（3）当火车行驶速率V小于V0时，F合>F向，内轨道对轮缘有侧压力，F合-N'=mv2/R
即当火车转弯时行驶速率不等于V0时，其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节，但调节程度不宜过大，以免损坏轨道。
拓展：
汽车在倾斜的弯道上拐弯，弯道的倾角为
，半径为r，则汽车完全不靠摩擦力转弯的速率是：
（）
A.
B.
C.
D.
三、竖直平面内的圆周运动
主题4：
无支撑模型
如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
注意：
绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力
（1）临界条件：
绳子或轨道对小球没有力的作用：
mg=mv2/R→v临界=
（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）
（2）能过最高点的条件：
v≥
，当V＞
时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
（3）不能过最高点的条件：
V＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）
例3：
把盛水的水桶拴在长为L的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是多少？
【针对训练】
1、如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动，圆半径为R，小球经过轨道最高点时刚好不脱离圆轨道，则其通过最高点时（）
A．小球对圆轨道的压力大于等于mg
B．小球受到的向心力等于重力mg
C．小球的线速度大于等于
D．小球的向心加速度大于等于g
2、如图所示，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R.则下列说法正确的是（ ）
A.小球过最高点时，绳子张力可以为零
B.小球过最高点时的最小速度为零
C.小球刚好过最高点时的速度是
D.小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
3、绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=，绳长为L=60cm,
求：
（1）最高点水不流出的最小速率；
（2）水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力。
主题5：
有支撑模型
如图，球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：
注意：
杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．
（1）当v＝0时，N＝mg（N为支持力）
（2）当0＜v＜
时，N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力．
（3）当v=
时，N＝0
（4）当v＞
时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心）
例4：
长度为L=的轻质细杆OA，A端有一质量为m=的小球，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是s，（g=10m/s
）则此时细杆OA受的（）
A.的拉力B.的压力
的压力D.24N的拉力
【针对训练】
1、如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，先给小球一初速度，使它做圆周运动。
图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点,则杆对小球的作用力可能是：
（）
A．a处为拉力b处为拉力
B.a处为拉力b处为推力
C.a处为推力b处为拉力
D.a处为推力b处为拉力
2、如图所示，小球A质量为m。
固定在长为L的轻细直杆一端,并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动.如果小球经过最高位置时,杆对球的作用力为拉力,拉力大小等于球的重力.求：
（1）球的速度大小.
（2）小球经过最低点时速度为
，杆对球的作用力的大小和球的向心加速度大小.
3、小球固定在轻直杆的一端，球随杆一起绕0在竖直平面内做圆周运动，己知杆长为l，当小球运动到最高点时，以下说法中正确的是（）
A．小球速度至少等于
B．小球对杆的作用一定是压力；
C．小球对杆的作用一定是拉力
D．小球对杆的作用可能是压力，也可能是拉力．
1、物体做曲线运动时，下列说法中不可能存在的是：
A．速度的大小可以不发生变化而方向在不断地变化。
B．速度的方向可以不发生变化而大小在不断地变化
C．速度的大小和方向都可以在不断地发生变化
D．加速度的方向在不断地发生变化
2、有一在水平面内以角速度ω匀速转动的圆台，半径为R，如图所示.圆台边缘A处坐着一个人，此人举枪想击中圆心O处的目标，如果子弹射出速度为v，则（ ）
A.枪身与OA的夹角θ=arcsinωR/v，瞄向O点右侧
B.枪身与OA的夹角θ=arcsinωR/v，瞄向O点左侧
C.枪身与OA的夹角θ=arctanωR/v，瞄向O点右侧
D.应对准O点瞄准
3、如图所示，从一根内壁光滑的空心竖直钢管A的上端边缘，沿直径方向向管内水平抛入一钢球，球与管壁多次相碰后落地（球与管壁相碰时间不计）.若换一根等高但较粗的内壁光滑的钢管B，用同样的方法抛入此钢球，则运动时间（ ）
A.在A管中的球运动时间长
B.在B管中的球运动时间长
C.在两管中的球运动时间一样长
D.无法确定
4、火车以1m/s2加速度在平面轨道上加速行驶，车厢中有一乘客把手伸到窗外，从距地面m高度自由释放一物体.若不计空气阻力，则物体落地时与乘客的水平距离为（取g=
10m/s2）（ ）
m
mD.因不知火车当时的速度，故无法判断
5、一物体从某高度以初速度水平抛出，落地时速度大小为，则它的运动时间为：
ABCD
6、如图所示，匀速转动的水平圆盘上在离转轴某一距离处放一滑块，该滑块恰能跟随圆盘做匀速圆周运动而不产生相对滑动，则在改变下列何种条件的情况下，滑块仍能与圆盘保持相对静止（ ）
A.增大圆盘转动的角速度
B.增大滑块到转轴的距离
C.增大滑块的质量m
D.改变上述任一条件的情况下都不可能使滑块与圆盘保持相对静止
7、关于圆周运动的向心加速度的物理意义，下列说法中正确的是：
A．它描述的是线速度大小变化的快慢
B．它描述的是角速度大小变化的快慢
C．它描述的是线速度方向变化的快慢
D．以上说法均不正确
8、如图所示，为一在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，关于摆球A的受力情况，下列说法中正确的是：
A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用
B．摆球A受拉力和向心力的作用
C．摆球A受拉力和重力的作用
D．摆球A受重力和向心力的作用
９、在光滑水平面上相距20cm钉上A、B两个钉子，一根长1m的细绳一端系小球，另一端拴在A钉上，如图所示.已知小球质量为kg，小球开始以2m/s的速度做水平匀速圆周运动，若绳所能承受的最大拉力为4N，则从开始运动到绳拉断历时（ ）
ssss
10、一个质点受到两个互成锐角的力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1+ΔF2，则质点以后（ ）
A.一定做匀变速曲线运动
B.在相等的时间内速度的变化一定相等
C.可能做匀速直线运动
D.可能做变加速直线运动
11、物体以速度水平抛出，若不计空气阻力，则当其竖直分位移与水平位移相等时，以下说法中不正确的是
A．竖直分速度等于水平分速度B．即时速度大小为
C．运动的时间为D．运动的位移为
12、一条河宽为，河水流速为，小船在静水中的速度为，要使小船在渡河过程中所行路程S最短，则：
A．当＞时，S＝B．当＜时，
C．当＞时，D．当＜，
二、填空题（本大题共6小题，每空2分，共24分。
把答案填写在题中横线上的空白处，不要求写出说明或过程）
13．在长为80cm的玻璃管中注满清水，水中放一个可以匀速上浮的红蜡烛，将此玻璃管竖直放置，让红蜡烛沿玻璃管从底部匀速上升，与此同时，让玻璃管沿水平方向向右匀速移动，若红蜡烛在玻璃管中沿竖直方向向上运动的速度为8cm/s，玻璃管沿水平方向移动的速度为6cm/s，则红蜡烛运动的速度大小是cm/s，红蜡烛上升到水面的时间为S。
14、小球从离地5m高、离竖直墙4m远处以8m/s的速度向墙水平抛出，不计空气阻力，则小球碰墙点离地高度为 m，要使小球不碰到墙，它的初速度必须小于m/s。
（取g=10m/s2）
15、如图所示皮带转动轮，大轮直径是小轮直径的2倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距离等于小轮半径。
转动时皮带不打滑，则A、B两点的角速度之比ωA：
ωB＝_，
B、C两点向心加速度大小之比：
＝___。
16．一辆汽车以54km/h的速率通过一座拱桥的桥顶，汽车对桥面的压力等于车重的一半，这座拱桥的半径是m。
若要使汽车过桥顶时对桥面无压力，则汽车过桥顶时的速度大小至少是m/s。
17．从某高度处以12m/s的初速度水平抛出一物体，经2s落地，g取10m/s2，则物体抛出处的高度是______m，物体落地点的水平距离是______m。
18．如图所示是在“研究平抛物体的运动”的实验中记录的一段轨迹。
已知物体是从原点O水平抛出，经测量C点的坐标为（60，45）。
则平抛物体的初速度＝m/s，该物体运动的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为
三、计算题（本大题共４个小题，第19题6分，第20题10分，第21题12分，第22题12分，共40分。
要求写出主要的文字说明、方程和演算步骤，只写出答案而未写出主要的演算过程的不能得分，答案中必须写出数字和单位）
19、某同学在某砖墙前的高处水平抛出一石子，石子在空中运动的部分轨迹照片如图所示。
从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为的斜坡上的A点。
已知每块砖的平均厚度为20cm，抛出点到A点竖直方向刚好相距100块砖，求：
（1）石子在空中运动的时间t；
（2）石子水平抛出的速度v0。
20.如图所示，长为R的轻质杆（质量不计），一端系一质量为的小球（球大小不计），绕杆的另一端O在竖直平面内做匀速圆周运动，若小球最低点时，杆对球的拉力大小为，求：
①小球最低点时的线速度大小？
②小球通过最高点时，杆对球的作用力的大小？
③小球以多大的线速度运动，通过最高处时杆对球不施力？
21．如图所示，在圆柱形屋顶中心天花板上O点，挂一根L=3m的细绳.绳的下端挂一个质量m=kg的小球.已知绳能承受的最大拉力为10N，小球在水平面内做圆周运动.当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9m/s的速度恰落在墙角边，求这个圆柱形房顶的高度H和半径R（取g=10m/s2）.
22．如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R=的光滑1/4圆形轨道，BC段为高为h=5的竖直轨道，CD段为水平轨道。
一质量为的小球由A点从静止开始下滑到B点时速度的大小为2/s，离开B点做平抛运动（g取10/s2），求：
①小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C的水平距离；
②小球到达B点时对圆形轨道的压力大小？
③如果在BCD轨道上放置一个倾角＝45°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B点后能否落到斜面上？
如果能，求它第一次落在斜面上的位置。
参考答案
一、选择题（每小题3分，共36分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
D
D
B
C
C
B
D
A
C
二、填空题：
（每空2分，共24分）
13.10、_10__.14.___、__4_15.1：
2、4：
116.__45、
17．20、2418、2、
三、计算题
19题6分，
解：
（1）由题意可知：
石子落到A点的竖直位移y=100×20×10-2m=2m…………（1分）
由y=gt2/2…………（1分）得t=2s…………（1分）
（2）由A点的速度分解可得v0=vytan370…………（1分））
又因vy=g，解得vy=20m/s…（1分）故v0=15m/s。
………（1分）
20题10分，解：
（1）A球做竖直下抛运动：
将、代入，可得：
………………（5分）
（2）B球做平抛运动：
将、代入，可得：
此时A球与B球的距离为：
将、、代入，
得：
………………5分）
21题12分，解：
（1）小球过最低点时受重力和杆的拉力作用，由向心力公式知
T－G＝解得…………（4分）
2）小球以线速度通过最高点时所需的向心力
小于，故杆对小球施加支持力FN的作用，小球所受重力G和支持力FN的合力提供向心力，G－FN＝，解得FN＝………（4分）
3）小球过最高点时所需的向心力等于重力时杆对球不施力，解得……………（4分）
22题12分解：
⑴设小球离开B点做平抛运动的时间为t1，落地点到C点距离为s
由h=gt12得：
t1==s=1s………………………（2分）
s=vB·t1=2×1m=2m………………………………（2分）
⑵小球达B受重力G和向上的弹力F作用，由牛顿第二定律知
解得F＝3N…………………（2分）
由牛顿第三定律知球对B的压力，即小球到达B点时对圆形轨道的压力大小为3N，方向竖直向下。
………………………（1分）
⑶如图，斜面BEC的倾角θ=45°，CE长d=h=5m
因为d＞s，所以小球离开B点后能落在斜面上……………………………（1分）
（说明：
其它解释合理的同样给分。
）
假设小球第一次落在斜面上F点，BF长
为L，小球从B点到F点的时间为t2
Lcosθ=vBt2①
Lsinθ=gt22②
联立①、②两式得
t2=…………（1分）
L==m==……………………………（3分）
说明：
关于F点的位置，其它表达正确的同样给分。
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