三铰拱合理轴线的验证.docx
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三铰拱合理轴线的验证
三铰拱合理轴线的验证
中国市政工程西南设计研究院
2007年10月
目录
第1部分：
圆弧拱1
1.1圆弧拱的竖向坐标1
1.2合理轴线的验证2
1.2.1几何特性2
1.2.2材料特性3
1.2.3截面特性3
1.2.4荷载3
1.2.5分析工况3
1.2.6分析结果3
1.3注意的问题4
第2部分：
抛物线拱5
2.1抛物线拱的竖向坐标5
2.2合理轴线的验证5
2.2.1几何特性6
2.2.2材料特性6
2.2.3截面特性6
2.2.4荷载7
2.2.5分析工况7
2.2.6分析结果7
第3部分：
悬链线拱9
3.1悬链线拱的竖向坐标9
3.2合理轴线的验证10
3.2.1几何特性10
3.2.2材料特性11
3.2.3截面特性11
3.2.4荷载11
3.2.5分析工况12
3.2.6分析结果12
第1部分：
圆弧拱
1.1圆弧拱的竖向坐标
拱的跨径为L，矢高为f，拱脚A、B点的坐标分别为A（-L/2，0），B（L/2，0），线段AB的中点D为坐标原点。
图1.1
设圆弧的半径为R，OA=R，0D=R-f，AD=L/2，在三角形OAD中有：
（式1-1）
由（式1-1）可得：
（式1-2）
因此O点的坐标为：
圆弧ACB的方程为：
（式1-3）
由（式1-3）可得：
（式1-4）
圆弧ACB上各点均在圆心O点上，其纵坐标大于O点的纵坐标
，因此其上各点的纵坐标为：
（式1-5）
1.2合理轴线的验证
采用sap2000程序验证在静水压力作用下圆弧为三铰拱的合理拱轴线。
sap2000有限元模型见本目录下“01_50m圆弧三铰拱.SDB”文件。
1.2.1几何特性
图1.2
如图1.2所示，圆弧3铰拱ACB的跨径为L=50m，矢高为10m，受q=100KN/m的静水压力作用。
将模型划分为201个节点和200个单元。
其中，A、B、C点分别对应于1号、101号和201号节点，其余各节点坐标均由（式1-5）求得，各关键截面的坐标见表1.1。
表1.1关键节点编号
节点位置
节点编号
x坐标
y坐标
左支点
1
-25
0.00
L/8
26
-18.75
4.77
L/4
51
-12.5
7.78
L3/8
76
-6.25
9.46
跨中
101
0
10.00
L5/8
126
6.25
9.46
L3/4
151
12.5
7.78
L7/8
176
18.75
4.77
右支点
201
25
0.00
1.2.2材料特性
假定该拱采用C50混凝土，弹性模量为E=3.45×107KN/m2，泊松比为0.2。
1.2.3截面特性
1~200号单元的截面特性如图1.4所示。
图1.31~200号单元截面图（单位：
cm）
1.2.4荷载
在1~200号单元上作用垂直于单元的均布荷载q=-100KN/m。
1号节点和201号节点分别约束u1和u3，101号节点分别与100号单元和101号单元相邻，将100号单元的右端和101号单元左端的弯矩释放掉。
1.2.5分析工况
对均布荷载q=-100KN/m进行线性分析，分析的有效自由度限定在XOZ平面内。
1.2.6分析结果
表1.2支点及拱顶点反力表
节点位置
节点编号
Fx（KN）
Fy（KN）
弯矩（KN-m）
左支点
1
2625
2500
0
拱顶点
101
3625
0
0
右支点
201
-2625
2500
0
表1.3各关键截面计算结果表
节点位置
节点编号
轴力（KN）
剪力（KN）
弯矩（KN-m）
左支点
1
-3624.971
14.428
4.55E-13
L/8
26
-3624.623
-11.833
12.98
L/4
51
-3625.239
-23.447
-11.42
L3/8
76
-3624.895
-52.966
-10.205
跨中
101
-3625
-1.746E-10
0
L5/8
126
-3624.895
52.966
-10.205
L3/4
151
-3625.239
23.447
-11.42
L7/8
176
-3624.623
11.833
12.98
右支点
201
-3624.971
-14.428
-3.3E-14
从表1.3中可看出，各关键截面的弯矩相对于轴力均比较小，均不到轴力的1%，只要单元划分足够精确，各截面的弯矩值均可降为0。
1.3注意的问题
1．竖向分布荷载作用于斜杆，如图1.3所示，线段AB上的竖向荷载为：
（式1.6）
图1.4
理想加载情况是在
的情况下得出的，因此若采用当
时加载需用
来代替
，或者使用节点加载。
第2部分：
抛物线拱
2.1抛物线拱的竖向坐标
拱的跨径为L，矢高为f，拱脚A、B点的坐标分别为A（-L/2，0），B（L/2，0），线段AB的中点哦O为坐标原点，拱顶C点坐标为C（0，f）。
图2.1
设抛物线ACB的方程为：
（式2-1）
因为A、B两点关于原点对称，因此有：
（式2-2）
将A、C两点的坐标代入（式2-1）中，有：
（式2-3）
由（式2-3）可得：
（式2-4）
因此抛物线ACB的方程为：
（式2-5）
2.2合理轴线的验证
采用sap2000程序验证在均布荷载作用下抛物线为三铰拱的合理拱轴线。
sap2000有限元模型见本目录下“02_50m抛物线三铰拱.SDB”文件。
2.2.1几何特性
图2.2
如图2.2所示，抛物线3铰拱ACB的跨径为L=50m，矢高为10m，受q=100KN/m的均布荷载作用。
将模型划分为201个节点和200个单元。
其中，A、B、C点分别对应于1号、101号和201号节点，其余各节点坐标均由（式2-5）求得，各关键截面的坐标见表2.1。
表2.1关键节点编号
节点位置
节点编号
x坐标
y坐标
左支点
1
-25
0
L/8
26
-18.75
4.375
L/4
51
-12.5
7.5
L3/8
76
-6.25
9.375
跨中
101
0
10
L5/8
126
6.25
9.375
L3/4
151
12.5
7.5
L7/8
176
18.75
4.375
右支点
201
25
0
2.2.2材料特性
假定该拱采用C50混凝土，弹性模量为E=3.45×107KN/m2，泊松比为0.2。
2.2.3截面特性
1~200号单元的截面特性如图2.3所示。
图2.31~200号单元截面图（单位：
cm）
2.2.4荷载
在拱ACB上作用竖直向下的q=-100KN/m的均布荷载，相当于在1号节点和201号节点上作用竖直向下的集中荷载，其值为F=-12.5KN，2~200号节点上竖直向下的集中荷载为F=25KN。
1号节点和201号节点分别约束u1和u3，101号节点分别与100号单元和101号单元相邻，将100号单元的右端和101号单元左端的弯矩释放掉。
2.2.5分析工况
对均布荷载q=-100KN/m进行线性分析，分析的有效自由度限定在XOZ平面内。
2.2.6分析结果
表2.2支点及拱顶点反力表
节点位置
节点编号
Fx（KN）
Fy（KN）
弯矩（KN-m）
左支点
1
3125
2500
0
拱顶点
101
3125.025
0
0
右支点
201
-3125
2500
0
表2.3各关键截面计算结果表
节点位置
节点编号
轴力（KN）
剪力（KN）
弯矩（KN-m）
左支点
1
-3994.156
-1.858E-10
4.547E-13
L/8
26
-3650.792
-1.164E-10
1.094E-09
L/4
51
-3370.39
-2.91E-11
1.416E-09
L3/8
76
-3189.362
2.037E-10
1.098E-09
跨中
101
-3125.025
5.821E-11
-1.164E-16
L5/8
126
-3189.362
2.91E-11
-3.965E-10
L3/4
151
-3370.39
0
-1.015E-09
L7/8
176
-3650.792
-1.164E-10
-5.421E-10
右支点
201
-3994.156
-3.251E-11
-5.245E-13
从表2.3中可看出，各关键截面的弯矩相对于轴力均比较小，均不到轴力的1%，只要单元划分足够精确，各截面的弯矩值均可降为0。
第3部分：
悬链线拱
3.1悬链线拱的竖向坐标
对图3.1所示体系，根据《桥梁工程》（下册）（范立础主编，人民交通出版社，2000）第86页公式（1-2-22），有：
图3.1原悬链线体系
（式3-1）
（式3-1）中，m为拱轴系数，
的值由下式求得：
（式3-2）
的表达式为：
（式3-3）
图3.2修正坐标系后悬链线体系
对图3.2所示体系，相应的悬链线方程为：
（式3-4）
其中，m为拱轴系数，其表达式为：
（式3-5）
3.2合理轴线的验证
采用sap2000程序验证在静水压力作用下圆弧为三铰拱的合理拱轴线。
sap2000有限元模型见本目录下“03_50m悬链线三铰拱.SDB”文件。
3.2.1几何特性
图3.2
如图3.2所示，圆弧3铰拱ACB的跨径为L=50m，矢高为10m，受q=100KN/m的静水压力作用。
将模型划分为201个节点和200个单元。
其中，A、B、C点分别对应于1号、101号和201号节点，其余各节点坐标均由（式3-4）求得，各关键截面的坐标见表3.1。
表3.1关键节点编号
节点位置
节点编号
x坐标
y坐标
左支点
1
-25
0.00
L/8
26
-18.75
4.7124
L/4
51
-12.5
7.7526
L3/8
76
-6.25
9.4531
跨中
101
0
10.00
L5/8
126
6.25
9.4531
L3/4
151
12.5
7.7526
L7/8
176
18.75
4.7124
右支点
201
25
0.00
3.2.2材料特性
假定该拱采用C50混凝土，弹性模量为E=3.45×107KN/m2，泊松比为0.2。
3.2.3截面特性
1~200号单元的截面特性如图3.3所示。
图3.31~200号单元截面图（单位：
cm）
3.2.4荷载
在1~200号单元上分布荷载gd=-100KN/m，拱轴系数m=2，则有：
gj=-200KN/m。
作用于拱上的竖向分布荷载为：
（式3-6）
根据（式3-6）可确定分布荷载的值，进而确定各节点的集中荷载。
表3.2关键节点荷载
节点位置
节点编号
节点竖向荷载（KN）
左支点
1
-25
L/8
26
-38.2191
L/4
51
-30.6186
L3/8
76
-26.3673
跨中
101
0
L5/8
126
-26.3673
L3/4
151
-30.6186
L7/8
176
-38.2191
右支点
201
-25
1号节点和201号节点分别约束u1和u3，101号节点分别与100号单元和101号单元相邻，将100号单元的右端和101号单元左端的弯矩释放掉。
3.2.5分析工况
对分布荷载gd~gj进行线性分析，分析的有效自由度限定在XOZ平面内。
3.2.6分析结果
表3.2支点及拱顶点反力表
节点位置
节点编号
Fx（KN）
Fy（KN）
弯矩（KN-m）
左支点
1
3603.545
3288.024
0
拱顶点
101
3603.567
0.473
0
右支点
201
-3603.545
3288.024
0
表3.3各关键截面计算结果表
节点位置
节点编号
轴力（KN）
剪力（KN）
弯矩（KN-m）
左支点
1
-4861.364
0.257
0
L/8
26
-4229.464
0.184
-0.1199
L/4
51
-3850.808
0.165
-0.1755
L3/8
76
-3661.618
0.525
-0.0246
跨中
101
-3603.567
0.473
0
L5/8
126
-3661.618
0.525
-0.0246
L3/4
151
-3850.808
0.165
-0.1755
L7/8
176
-4229.464
0.184
-0.1199
右支点
201
-4861.364
0.257
0
从表3.3中可看出，各关键截面的弯矩相对于轴力均比较小，均不到轴力的1%，只要单元划分足够精确，各截面的弯矩值均可降为0。
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