《概率论与数理统计》第三版课后习题答案1.docx

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《概率论与数理统计》第三版课后习题答案1

习题一：

1.1写出下列随机试验的样本空间：

（1）某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数;

解：

连续5次都命中，至少要投5次以上，故；

（2）掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;

解：

；

（3）观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：

医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；

（4）从编号为1，2，3，4，5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;

解：

属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：

（5）检查两件产品是否合格;

解：

用0表示合格,1表示不合格，则；

（6）观察某地一天内的最高气温和最低气温（假设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2）;

解：

用表示最低气温,表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：

；

（7）在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;

解：

；

（8）在长为的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度.

解：

；

1.2

（1）A与B都发生,但C不发生;；

（2）A发生,且B与C至少有一个发生;；

（3）A,B,C中至少有一个发生;；

（4）A,B,C中恰有一个发生;；

（5）A,B,C中至少有两个发生;；

（6）A,B,C中至多有一个发生;；

（7）A;B;C中至多有两个发生;

（8）A,B,C中恰有两个发生.；

注意：

此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3设样本空间,事件=,

具体写出下列各事件：

（1）;

（2）;（3）;（4）

（1）；

（2）=；

（3）=;

（4）=

1.6按从小到大次序排列,并说明理由.

解：

由于故，而由加法公式，有：

1.7

解：

（1）昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

（2）由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为：

（3）昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为：

.

1.8

解：

（1）由于，故显然当时P（AB）取到最大值。

最大值是0.6.

（2）由于。

显然当时P（AB）取到最小值，最小值是0.4.

1.9

解：

因为P（AB）=0，故P（ABC）=0.至少有一个发生的概率为：

1.10

解

（1）通过作图，可以知道，

（2）

1.11

解：

用表示事件“杯中球的最大个数为个”=1,2,3。

三只球放入四只杯中，放法有种，每种放法等可能。

对事件：

必须三球放入三杯中，每杯只放一球。

放法4×3×2种，故

（选排列：

好比3个球在4个位置做排列）。

对事件：

必须三球都放入一杯中。

放法有4种。

（只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种），故。

1.12

解：

此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。

.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。

故前后两次出现的点数之和为3的概率为。

同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5的概率各是。

（1）1.13

解：

从10个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为120。

（1）若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有种，故所求概率为。

（2）若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有种，故所求概率为。

1.14

解：

分别用表示事件：

（1）取到两只黄球;

（2）取到两只白球;（3）取到一只白球,一只黄球.则。

1.15

解：

由于，故

1.16

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

注意：

因为，所以。

1.17

解：

用表示事件“第次取到的是正品”（），则表示事件“第次取到的是次品”（）。

（1）事件“在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品”的概率为：

。

（2）事件“第三次才取到次品”的概率为：

（3）事件“第三次取到次品”的概率为：

此题要注意区分事件

（1）、

（2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。

再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。

用表示事件“第次取到的是正品”（），

则事件“在第一次取到正品的条件下,第二次取到次品”的概率为：

；而事件“第二次才取到次品”的概率为：

。

区别是显然的。

1.18。

解：

用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。

用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。

则

，，，

根据全概率公式，有：

1.19

解：

设表示事件“所用小麦种子为等种子”，

表示事件“种子所结的穗有50颗以上麦粒”。

则，，，根据全概率公式，有：

1.20

解：

用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：

因此：

根据贝叶斯公式，所求概率为：

1.21

解：

用表示对试验呈阳性反应，表示癌症患者，则表示非癌症患者，显然有：

因此根据贝叶斯公式，所求概率为：

1.22

（1）求该批产品的合格率;

（2）从该10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件,若此件产品为合格品,问此件产品由甲、

乙、丙三厂生产的概率各是多少?

解：

设，

，则

（1）根据全概率公式，，该批产品的合格率为0.94.

（2）根据贝叶斯公式，

同理可以求得，因此，从该10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件,若此件产品为合格品,此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：

。

1.23

解：

记={目标被击中}，则

1.24

解：

记={四次独立试验，事件A至少发生一次}，={四次独立试验，事件A一次也不发生}。

而，因此。

所以

三次独立试验中,事件A发生一次的概率为：

。

二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：

（10）加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Ω时，P（）=1-P（B）

（12）条件概率

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。

（16）贝叶斯公式

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

第二章随机变量

2.1

X

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P

1/36

1/18

1/12

1/9

5/36

1/6

5/36

1/9

1/12

1/18

1/36

2.2解：

根据，得，即。

故

2.3解：

用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B（2,0.7）

用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B（2,0.4）

（1）两人投中的次数相同

P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=

（2）甲比乙投中的次数多

P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=

2.4解:

（1）P{1≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=

（2）P{0.5

2.5解：

（1）P{X=2,4,6,…}==

（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}-P{X=2}=

2.6解：

（1）设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B（4,0.4）

（2）设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B（5,0.4）

2.7

（1）X～P（λ）=P（0.5×3）=P（1.5）

=

（2）X～P（λ）=P（0.5×4）=P

（2）

2.8解：

设应配备m名设备维修人员。

又设发生故障的设备数为X，则。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即，也即

因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。

故应至少配备6名设备维修人员。

2.9解：

一个元件使用1500小时失效的概率为

设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则。

所求的概率为

2.10

（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

2.11解:

要使方程有实根则使

解得K的取值范围为,又随机变量K~U（-2,4）则有实根的概率为

2.12解：

X~P（λ）=P（）

（1）

（2）

（3）

2.13解：

设每人每次打电话的时间为X，X~E（0.5），则一个人打电话超过10分钟的概率为

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则。

因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为的泊松分布。

所求的概率为

2.14解：

（1）

（2）

2.15解：

设车门的最低高度应为a厘米，X~N（170,62）

厘米

2.19解：

X的可能取值为1,2,3。

因为；；

所以X的分布律为

X

1

2

3

P

0.6

0.3

0.1

X的分布函数为

2.20

（1）

Y

0

4

0.2

0.7

0.1

（2）

Y

-1

1

0.7

0.3

2.21

（1）

当时，

当时，

当时，

X

-1

1

2

P

0.3

0.5

0.2

（2）

Y

1

2

0.8

0.2

2.22

（1）设FY（y），分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

对求关于y的导数，得

（2）设FY（y），分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

当时，

当时，有

对求关于y的导数，得

（3）设FY（y），分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

当时，

当时，

对求关于y的导数，得

2.23∵∴

（1）

对求关于y的导数，得到

（2）

，

对求关于y的导数，得到

（3）

，

对求关于y的导数，得到

第三章随机向量

3.1P{1

3.2

Y

X

1

2

2

0

=

3

=

0

3.4

（1）a=

（2）

（3）

3.5解：

（1）

（2）

3.6解：

3.7参见课本后面P227的答案

3.8

3.9解：

X的边缘概率密度函数为：

①当时，，

②当时，

Y的边缘概率密度函数为：

1当时，，

2当时，

3.10

（1）参见课本后面P227的答案

（2）

3.11参见课本后面P228的答案

3.12参见课本后面P228的答案

3.13

（1）

对于时，，

所以

对于时，

所以

3.14

XY

0

2

5

X的边缘分布

1

0.15

0.25

0.35

0.75

3

0.05

0.18

0.02

0.25

Y的边缘分布

0.2

0.43

0.37

1

由表格可知P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225

故

所以X与Y不独立

3.15

XY

1

2

3

X的边缘分布

1

2

a

b

+a+b

Y的边缘分布

a+

b+

1

由独立的条件则

可以列出方程

解得

3.16解

（1）在3.8中

当，时，

当或时，当或时，

所以，X与Y之间相互独立。

（2）在3.9中，

当，时，

，所以X与Y之间不相互独立。

3.17解：

故X与Y相互独立

3.18参见课本后面P228的答案

第四章数字特征

4.1解：

∵甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又∵两台机床的总的产量相同

∴乙机床生产的零件的质量较好。

4.2解：

X的所有可能取值为：

3，4，5

4.3参见课本230页参考答案

4.4解：

4.6参考课本230页参考答案

4.7解：

设途中遇到红灯次数为X，则

4.8解

500+1000

1500

4.9参见课本后面230页参考答案

4.10参见课本后面231页参考答案

4.11解:

设均值为,方差为,则X~N（,）根据题意有:

解得t=2即=12

所以成绩在60到84的概率为

4.12

4.13解：

4.14解：

设球的直径为X,则：

4.15参看课本后面231页答案

4.16解:

4.17解

∵X与Y相互独立，

∴

4.18，4.19，4.20参看课本后面231，232页答案

4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和，表示第颗骰子出现的点数，则，且是

独立同分布的，又

所以

4.22参看课本后面232页答案

4.23

4.24

4.25

4.26因为X~N（0,4）,Y~U（0,4）所以有Var（X）=4Var（Y）=

故：

Var（X+Y）=Var（X）+Var（Y）=4+=

Var（2X-3Y）=4Var（X）+9Var（Y）=

4.27参看课本后面232页答案

4.28

后面4题不作详解

第五章极限理

5.3

解：

用表示每包大米的重量，，则,

5.4解：

因为服从区间[0,10]上的均匀分布，

5.5解：

方法1：

用表示每个部件的情况，则，,

方法2：

用X表示100个部件中正常工作的部件数，则

5.6略

第六章样本与统计

6.1

6.3.1证明:

由=+b可得，对等式两边求和再除以n有

由于

所以由可得

==

6.3.2因为

所以有

6.2证明：

6.3

（1）

（2）由于

所以有

两边同时除以（n-1）可得即

6.4同例6.3.3可知

得查表可知=1.96又根据题意可知n=43

6.5解

（1）记这25个电阻的电阻值分别为,它们来自均值为=200欧姆，标准差为=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有：

（2）根据题意有

6.6解：

（1）记一个月（30天）中每天的停机时间分别为，它们是来自均值为=4小时，标准差为=0.8小时的总体的样本。

根据题意有：

（注：

当时，的值趋近于1，相反当时，其值趋近于0）

（2）根据题意有：

6.7证明：

因为T，则，随机变量的密度函数为

显然，则为偶函数，则

6.8解：

记，，则XN（,）,n=25故

6.9解：

记这100人的年均收入为，它们是来自均值为万元，标准差为万元的总体的样本，n=100则根据题意有：

（1）

（2）

（3）

6.10解：

根据题意可知此样本是来自均值为，标准差为的总体，样本容量为n=5

（1）依题意有

（2）要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先计算每个样本小于10的概率：

设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B（5,0.1587）故有

即样本的最小值小于10的概率是0.5785.

（3）同

（2）要求样本的最大值大于15的概率，即5个数中至少有一个大于15的概率，首先计算每个样本大于15的概率：

设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B（5,0.0668）故有

即样本的最大值大于15的概率是0.2923

第七章参数估计

7.1解因为:

是抽自二项分布B（m,p）的样本，故都独立同分布所以有

用样本均值代替总体均值，则p的矩估计为

7.2解：

用样本均值代替总体均值，则的矩估计为

由概率密度函数可知联合密度分布函数为：

对它们两边求对数可得

对求导并令其为0得

即可得的似然估计值为

7.3解:

记随机变量x服从总体为[0,]上的均匀分布，则

故的矩估计为

X的密度函数为故它的是似然函数为

要使达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是尽可能大。

由于是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计

（示性函数I=，=min{}=max{}）

7.4解:

记随机变量x服从总体为[,]上的均匀分布，则

所以的矩估计为

X的密度函数为故它的是似然函数为

要使达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是尽可能大。

由于是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计

7.5解:

似然函数为:

它的对数为:

对求偏导并令它等于零有

解得的似然估计值为

7.6解:

根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知

（1）

故这四个估计都是的无偏估计..

（2）

故有

7.7证明

（1）因为X服从[]上的均匀分布，故

故样本均值不是的无偏估计

（2）由

（1）可知的矩估计为

又故它是无偏估计.

7.8解;因为

要使最小则对关于c求一阶导并令其等于零可得

解得

因为对关于c求二阶导可得

故当时达到最小。

7.9解

（1）根据题意和所给的数据可得

,,,

所以的置信区间为

（2）

即

所以的置信区间为

7.10解:

根据所给的数据计算:

则X和Y构成的总体的方差为

所以置信系数的置信区间为

=

=[-0.002,0.006]

7.11解:

则比例p的区间估计为：

=

7.12解：

根据题意有，

则的置信区间为：

十你若真见过那些强者打拼的样子，就一定会明白，那些人之所以能达到别人到不了的高度，全是因为他们吃过许多别人吃不了的苦。

这世上从来就没有横空出世的运气，只有不为人知的努力。