SARS疫情分析与经济预测模型.docx
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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
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第10篇 SARS疫情分析与经济预测模型
摘要
本文以微分方程为理论基础，综合运用机理分析和参数辨识的一般原理建立数学模型，利用统计数据，研究了SARS的传播规律，并利用时间序列分析等预测方法，针对SARS对海外旅游业的影响，做出合理的预测。
问题
（1），从参数的合理性与使用性出发，对题目提供的模型进行客观的评价。
问题
（2），首先，见社会系统的人群分为四类：
健康类、潜伏类、病人类、退出类，建立了转化关系；其次由于疫情发展规律主要有日接触率l（t）制
约，将疫情发展过程分为控制前阶段可控制后阶段。
控制前阶段考虑了超级传染事件（SSE）的影响，将SSE事件对疫情的影响等效为一个脉冲的瞬时行为，建立脉冲微分方程组模型；控制后阶段详细刻画l（t）的影响因素，即l（t）受人们防范意识的影响，而防范意识受卫生部门措施力度和人们警惕指标两个因素的影响；结合事件定性或定量地刻画了各因素的内在关系，建立了微分方程模型；最后，用数值方法对模型进行求解，并用参数辨识确认l（t）中的未知参数。
问题（3），以预测SARS对海外旅游人数的影响为例建立了两个模型。
模型一，首先综合利用时间序列分析法和灰色GM（1,1）建立了预测模型，预测了若不发生SARS，2003年4~12月的旅游人数分别为30.3,30.2,28.9,30.9，33.2,33.5,33.2,28.9,29.1；之后，通过定性分析面对危机事件
时，人们心里恐慌度的变化规律，建立了疫情与恐慌度的联系；又由于旅游业受到的影响与疫情带来的恐慌度正相关，从而跟了疫情可以得出海外旅游人数收到的影响，5月影响最大，10月影响比较小，到第二年的2月完全恢复；求解得到2003年5~12月的旅游人数分别为21.2,14.9,17.0,22.7,24.1,23.7,19.3,19.2；模型二，基于时间序列分析方法预测出了相应的影响。
问题
（2）的结果分析，对卫生部采取严格隔离措施的时间、卫生部门措施力度、人们的警惕程度三个因素对疫情的影响，分别绘制了对比曲线，并结合实际进行了比较深入的分析，对卫生部门所采取的措施作了评价。
问题（3）的结果分析，通过对比模型一与模型二的结果进一步验证模型一得合理性。
最后，对模型的优缺点进行了分析，提出改进方案，并给报社写了一篇短文，说明了建立传染病模型的重要性。
22
1.问题的重述
SARS作为21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，它的爆发和蔓延给我国的经济发展和人们生活带来很大影响，同时也给人们许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性，现在的问题是针对SARS的传播建立数学模型，要求如下：
（1）对题目中所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立自己的模型，并比较它与题目提供模型的优劣；对建立一个正能够预测且能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，提出建议，并指出难点所在；另外，对卫生部门所采取的措施作出评价，如提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响作出估计。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的模型，并进行预
测
（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
2.问题的分析
实际中，SARS的传染过程为：
“易感染人群愈者）”
¾®潜伏人群
¾®发病人群
¾®退出者（包括死亡和治
通过分析各类人群之间的转化关系，可以建立微分方程模型来刻画SARS
传染规律。
疫情的变化主要受日接触率l（t）影响，在不同的时段，l（t）的影响因素不同。
在SARS传播过程中，卫生部门的干预起较大作用，以卫生部门采
取控制措施的时刻t0作为分割点，将SARS传播过程分为控制前阶段和控制后阶段。
在控制前阶段，SARS按自然传播规律传播，l（t）可视为常量。
同时，在疫情初期，人们的防范意识比较薄弱，在加上SARS自身的传播特点，在个别地区出现了“超级传染事件” （SSE），即SARS病毒感染者在社会上的超级传播事件。
到了中后期，随着人们防范意识的增强，SSE发生的概率减小，因此，SSE在SARS的疫情早期对疫情的发展产生了很大影响。
SSE的特征在于，在较短的时间内，可是传染者数目快速增加。
故可将SSE对疫情的影响看作一个脉冲的瞬时行为，用脉冲微分方程描述。
在控制后阶段，随着人们防范措施的增强，促使日传染率l（t）减小。
引起人们防范措施增强的原因主要有两方面：
（1）来自于因对疫情的恐慌心理，而迫使人们加强自身防范意识，用警惕指标h（t）来刻画；
（2）来自于卫生部门政策、法律法规的颁布等，而加强了防范措施意识，用卫生部门措施力度g（t）来刻画。
疫情严重
以上两个方面又都受疫情数据的影响，关系如图10-1所示。
卫生部门防范措施
l（t）减小
人们防范意识增强
疫情减缓
图10—1防范指标与疫情的关系
在做定量分析计算时，可以先用定性分析方法确定个因素之间的函数关系，再在求解过程中利用参数辨识方法确定其中的参数。
对于问题（3），要求预测SARS对经济某方面的影响，根据海外旅游人数的数据建立模型，来预测SARS疫情对海外旅游业的影响。
首先，观察海外旅游人数随时间变化关系图（如图10-2所示），可以得到此数据无很好的统计规律，但其作为时间序列具有增长的趋势和较明显的周期性变化趋势。
首先，将其作为一个经济系统，显然是一个灰色系统，于是可利用灰色模型GM（1,1）对此序列的确定性趋势进行预测。
然后，注意到该序列明显地具有周期特性，则可用时间序列分析方法对此序列的随即变化情况进行预测。
另外，为了建立疫情变化与海外旅游人数变化的关系，可以从疫情引起人们一定的心理
恐慌，而人们的心理恐慌又会对经济造成一定影响着手进行分析。
图10-2 旅游人数曲线
3.1模型的假设
3.模型的假设与符号说明
（1）由于SARS的传染期不是很长，故不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率；
（2）平均潜伏期为6天；
（3）处于潜伏期的SARS病人不具有传染性；
（4）题目提供的相关数据真实可信。
3.2符号说明
t0表示最初发现SARS患者到卫生部门采取预防措施的时间间隔；
N表示城市总人口述；
S（t）表示t时刻健康人数占总人数的比例；
I（t）表示t时刻感染人数占总人数的比例；
E（t）表示t时刻潜伏期的人数占总人数的比例；
Q（t）表示t时刻退出类的人数占总人数的比例；
f（t）表示疫情指标；
g（t）表示卫生部门预防措施的力度；
h（t）表示人们的警惕性指标；
b（t）表示t时刻实际的新增确诊人数；
l（t）表示日接触率，即表示每个病人平均每天有效接触的人数；
w（t）表示防范意识；
b''（t）表示模型计算得到的t时刻新增确诊人数。
4.模型的建立于求解
4.1问题
（1）：
基本模型的评价
题目中的基本模型，提出病例数目的增长随时间t的变化关系为
N=N0（1+K）t
该模型简单直观刻画了随着公众的防范意识、政府的防范措施的变化非典患者数目的变化。
模型中的显性参数和隐性参数决定了疫情的发展趋势
4.1.1模型的合理性
模型中的参数具有实际的物理意义，参数K表示在一定地理范围内一个人使其他人感染的概率。
在疫情的整个发展过程中，K取决于政府的防范措施和公众的防范意识等因素，且在疫情初期和疫情中后期其大小是不一样的。
在疫情初期，政府措施和人们的防范意识较弱，因此K较大；中后期由于政府采取措施，相应地人们的防范意识增强，值开始减小。
模型中给出的物理意义符合实际情况，且反映了实际的疫情，是合理的。
参数 在模型中表示病人的传染期，模型中给出了 L＝20，是基于实际疫情发展数据得出的，反映了SARS病毒本身的特性。
4.1.2模型的适用性
通过调整参数可计算出不同地区疫情发展周期和峰值，并作相对比较。
模型通过对香港数据和广州数据进行了计算和分析，和实际结果符合得较好，并对北京进行了预测和分析，与实际虽有一定的偏差，但考虑在模型较为简单的情况下，还是具有一定的优点。
4.2问题
（2）：
SARS的传播模型
4.2.1各类人群的转化过程
由问题的分析，将人群分为健康人类S，病毒潜伏类E，发病人群I，退出人去Q四类。
相互之间的转化关系为如图10—3所示。
易感染人类S
l（t）SNI
潜伏类
E
eNE
病人类I
wN
退出类
Q
传染 发病 退出
图10—3四类人群的转化过程
（1）易感染人群与潜伏人群间的转化。
易感者和发病者有效接触后，被感染成为病毒潜伏者。
设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为l（t），SNI个发病者平均每天能使l（t）SNI个易感者成为病毒潜伏者。
故有
NdS
dt
=-lSNI
，即dS=-lSI。
dt
（2）潜伏人群与发病人群间的转化。
病毒潜伏人群的变化等于易感人群转
入的数量减去转化为发病人群的数量，即
dE=Sl（）
dt
-eE
其中e表示潜伏期内的日发病率，根据有关文献资料[1],在这里取e=1。
6
（3）发病人群与退出人群的转化。
单位时间内退出人群的变化等于发病人群的减少数量，即
dQ=wIdt
其中w表示日退出率，根据有关资料，取w=0.008[1].
综上所述，建立了整个系统中各类人群的转化过程，下面将
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