第二章解析几何初步教材分析与教学建议.docx
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第二章解析几何初步教材分析与教学建议
第二章：
“解析几何初步”教材分析与教学建议
房山区教师进修学校中学数学教研室张吉
一、内容与要求
（1）直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
（4）空间直角坐标系
①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。
②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。
二、高考说明要求
考试内容
要求层次
A
B
C
平面
解析
几何
初步
直线与方程
直线的倾斜角和斜率
√
过两点的直线斜率的计算公式
√
两条直线平行或垂直的判定
√
直线方程的点斜式、两点式及一般式
√
两条相交直线的交点坐标
√
两点间的距离公式、点到直线的距离公式
√
两条平行线间的距离
√
圆与方程
圆的标准方程与一般方程
√
直线与圆的位置关系
√
两圆的位置关系
√
三、本章说明
本章主要是较系统地学习坐标几何的基本概念和方法。
编写的基本理念是，以直线上的坐标几何为基础，一步步地把一维坐标几何推广到二维和三维坐标几何。
在讲二维和三维坐标几何时，把二维转化为一维，把三维转化为二维来处理。
通过学习，让学生体会用坐标法研究几何的优点。
解析几何的思想方法，就是代数和几何联姻，用代数方法研究几何，把对几何图形的研究代数化。
这一章实质上就是代数在几何中的应用。
解决问题的基本思路都是：
在坐标系中，设动点的坐标，把图形的特征性质转化为代数表示。
设未知数列方程或方程组解几何问题。
要注意到同学们的代数基础，如果不太好，要在这一章，通过用代数方法解几何问题，复习代数学的基本方法和技能。
打好学生的代数基础。
四、地位与作用
解析几何是数学的一个分支，是通过坐标法，运用代数工具研究几何问题的一门学科，它是数学的两个基本对象——数与形的统一。
通过数形结合，使坐标方法成为一个双面的工具。
一方面，几何概念可用代数表示，几何目标可通过代数方法达到；另一方面，又可给代数语言以几何解释。
使代数语言更直观、更形象地表达出来。
其中蕴涵了数形结合思想。
五、解析几何内容的整体安排
必修二：
平面解析几何初步（约18课时）
必选1-1：
圆锥曲线与方程（约12课时,文科选）
2-1:
圆锥曲线与方程（约16课时,理科选）
任选4-4：
坐标系与参数方程（理科选）
六、教学内容安排
本章教学是间约需18课时，具体分配如下，仅供参考：
节次
内容
课时
2．1
平面直角坐标系的基本公式
2
2．1．1
数轴上的基本公式
1
2．1．2
平面直角坐标系中的基本公式
1
2．2
直线方程
6
2．2．1
直线的方程的概念与直线的斜率
1
2．2．2
直线方程的几本形式
2
2．2．3
两条直线的位置关系
2
2．2．4
点到直线的距离公式
1
2．3
圆的方程
5
2．3．1
圆的标准方程
1
2．3．2
圆的一般方程
2
2．3．3
直线与圆的位置关系
1
2．3．4
圆与圆的位置关系
1
2．4
空间直角坐标系
2
2．4．1
空间直角坐标系
1
2．4．2
空间两点的距离公式
1
复习与小结
1
机动
1
总复习课
1
七、解析几何初步的教育价值：
1．解析几何的本质:
是用代数方法研究图形的几何性质.它沟通了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想。
2．《课程标准》要求：
要求学生在解析几何初步的学习中，经历将几何问题代数化，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，解决几何问题的过程。
即,这部分内容的学习有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体会数形结合思想，形成正确的数学观；解析几何的内容强调几何，突出了用代数方法解决几何问题的过程，同时也强调代数关系的几何意义；对解析几何内容采用的处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何学习的兴趣，克服几何学习可能会造成学生两极分化的弊端。
八、解析几何的基本思想
1．几何→代数
（1）将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系；
（2）将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义；
（3）解决几何问题。
2．代数→几何：
强调借助几何直观理解代数关系的意义，即对代数关系的几何意义的解释，个在这过程中，让学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
九、本章重点、难点
1．重点：
（1）直线的点斜式方程、一般式方程；
（2）圆的标准方程和一般方程的两种形式。
2．难点：
（1）坐标法的应用。
十、教材的编写特色
充分体现解析几何基本思想——通过建立坐标系，将几何问题代数化，进而用代数方法解决几何问题。
让学生掌握一种学习与研究的方法。
1．特色之一：
突出解析法基本思想——代数方法解决几何问题
坐标系
重视“数形结合”思想的运用——以形助数、依数识形
2．特色之二:
过程彰现新理念：
在直线和圆的方程的处理上，以学生熟悉的问题（生活实例、数学问题等）为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——反思”的顺序结构，引导学生主动参与探索，通过师生共同对问题的分析和解决，使学生感受建立坐标系，并用坐标、方程等知识来刻划点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几何的基本思想。
3．特色之三：
《初步》内容更显丰富：
两条平行直线之间的距离；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系。
由幕后跳到前台，让《初步》内容变得丰满起来。
4．特色之四：
将“圆与方程”与“直线与方程”进行类比，感受同构（方法）的特点，体验解析几何的研究程序。
Ｈ.伊夫斯：
“解析几何是数学家应用变换－－求解－－反演法的一个最精彩、最深入、最富有成果的例子”，“解析几何与其说是一个几何学分支，不如说是一种几何方法”。
十一、教学建议
１.要让学生感受到方程形式与曲线分类的关系－－解析几何的价值之一；
２.要让学生感受用解析法处理几何问题的优越性：
不在乎繁简，而在于其方法论的价值－－解析几何的又一重要价值；
3．让学生体验解析几何研究问题的方法和特点；
4．突出数形结合的数学思想：
形的直观数的一般数与形的对立统一；不能“得意忘形”；
5．在知识与概念形成过程中，培养学生的合情推理能力、数学交流能力、探索能力和逻辑思维能力
十二、分节分析
2．1平面直角坐标系中的基本公式（2课时）
2．1．1数轴上的基本公式（1课时）
1．教学目标
（1）能通过对数轴的复习，理解实数和数轴上的点的对应关系、实数与位移的对应关系；
（2）理解实数运算在娄数轴上的几何意义；
（3）掌握数轴上两点距离公式；
（4）掌握数轴上向量加法的坐标运算。
2．内容分析
3．本节重点、难点
4．教学建议
（1）这一小节，在教学上往往被忽视。
但一维坐标几何是二维、三维坐标几何的基础。
教师一定要下些功夫，让学生牢固掌握。
（2）首先复习数轴，建立数轴上的点与实数的一一对应关系。
然后引入位移向量的概念，建立直线上的向量与实数的一一对应。
以往在平面解析几何中，不引入向量的概念，由有向线段代替。
对有向线段，也没有引入运算的概念，这样数轴上的基本计算公式，证明起来比较麻烦。
现在高中数学中已引入平面向量知识，如果在数轴上引入向量及其加减运算，学生会更好地理解坐标几何基本公式的推导。
也为今后进一步的学习坐标几何打下坚实的基础。
（3）在初中，学习正负数时，就用正负数表示位移的大小和方向，并用位移的合成学习正负数的加法。
这里把直线上相等的位移定义为一个向量，并与实数建立一一对应关系，学生理解起来应该不会有困难。
建议教学时，进行探索。
建立起实数与直线上的位移向量间的一一对应关系，使数与形更准确地结合起来。
（4）数轴上的向量的加法运算及用向量表示点的位置，是整个解析几何的基础。
教学时，一定要给予足够的重视。
一定要让学生彻底地理解，熟练地掌握。
教材仍采用传统的习惯，把加法运算表示为公式：
AB+BC=AC，由此导出解析几何中两个最基本的公式：
AB=x2-x1，d（A，B）=|x2–x1|。
对这两个公式，一定要多做练习，让学生熟练掌握。
在这两个公式的基础上，最好引导学生导出中点公式。
（5）本节的练习A，B要求大多数学生都能熟练地做出。
不仅是要求学生记住上述两个公式，而且要求学生完全理解它的几何意义和代数意义，为数形结合打下牢固的基础。
练习中出现的不等式，要求学生完全由不等式表示的几何意义求解。
这里不需要补充代数解法。
5．例题分析
2．1．2平面直角坐标系中的基本公式
1．教学目标
（1）掌握直角坐标系中两点的距离公式与线段中点的坐标公式；
（2）推导直角坐标系中两点的距离公式与线段中点的坐标公式。
2．内容分析
（1）直角坐标系中两点的距离公式；
（2）直角坐标系中线段中点的坐标公式。
3．本节重点、难点
（1）重点：
利用勾股定理与数轴上位移数量的计算公式推导平面上两点的距离公式。
（2）难点：
应用坐标法研讨几何问题。
4．教法分析
（1）首先把数轴上的基本公式距离公式和中点公式，推广到平面直角坐标系，把二维的事物转化为一维来处理。
等学完平面向量后，可作为练习，让学生用向量方法重新证明这些基本公式和几何问题。
这样做是不是更符合学生的认识规律？
（2）关于距离公式有两点提醒老师注意：
第一，应向学生指出，距离公式是勾股定理的坐标形式，通过两点的坐标分量来计算两点间的距离；
第二，贯彻算法思想（机械化计算）。
这一点，大家一定要注意：
按步骤计算（一点都马虎不得），是学好数学的基本功。
（3）中点公式：
应向学生指出，中点公式是中心对称的坐标表示。
应多做练习，让学生掌握中点公式的应用。
（4）这一节的习题后用探索与研究的方式安排了一个系列习题。
通过直线上的距离公式，求解含绝对值符号的方程。
只要学生理解了距离公式的几何意义，学生应能解出。
而且，这能进一步帮助学生更好地理解距离公式的意义。
不妨在学习椭圆方程和双曲线方程时重温此题。
如果点在坐标平面上，让学生写出点的轨迹方程。
2．2直线的方程（6课时）
2．2．1．直线方程的概念与直线的斜率（1课时）
1．教学目标
（1）理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围。
（2）理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式
（3）掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系。
（4）能由直线的斜率求出直线的倾斜角，也能由直线的倾斜角求出直线的斜率（斜率存在的条件下）。
（5）使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线的方向的变化规律，只要研究直线的斜率的变化规律。
2．内容分析
（1）直线的方程与方程的直线的概念；
（2）斜率的概念与斜率公式；
（3）直线的倾斜角的概念与范围。
3．本节重点、难点
（1）重点：
（1）理解直线斜率的概念；
（2）探索如何通过直线上两点求直线的斜率公式。
（2）难点：
理解斜率的几何意义及与“相似比”等概念之间的内在关系。
4．教学建议
（1）倾角与斜率是解析几何的一个核心概念
（2）课本通过确定直线的几何要素来引出概念的
（3）教材是通过问题形式”直线的倾斜程度如何刻画呢”,揭开解析几何研究的序幕
（4）课本用学生非常熟悉的坡度作为知识的最近发现区来引出斜率概念的.
（5）让学生切实理解斜率和倾角都是反映”直线倾斜程度”这一概念的本质特征
（6）倾角侧重于几何直观形象,斜率更侧重于用刻画直线的方向
（7）充分利用学生已经学习了三角函数这一优势,让学生体会倾角变化时斜率的变化规律.
（8）通过分析一次函数及其图象，建立直线方程的概念。
把直线看做是点的集合，用集合的观点，把直线的特征性质用方程来表示。
（7）直线的斜率是数学中最重要的概念之一，在微积分学中也扮演着极为重要的角色。
一定要让学生理解它的几何意义。
（8）值得大家思考的是，课标把直线方程的学习安排在三角之前学习，我们调整顺序后，倾角的正切等于斜率，这一事实还不能直接地引入。
（9）学完向量和三角后，再学习解析几何会更顺理成章些。
编者反复考虑，在学习三角和向量前，学习解析几何初步，还是有一定的道理的。
解析几何最根本的思想是，用代数方法研究几何。
在学习解析几何前，如果没有三角和向量的知识，就会强化用代数方法学习几何，使学生更深刻地理解坐标法的意义、代数与几何的内在联系。
由以上分析，我们建议不要改变课标规定的教学顺序。
彻底把算式
的几何意义（相似比）和代数意义（变化率）搞清楚。
5．例题分析
2．2．2直线方程的几种形式
1．教学目标
（1）掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，能根据条件熟练地求出直线的方程。
（2）能正确理解直线方程一般式的含义。
（3）能将直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等四种形式化为一般式，知道这四种形式的直线方程的局限性。
（4）使学生感受到直线的方程和直线之间的对应关系，知道要说明点在直线上，只要说明点的坐标满足直线的方程，反之也成立。
2．内容分析
（1）直线方程的五种形式：
点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
（2）直线在两个坐标轴上截距的概念。
3．本节重点、难点
（1）重点：
点斜式方程的推导。
（2）难点：
直线与二元一次方程的对应用关系。
4．教学建议
（1）将直线方程作为一个核心概念处理；
（2）将研究直线方程的过程变成一个问题来探究:
点在直线上运动时,有什么是不变的?
（3）要让学生明确方程要作为直线方程的两个条件；
（4）在讲直线方程的斜截式时应该与一次函数进行比较,加深学生对方程与函数概念的理解；
（5）让学生自己总结几种直线方程适用的范围；
（6）知道直线上一点的坐标和斜率，这条直线就完全确定了。
点斜式是直线方程最基本的形式。
其他确定直线的条件都可以转化为点斜式来处理。
基础较好的学生，可引导他们研究，通过一个定点的直线系，如何用方程表示。
（7）有的老师喜欢把斜截式作为基本的直线方程，推导其他直线方程。
深入地去分析，直线的几种方程，点斜式仍是最重要也是最有用的直线方程。
（8）点斜式方程应是教学中的重点，应反复练习，让学生熟练掌握。
2．2．3两条直线的位置关系
1．教学目标
（1）会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件；
（2）会用两直线相交或平行的条件判断两条直线相交、垂直、平行、重合；
（3）掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想；
（4）会求两直线交点的坐标；
（5）通过分类讨论、数形结合等数学思想方的运用，培养学生思维的严谨性、辨证性
2．内容分析
（1）有斜率的两直线平行、重合、相交的条件；
（2）两条直线不知道有无斜率，它们平行、重合、相交、垂直的条件。
3．本节重点、难点
（1）重点：
两直线平行、垂直的条件。
（2）难点：
用代数方法推导两直线平行和垂直的思路。
4．教学建议
（1）通过垂直和平行问题的解决，让切实感受用代数方法解决几何问题的优越性
（2）通过引导学生对斜率存在性的讨论，培养学生思维的严密性。
（3）两条直线相交、平行与重合的条件：
在用二元一次方程来表示直线的基础上，通过二元一次联立方程组，有解或无解来讨论两条直线相交，平行或重合的条件，对高一的学生应当没有太大的困难。
如有困难，可能在于学生不习惯于纯符号的计算与分析。
但这一关，高一的学生必须要过。
它有极强的教育价值：
学着用代数方法研讨几何。
建立起直线方程，使解方程组有了直观的几何意义。
通过解方程组
可确定两条直线的位置关系。
如果A1B2-A2B1≠0，方程组有唯一解（x，y），表明两条直线相交于一点（x，y）。
如果A1B2-A2B1=0，方程组无解或有无穷多解，表明两条直线平行或重合。
要认真分析，表达式A1B2-A2B1=0与k1=k2的几何意义。
如图。
由
可知，直线l1，l2和对应的
，
所围成的直角三角形相似。
直线与x轴的倾斜角相等。
这又返回到相似与相似比的层面。
教师应该知道前面等式的左边为向量（A1，B1）与向量（A2，B2）张成的平行四边形面积（外积），这是解析几何中的一个重要的不变量，面积为零意味着两条直线平行或重合。
可用表达式A1B2-A2B1来计算平行四边行的有号面积，判断两条直线是否相交、平行或重合。
教学时，要一步步地，把数或式与形紧密结合。
写出直线方程，画出直线。
分析直线方程l：
Ax+By+C=0中的常数A，B，C的几何意义。
设（x1，y1）、（x2，y2）为直线l上的两点，则
=
。
最后，按上面的分析，由解二条直线的方程组，讨论两条直线相交、平行或重合。
说出每一个代数式的几何意义。
（4）两条直线垂直的条件
传统教材两条直线垂直的条件是由诱导公式tan（x+90°）=-cotx导出的。
不用这个公式证明，我们只有返回到勾股定理，用勾股定理导出两条直线垂直的条件。
由导出过程可以看到，勾股定理与两条直线垂直的条件等价。
由勾股定理可导出两条直线垂直的条件是
A1A2+B1B2=0，（*），反之，由A1A2+B1B2=0也可导出勾股定理。
A1A2+B1B2是解析几何中的另一个重要的不变量，它是向量（A1，B1）与（A2，B2）的内积。
它只与两个向量的长度和夹角有关，与坐标系的选择无关。
由（*）式可推出，
（
），即k1k2=-1。
教学时一定要一边推导算式，一边画出图象，指出算式的几何意义（如图所示）。
由
，可证两个直角三角形相似，进而证两条直线垂直。
5）从数学的教育价值考虑，直线方程放在三角前讲，有一定的优越性。
证明的过程直接返朴到直角三角形相似和勾股定理。
对学生理解相似、垂直、勾股定理、变化率、一次函数和解一次方程组等知识间的内在联系，是有益的。
为学生用坐标法研究几何打下坚实的基础。
2．2．4点到直线的距离
1．教学目标
（1）掌握点到直线的距离公式；
（2）掌握两条平行线间的距离公式；
（3）会用这些公式求距离；
（4）体会两个距离公式与勾股定理之间的。
2．内容分析
（1）点到直线的距离公式及推导；
（2）两条平行线间的距离公式及推导。
3．本节重点、难点
（1）重点：
点到直线的距离公式。
（2）难点：
点到直线距离公式的中推导。
4．教学建议
（1）教学可采用提出问题，让学生探索解决问题的方法。
问题：
如何求点P（x1，y1）到直线l：
Ax+By+C=0的距离?
（2）学生学了距离公式后，最容易想到的方法是，求过点P且与直线l垂直的直线方程，解方程求两条直线的交点，再应用距离公式求解，对学生的想法应用给预鼓励性评价。
（3）教材中，使用了代数技巧。
思路是，设垂足为（x0，y0）。
利用已知条件寻求分别含x1-x0，y1-y0两个未知数的两个方程：
然后通过代数变形求（x1-x0）2+（y1-y0）2。
（4）设未知数列方程组，平方变形等解题的方法和技能都是一个高中生应该具有的。
所以教学时要向学生剖析解题的方法和技能。
随着知识层面的上升，学生可用各种方法求出点到直线的距离，如二次函数的最值、三角法、向量法、微分法等。
5．例题分析
（三）2．3 圆的方程
2．3．1圆的标准方程
1．教学目标
（1）探索与掌握圆的标准方程；
（2）会用圆的方程求出圆心坐标和半径；
（3）能用代数方法判定点与圆的位置关系；
（4）会初步用待定系数法求圆的方程，掌握求解的步骤；
（5）体验求曲线方程（点的轨迹）的基本方法，概括其基本步骤。
2．内容分析
（1）圆的标准方程；
（2）点与圆的三种位置关系的确定方法。
3．本节重点、难点
（1）重点：
圆的标准方程及由已知条件求圆的方程。
（2）难点：
圆的标准方程及由已知条件求圆的方程。
4．教学建议
（1）充分利用学生已经在初中学过的有关圆的知识,进行知识的正迁移；
（2）把这部分教材作为学生自主探究、合作交流的载体；
（3）让学生在问题解决过程中自己总结用坐标法解决几何问题的”三步曲”——建系、运算、翻译；
（4）让学生切实感受到坐标法的本质就是将几何问题代数化。
把曲线与方程的思想渗透到位；
（5）复习圆的定义（圆的特征性质），然后通过距离公式，把圆的特征性质转化为坐标方程；
（6）把确定圆的几何条件（圆心和半径）转化为代数条件：
圆心的坐标（a，b）和半径r，最后转化为圆的方程。
（7）圆的标准方程中有三个未知数，要列出三个方程，通过解三元一次方程组才能确定圆的方程。
这一节例习题的主要任务是，给出条件，确定圆的方程，给出方程确定圆心和半径。
2．3．2 圆的一般方程（2课时）
1．教学目标
（1）探索与掌握圆的一般方程；
（2）了解二元二次方程表示圆的条件；
（3）能用代数方法判定点与圆的位置关系；
（4）知道圆的一般方程隐含的条件；
（5）会初步用待定系数法求圆的方程，掌握求解的步骤。
（6）体验求曲线方程（点的轨迹）的基本方法，概括其基本步骤。
2．内容分析
（1）二元二次方程表示圆的条件；
（2）圆的一般方程及圆心与半径；
（3）求圆的一般方程的方法。
3．本节重点、难点
（1）重点：
由圆的一般方程求圆的标准方程。
（2）难点：
理解二元二次方程表示圆的条件及圆的一般方程的应用。
4．教学建议
（1）本节中心主题是：
通过配方法，探索二元二次方程表示圆的充要条件。
（2）先说明任意一个圆，都可用圆的标准方程来表示。
即圆的方程，一定是二元二次方程，再用配方法探索一个二元二次方程表示圆的条件。
（3）通过例1让学生掌握由圆的一般方程，求圆的圆心与半径的方法。
（4）例2让学生掌握，如果圆的一般方程未知，则可用待定系数法求之。
（5）例3是为这一大节设计的综合性练习。
通过这个练习要求学生掌握：
①会根据几何条件，建立坐标系，求出圆的方程；②会把圆的方程整理为一般方程；③会根据一般方程求出圆心的位置和半径。
5．例题分析
2．3．3 直线与圆的位置关系
1．教学目标
（1）掌握直线与圆位置关系判定的两种基本方法（代数法、几何法）。
（2）会利用直线与圆的方程判定直线与圆的位置关系。
（3）能初步解决直线与圆相交时，涉及弦长的问题。
（4）通过建立直角坐标系，用圆的方程解决一些简单问题，理解坐标法解决几何问题的一般步骤（三步曲）；
（5）会求圆的切线方程；
（6）初步会在已知直线与圆位置关系的条件下，求直线或圆的方程。
2．内容分析
（1）直线与圆有三种位置关系；
（2）直线与圆位置关系判定的两种基本方法：
代数法、几何法；
（3）求圆的切线方程的方
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