下，平均需要移动n/2个元素。

（2）顺序表的删除运算：

在一般情况下，要删除第i（1≤i≤n）个元素时，则要从第i+1个元素开始，直到第n个元素之间共n-i个元素依次向前移动一个位置。

删除结束后，线性表的长度就减小了1。

*：

进行顺性表的删除运算时也需要移动元素，在等概率情况下，平均需要移动（n-1）/2个元素。

插入、删除运算不方便。

1.4栈和队列

1、栈及其基本运算

栈是限定在一端进行插入与删除运算的线性表。

在栈中，允许插入与删除的一端称为栈顶，不允许插入与删除的另一端称为栈底。

栈顶元素总是最后被插入的元素，栈底元素总是最先被插入的元素。

即栈是按照“先进后出”或“后进先出”的原则组织数据的。

栈具有记忆作用。

栈的基本运算：

1）插入元素称为入栈运算；2）删除元素称为退栈运算；3）读栈顶元素是将栈顶元素赋给一个指定的变量，此时指针无变化。

栈的存储方式和线性表类似，也有两种，即顺序栈和链式栈。

2、队列及其基本运算

队列是指允许在一端（队尾）进入插入，而在另一端（队头）进行删除的线性表。

尾指针（Rear）指向队尾元素，头指针（front）指向排头元素的前一个位置（队头）。

队列是“先进先出”或“后进后出”的线性表。

队列运算包括：

1）入队运算：

从队尾插入一个元素；2）退队运算：

从队头删除一个元素。

循环队列及其运算：

所谓循环队列，就是将队列存储空间的最后一个位置绕到第一个位置，形成逻辑上的环状空间，供队列循环使用。

在循环队列中，用队尾指针rear指向队列中的队尾元素，用排头指针front指向排头元素的前一个位置，因此，从头指针front指向的后一个位置直到队尾指针rear指向的位置之间，所有的元素均为队列中的元素。

*：

循环队列中元素的个数=rear-front。

1.5线性链表

1、线性表顺序存储的缺点：

（1）插入或删除的运算效率很低。

在顺序存储的线性表中，插入或删除数据元素时需要移动大量的数据元素；

（2）线性表的顺序存储结构下，线性表的存储空间不便于扩充；（3）线性表的顺序存储结构不便于对存储空间的动态分配。

2、线性链表：

线性表的链式存储结构称为线性链表，是一种物理存储单元上非连续、非顺序的存储结构，数据元素的逻辑顺序是通过链表中的指针链接来实现的。

因此，在链式存储方式中，每个结点由两部分组成：

一部分用于存放数据元素的值，称为数据域；另一部分用于存放指针，称为指针域，用于指向该结点的前一个或后一个结点（即前件或后件），如下图所示：

线性链表分为单链表、双向链表和循环链表三种类型。

在单链表中，每一个结点只有一个指针域，由这个指针只能找到其后件结点，而不能找到其前件结点。

因此，在某些应用中，对于线性链表中的每个结点设置两个指针，一个称为左指针，指向其前件结点；另一个称为右指针，指向其后件结点，这种链表称为双向链表，如下图所示：

3、线性链表的基本运算

（1）在线性链表中包含指定元素的结点之前插入一个新元素。

*：

在线性链表中插入元素时，不需要移动数据元素，只需要修改相关结点指针即可，也不会出现“上溢”现象。

（2）在线性链表中删除包含指定元素的结点。

*：

在线性链表中删除元素时，也不需要移动数据元素，只需要修改相关结点指针即可。

（3）将两个线性链表按要求合并成一个线性链表。

（4）将一个线性链表按要求进行分解。

（5）逆转线性链表。

（6）复制线性链表。

（7）线性链表的排序。

（8）线性链表的查找。

*：

线性链表不能随机存取。

4、循环链表及其基本运算

在线性链表中，其插入与删除的运算虽然比较方便，但还存在一个问题，在运算过程中对于空表和对第一个结点的处理必须单独考虑，使空表与非空表的运算不统一。

为了克服线性链表的这个缺点，可以采用另一种链接方式，即循环链表。

与前面所讨论的线性链表相比，循环链表具有以下两个特点：

1）在链表中增加了一个表头结点，其数据域为任意或者根据需要来设置，指针域指向线性表的第一个元素的结点，而循环链表的头指针指向表头结点；2）循环链表中最后一个结点的指针域不是空，而是指向表头结点。

即在循环链表中，所有结点的指针构成了一个环状链。

下图a是一个非空的循环链表，图b是一个空的循环链表：

循环链表的优点主要体现在两个方面：

一是在循环链表中，只要指出表中任何一个结点的位置，就可以从它出发访问到表中其他所有的结点，而线性单链表做不到这一点；二是由于在循环链表中设置了一个表头结点，在任何情况下，循环链表中至少有一个结点存在，从而使空表与非空表的运算统一。

*：

循环链表是在单链表的基础上增加了一个表头结点，其插入和删除运算与单链表相同。

但它可以从任一结点出发来访问表中其他所有结点，并实现空表与非空表的运算的统一。

1.6树与二叉树

1、树的基本概念

树是一种简单的非线性结构。

在树这种数据结构中，所有数据元素之间的关系具有明显的层次特性。

在树结构中，每一个结点只有一个前件，称为父结点。

没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称树的根。

每一个结点可以有多个后件，称为该结点的子结点。

没有后件的结点称为叶子结点。

在树结构中，一个结点所拥有的后件的个数称为该结点的度，所有结点中最大的度称为树的度。

树的最大层次称为树的深度。

2、二叉树及其基本性质

（1）什么是二叉树

二叉树是一种很有用的非线性结构，它具有以下两个特点：

1）非空二叉树只有一个根结点；2）每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树与右子树。

*：

根据二叉树的概念可知，二叉树的度可以为0（叶结点）、1（只有一棵子树）或2（有2棵子树）。

（2）二叉树的基本性质

性质1在二叉树的第k层上，最多有个结点。

性质2深度为m的二叉树最多有个个结点。

性质3在任意一棵二叉树中，度数为0的结点（即叶子结点）总比度为2的结点多一个。

性质4具有n个结点的二叉树，其深度至少为，其中表示取的整数部分。

3、满二叉树与完全二叉树

满二叉树：

除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。

完全二叉树：

除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。

*：

根据完全二叉树的定义可得出：

度为1的结点的个数为0或1。

下图a表示的是满二叉树，下图b表示的是完全二叉树：

完全二叉树还具有如下两个特性：

性质5具有n个结点的完全二叉树深度为。

性质6设完全二叉树共有n个结点，如果从根结点开始，按层序（每一层从左到右）用自然数1，2，…，n给结点进行编号，则对于编号为k（k=1，2，…，n）的结点有以下结论：

①若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k>1，则该结点的父结点的编号为INT（k/2）。

②若2k≤n，则编号为k的左子结点编号为2k；否则该结点无左子结点（显然也没有右子结点）。

③若2k+1≤n，则编号为k的右子结点编号为2k+1；否则该结点无右子结点。

4、二叉树的存储结构

在计算机中，二叉树通常采用链式存储结构。

与线性链表类似，用于存储二叉树中各元素