邻接矩阵表示图深度广度优先遍历.docx
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邻接矩阵表示图深度广度优先遍历
*问题描述:
建立图的存储结构(图的类型可以是有向图、无向图、有向网、无向网,学生可以任选两种类型),能够输入图的顶点和边的信息,并存储到相应存储结构中,而后输出图的邻接矩阵。
1、邻接矩阵表示法:
设G=(V,E)是一个图,其中V={V1,V2,V3…,Vn}。
G的邻接矩阵是一个他有下述性质的n阶方阵:
1,若(Vi,Vj)∈E或∈E;
A[i,j]={
1,反之
图5-2中有向图G1和无向图G2的邻接矩阵分别为M1和M2:
M1=┌0101┐
│1010│
│1001│
└0000┘
M2=┌0111┐
│1010│
│1101│
└1010┘
注意无向图的邻接是一个对称矩阵,例如M2。
用邻接矩阵表示法来表示一个具有n个顶点的图时,除了用邻接矩阵中的n*n个元素存储顶点间相邻关系外,往往还需要另设一个向量存储n个顶点的信息。
因此其类型定义如下:
VertexTypevertex[MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量
AdjMatrixarcs;//邻接矩阵
intvexnum,arcnum;//图的当前顶点数和弧(边)数
GraphKindkind;//图的种类标志
若图中每个顶点只含一个编号i(1≤i≤vnum),则只需一个二维数组表示图的邻接矩阵。
此时存储结构可简单说明如下:
typeadjmatrix=array[1..vnum,1..vnum]ofadj;
利用邻接矩阵很容易判定任意两个顶点之间是否有边(或弧)相联,并容易求得各个顶点的度。
对于无向图,顶点Vi的度是邻接矩阵中第i行元素之和,即
n n
D(Vi)=∑A[i,j] (或∑A[i,j])
j=1 i=1
对于有向图,顶点Vi的出度OD(Vi)为邻接矩阵第i行元素之和,顶点Vi的入度ID(Vi)为第i列元素之和。
即
n n
OD(Vi)=∑A[i,j],OD(Vi)=∑A[j,i])
j=1 j=1
用邻接矩阵也可以表示带权图,只要令
Wij,若或(Vi,Vj)
A[i,j]={
∞,否则。
其中Wij为或(Vi,Vj)上的权值。
相应地,网的邻接矩阵表示的类型定义应作如下的修改:
adj:
weightype;{weightype为权类型}
图5-6列出一个网和它的邻接矩阵。
┌∞31∞∞┐
│∞∞51∞│
│∞∞∞∞∞│
│∞∞6∞∞│
└∞322∞┘
(a)网(b)邻接矩阵
图5-6网及其邻接矩阵
对无向图或无向网络,由于其邻接矩阵是对称的,故可采用压缩存贮的方法,仅存贮下三角或上三角中的元素(但不含对角线上的元素)即可。
显然,邻接矩阵表示法的空间复杂度O(
)。
无向网邻接矩阵的建立方法是:
首先将矩阵A的每个元素都初始化成∞。
然后,读入边及权值(i,j,wij),将A的相应元素置成Wij。
2、图的遍历:
*深度优先搜索
深度优先搜索遍历类似于树的先根遍历,是树的先根遍历的推广。
假设初始状态是图中所有的顶点未曾被访问,则深度优先遍历可从图的某个顶点V出发,访问此顶点,然后依次从V的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图,直至图中所有和V有路径相通的顶点都被访问到;若此时图中尚有顶点未被访问,则另选图中的一个未被访问的顶点,重复上述过程,直至图中所有顶点都被访问到为止。
以图7.13(a)中无向图G4为例,深度优先遍历图的过程如图7.13(b)所示。
假设从顶点V1出发进行搜索,在访问了顶点V1后,选择邻接点V2。
因为V2未曾访问,则从V2出发进行搜索。
依次类推,接着从V4,V8,V5出发进行搜索。
在访问了V5之后,由于V5的邻接点已都被访问,则搜索回到V8。
由于同样的理由,搜索继续回到V4,V2直至V1,此时由于V1的另一个邻接点为被访问,则搜索又从V1到V3,再继续进行下去。
由此得到顶点的访问序列为:
V1V2V4V8V5V3V6V7
显然,这是一个递归的过程。
为了在遍历过程中便于区别顶点是否已被访问,需附设访问标志数组visted[0...n-1],其初值为0,一但某个顶点被访问,则其相应的分量置为1。
*广度优先搜索
假设从图中某顶点v出发,在访问了v之后一次访问v的各个未曾访问的扩大邻接点,然后分别从这些邻接点出发依次访问他们的邻接点,并使“先被访问的邻接点”先于“后被访问的邻接点”被访问,直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。
若图中尚有顶点未被访问,则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点,重复上述过程,直到图中的顶点都被访问为止。
换句话说,广度优先遍历图的过程就是以v为起始点,有远至近,依次访问和v有路径相通且路径长度为1、2……的顶点。
例如,对图G4进行广度优先搜索遍历的过程如图7.13(3)所示,首先访问v1和v1的邻接点v2和v3,然后依次访问v2的邻接点v4和v5及v3的邻接点v6和v7,最后访问v4的邻接点v8。
由于这些顶点的邻接点均已被访问,并且图中所有顶点都被访问,由此完成了图的遍历。
得到的顶点访问序列为
V1V2V3V4V5V6V7V8
和深度优先搜索类似,在遍历的过程中也需要一个访问标志数组。
并且,为了顺次访问路径长度为2、3、…的顶点,需附设队列以存储已被访问的路径长度为1、2…的顶点。
2、图的输出
图的邻接矩阵是一个二维数组,运用for语句的嵌套依次输出。
Y
N
Y
NY
N主程序流程图
Y
N
图的构造流程图
1、无向图邻接矩阵的建立算法如下:
procedurebuild-graph;{建立无向图的邻接矩阵}
begin
fori:
=1tondoread(G.vertex[i]);{读入n个顶点的信息}
fori:
=1tondo
forj:
=1toedo
G.arcs[i][j]=0;
{将邻接矩阵的每个元素初始化成0}
fork:
=1toedo{e为边的数目}
[read(i,j,w){读入边和权}G.arcs[i][j]:
=w]
G.arcs[i][j]=G.arcs[i][i]{置对称弧}
end;
该算法的执行时间是O(n+n2+e),其中消耗在邻接矩阵初始化操作上的时间是O(n2),而e2、无向网邻接矩阵的建立算法如下:
procedurebuild-graph;{建立无向网的邻接矩阵}
begin
fori:
=1tondoread(G.vertex[i]);{读入n个顶点的信息}
fori:
=1tondo
forj:
=1toedo
G.arcs[i][j]=maxint;
{将邻接矩阵的每个元素初始化成maxint,计算机内∞用最大事数maxint表示}
fork:
=1toedo{e为边的数目}
[read(i,j,w){读入边和权}G.arcs[i][j]:
=w;G.arcs[i][j]:
=w]end;
该算法的执行时间是O(n+n2+e),其中消耗在邻接矩阵初始化操作上的时间是O(n2),而e3、图的深度优先遍历算法分析
begin
fori:
=1tondo(visited[i]){初始化标志数组}
while(i{for:
i=1tondo{按要求访问邻接点}}
end
当用二维数组表示邻接矩阵作图的存储结构时,查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n2),其中n为图中顶点数。
4、图的广度优先遍历算法分析
begin
fori:
=1tondo(visited[i]){初始化标志数组}
while(i{for:
i=1tondo{if…..if…..}}
end
二维数组表示邻接矩阵作图的存储结构,其中n为图中顶点数,查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n2)。
/*Graph.h*/
#include
#include
#include
#include
#include
#defineERROR0
#defineOK1
#defineMAX_VERTEX_NUM20//定义最大值
#defineINFINITY32768//定义极大值
#defineMAX_INFO20
typedefintVrType;//定义新的类型
typedefintInfoType;
typedefcharVertexType;
typedefenum
{DG,DN,UDG,UDN}GraphKind;//有向图,有向网,无向图,无向网
typedefstructArcCell
{//邻接矩阵表示法的各个数据结构
VrTypeadj;//顶点关系类型。
对无权图,用或表示相邻否;对带权图,则为权值类型。
InfoType*info;//该弧相关信息的指针
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
typedefstruct
{
VertexTypevertex[MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量
AdjMatrixarcs;//邻接矩阵
intvexnum,arcnum;//图的当前顶点数和弧(边)数
GraphKindkind;//图的种类标志
}MGraph;
typedefstruct
{//设置栈
intelem1[MAX_VERTEX_NUM];
inttop;
}SeqStack;
intLocateVertex(MGraphG,VertexTypev);
voidCreateUDG(MGraph&G);
voidCreateUDN(MGraph&G);
voidDepthFirstSearch1(MGraphG);
voidBreadthFirstSearch1(MGraphG);
intCreateGraph(MGraph&G);
voidDisplay(MGraphG);
/*Graph.cpp*/
#include"Graph.h"
intLocateVertex(MGraphG,VertexTypev)
{//用于返回输弧端点所表示的数值
intj=0,k;
for(k=0;kif(G.vertex[k]==v)
{j=k;break;}
return(j);
}
voidCreateUDG(MGraph&G)
{//采用数组(邻接矩阵)表示法,构造无向图
inti,j,k,IncInfo;
//i,j,k为计数器,IncInfo为标志符
charch;//用于吃掉多余的字符
VertexTypev1,v2;//用于放置输入的弧的两个顶点
printf("请输入无向图G的顶点数,边数,弧是否含相关信息(是:
,否:
):
\n");
scanf("%d,%d,%d",&G.vexnum,&G.arcnum,&IncInfo);
ch=getchar();//用于吃掉回车
printf("请输入%d个顶点的值(1个字符,空格隔开):
\n",G.vexnum);
for(i=0;i{
scanf("%c",&G.vertex[i]);ch=getchar();
}
printf("请输入%d条边的顶点顶点(以空格作为间隔):
\n",G.arcnum);
for(i=0;ifor(j=0;j{
G.arcs[i][j].adj=0;
G.arcs[i][j].info=NULL;//{adj,info}
}
for(k=0;k{
scanf("%c%c",&v1,&v2);
ch=getchar();//ch吃掉回车符
i=LocateVertex(G,v1);j=LocateVertex(G,v2);
if(IncInfo)scanf("%d",&G.arcs[i][j].info);
G.arcs[i][j].adj=G.arcs[j][i].adj=1;//置的对称弧
}
}//CreateUDG
voidCreateUDN(MGraph&G)
{//采用数组(邻接矩阵)表示法,构造无向网
inti,j,k,w,IncInfo;
//i,j,k为计数器,w用于放置权值,IncInfo为标志符
charch;//用于吃掉多余的字符
VertexTypev1,v2;//用于放置输入的弧的两个顶点
printf("请输入无向图G的顶点数,边数,弧是否含相关信息(是:
,否:
):
\n");
scanf("%d,%d,%d",&G.vexnum,&G.arcnum,&IncInfo);
ch=getchar();//用于吃掉回车
printf("请输入%d个顶点的值(1个字符,空格隔开):
\n",G.vexnum);
for(i=0;i{
scanf("%c",&G.vertex[i]);ch=getchar();
}
printf("请输入%d条边的顶点顶点(以空格作为间隔):
\n",G.arcnum);
for(i=0;ifor(j=0;j{
G.arcs[i][j].adj=0;
G.arcs[i][j].info=NULL;//{adj,info}
}
for(k=0;k{
scanf("%c%c",&v1,&v2);
ch=getchar();//ch吃掉回车符
printf("请输入该边的权值:
");
scanf("%d",&w);
ch=getchar();
i=LocateVertex(G,v1);
j=LocateVertex(G,v2);
G.arcs[i][j].adj=w;
if(IncInfo)scanf("%d",&G.arcs[i][j].info);
G.arcs[i][j]=G.arcs[j][i];//置的对称弧
}
}//CreateUDN
voidDepthFirstSearch1(MGraphG)
{//无向图、无向网深度优先遍历
inti,j,k,visited[20],t=1,a=1;//i,j,k为计数器,visited[20]为标志符用于表示是否已经访问过
SeqStackp;
for(i=0;ivisited[i]=0;
visited[0]=1;//规定以第一个字符开始遍历
printf("深度优先遍历开始:
\n");
k=0;i=0;
printf("%c",G.vertex[0]);
while(i{//不断以行循环在遇到符合条件时打印,每打印出一个就让t加,把合适的值用栈来表示,把指针指向新的项
for(j=0;j{
if(G.arcs[i][j].adj!
=0&&G.arcs[i][j].adj!
=INFINITY&&visited[j]==0)
{
printf("%c",G.vertex[j]);
visited[j]=1;
p.elem1[k]=i;
p.top=k;
k++;i++;a++;t++;
break;
}
}
if(j==G.vexnum)
{//当在某一行无法找到合适值时,输出栈内的值,返回上一行重新开始循环
i=p.elem1[p.top];
p.top--;
k--;
}
if(t==G.vexnum)break;//当全部的定点都打印出来了就退出循环
}
printf("\n");
}
voidBreadthFirstSearch1(MGraphG)
{//无向图、无向网广度优先遍历
inti,j,k,visited[20],t=1;//i,j为计数器,visited[20]为标志符用于表示是否已经访问过
SeqStackp;
for(i=0;ivisited[i]=0;
visited[0]=1;//规定以第一个字符开始遍历
printf("广度优先遍历开始:
\n");
k=0;i=0;
printf("%c",G.vertex[0]);
while(i{
for(j=0;j{
if(G.arcs[i][j].adj!
=0&&G.arcs[i][j].adj!
=INFINITY&&visited[j]==0)
{
printf("%c",G.vertex[j]);
visited[j]=1;
p.elem1[k]=i;
p.top=k;
k++;
t++;
}
}
i++;//换行,重新开始循环
if(t==G.vexnum)break;
}
printf("\n");
}
intCreateGraph(MGraph&G)
{//构造图
printf("请输入要构造的图的类型(有向图:
0,有向网:
1,无向图:
2,无向网:
3):
\n");
scanf("%d",&G.kind);
switch(G.kind)
{
case2:
CreateUDG(G);break;
case3:
CreateUDN(G);break;
default:
returnERROR;
}
}//CreateGraph
voidDisplay(MGraphG)
{//输出图的邻接矩阵
inti,j;
printf("该图的邻接矩阵为:
\n");
for(i=0;i{for(j=0;j{
printf("%d",G.arcs[i][j].adj);
}
printf("\n");
}
}
/*main.cpp*/
#include"Graph.h"
voidmain()
{
inti;
MGraphG;
CreateGraph(G);
DepthFirstSearch1(G);
BreadthFirstSearch1(G);
Display(G);
scanf("%d",&i);
1、程序开始运行时输出:
请输入要构造的图的类型(有向图:
0,有向网:
1,无向图:
2,无向网:
3):
为了测试输入为:
2
显示:
请输入无向图G的顶点数:
输入:
5
显示:
请输入无向图G的边数:
输入:
6
显示:
请输入无向图G的弧是否含相关信息(是:
1,否:
0):
输入:
0
显示:
请输入5个顶点的值(1个字符,空格隔开):
输入:
12345
显示:
请输入%d条边的顶点1顶点2(以空格作为间隔):
输入:
121423253435
显示:
深度优先遍历开始:
12345
广度优先遍历开始:
12435
该图的邻接矩阵为:
01010
10101
01011
10100
01100
请输入任意键退出
2、程序运行结果如图: