等腰三角形练习题及答案.docx
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等腰三角形练习题及答案
等腰三角形典型例题练习
1.选择题（共2小题）
1.如图，/C=90,AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cmBD=3cm则点D
到AB的距离为（）
A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定
2.如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以ACBC为边并且在AB的同一侧作等边厶ACD和等边△BCE连接AE交CD于M,连接BD交CE于N.给出以下三个结论：
1AE=BD
2CN=CM
3MN/AB
其中正确结论的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
2.填空题（共1小题）
3.如图，在正三角形ABC中,DE,F分别是BCACAB上的点，DELAC
EF±ABFDLBC则厶DEF的面积与厶ABC的面积之比等于.
3.解答题（共15小题）
4.在厶ABC中，AD是/BAC的平分线，E、F分别为ABAC上的点，且
5.
/EDFVEAF=180，求证
6.＞已知：
如图，D是厶ABC的BC边上的中点，DELABDF丄AC,垂足分别为E,F,且DE=DF请判断△ABC是什么三角形？
并说明理由.
7.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E,使CE=CD连接DE
（1）ZE等于多少度？
（2）ADBE是什么三角形？
为什么？
&如图，在△ABC中，/ACB=90,CD是AB边上的高，/A=30°.求证:
AB=4BD
9.如图，△ABC中，AB=AC点DE分别在ABAC的延长线上，且BD=CE
DE与BC相交于点F.求证：
DF=EF
10.已知等腰直角三角形ABCBC是斜边./B的角平分线交AC于D过C
作CE与BD垂直且交BD延长线于E,
求证：
BD=2CE
11.（2012?
牡丹江）如图①，△ABC中.AB=ACP为底边BC上一点，PEIABPF丄ACCHLAB垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH证明过程如下：
如图①，连接AP.
•••PEIABPFLACCHLAB
/•S△abp=AB?
PE,S^acf=AC?
PF,S^abc=AB?
CH
222
又TS△abf+Saac=Saabc,
•••AB?
PE+AC?
PF=AB?
CH
222
•••AB=AC
•••PE+PF=C.H
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：
若/A=30°,AABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直
线AC的距离为PF,当PF=3时，则AB边上的高CH=.点P到
AB边的距离PE.
12.数学课上，李老师出示了如下的题目:
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AEDB（填“〉”，“V”或“二”）.
（2）特例启发，解答题目
解:
题目中，AE与DB的大小关系是：
AEDB（填“〉”，“V”
或“二”）.理由如下：
如图2,过点E作EF//BC交AC于点F.（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若
△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长（请你直接写出结果）.
13.已知：
如图，AF平分/BACBCLAF于点E,点D在AF上，ED=EA点P在CF上，连接PB交AF于点M.若/BAC=ZMPC请你判断/F与/MCD的数量关系，并说明理由.
c
14.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BCAC边上，且AE=CD
AD与BE相交于点F.
（1）线段AD与BE有什么关系？
试证明你的结论.
（2）求/BFD的度数.
15.如图，在△ABC中，AB=BC/ABC=90,F为AB延长线上一点，点E
在BC上,BE=BF连接AE、EF和CF,
求证：
AE=CF
BF
16.已知：
如图，在厶OAB中，/AOB=90,OA=OB在厶EOF中，/EOF=90,
OE=OF连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系？
请说明理由.
17.（2006?
郴州）如图，在△ABC中，AB=ACD是BC上任意一点，过D分别向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.
（1）DEDF,CG的长之间存在着怎样的等量关系？
并加以证明；
（2）若D在底边的延长线上，
（1）中的结论还成立吗？
若不成立，又存在怎样的关系？
请说明理由.
18.如图甲所示，在△ABC中，AB=AC在底边BC上有任意一点P，贝UP点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF若P点在BC的延
长线上，那么请你猜想PDPE和CF之间存在怎样的等式关系？
写出你的猜想并加以证明.
等腰三角形典型例题练习
参考答案与试题解析
1.选择题（共2小题）
1.如图，/C=90，AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cmBD=3cm则点D
2.
到AB的距离为（）
的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解.
解答:
解：
I/C=90,AD平分/BAC交BC于D
•••D到AB的距离即为CD长CD=5-3=2故选C.
3.如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外）
交CE于N.给出以下三个结论:
®AE=B®CN=C®MN/AB其中正确结论的个数是（
考占.
平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的
性质.1418944
分析：
由厶ACD和厶BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE^ADCB即可得①正确；由厶ACE^ADCB可得/EAChNDC又由
/ACDhMCN=6°,利用ASA可证得△ACIWADCN即可得②正确；又可证得厶CMN是等边三角形，即可证得③正确.
解答：
解:
•••△ACD和厶BCE是等边三角形,•••/ACDhBCE=60,AC=DC
EC=BC
•••/ACD#DCEhDCEhECB即/ACEhDCBACWADCB
（SAS,
•••AE=BD故①正确；
•••/EAC#NDCI/ACD#BCE=60,:
丄DCE=60,
•••/ACD#MCN=6°,
•••AC=DCACIW^DCN（ASA）,二CM=CN故②正确；
又#MCN=18°-#MCA#NCB=180-60°-60°=60°,
•••△CMN是等边三角形,•••#NMC#ACD=60,/.MIN/AB故③正确.故选D.
2.填空题（共1小题）
4.如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DELAQ
EF丄ABFDLBC则厶DEF的面积与厶ABC的面积之比等于1:
3.
考占.
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角
形的性质.1418944
分析：
首先根据题意求得：
/DFE艺FED艺EDF=60，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF:
AB=1:
灭，又由相似三角形的
面积比等于相似比的平方，即可求得结果.
解答：
解：
•••△ABC是正三角形，•••/B=ZC=ZA=60°,
•••DELACEF±ABFD丄BC:
丄AFE玄CEDhBDF=90,宀BFD"CDEMAEF=30，二DFEHFEDHEDF=60,器;,
•••△DEF是正三角形，•••BDDF=1:
氏①，BDAB=1:
3②，
△DEF^AABC
①*②，普2AB=1:
血•••△DEF的面积gABC的面积之比等于1:
3.
故答案为：
1:
3.
A
&Dc
B
D
3.解答题（共15小题）
4.
在厶ABC中，AD是/BAC的平分线，E、F分别为ABAC上的点，且
分析:
过D作DMLAB于MDNLAC于N,根据角平分线性质求出DN=DM
根据四边形的内角和定理和平角定义求出/AEDhCFD根据全等
三角形的判定AAS推出△EMS^^FND即可.
即/EMD/FND=90,a
•••AD平分/BACDMLABDNLAC/.DM=DN角平分线性质）,
/DMEMDNF=90,
•••/EAF+/EDF=180,「./MED/AFD=360-180°=180°,
•••/AFD+/NFD=180,二/MED/NFD
<△EMD^FND中
（ZMED=ZDFN
*ZDME=ZDNF，二△EME^AFND二DE=DF
工肛DN
5.在△ABC中，/ABC/ACB的平分线相交于点O,过点O作DE//BQ分
别交ABAC于点D、E.请说明DE=BD+EC
考占：
分析:
解答:
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质.1418944
用（HL）证明△EBD^AFCD从而得出hEBDhFCD即可证明
△ABC是等腰三角形.
△ABC是等腰三角形.
证明：
连接AD,•••DEIABDF丄AC••上BEDhCFD=90，且
DE=DF
•••D是厶ABC的BC边上的中点，•BD=DC
•Rt△EBD^Rt△FCD（HL）,:
丄EBDhFCD•△ABC是等腰三
角形.
7.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD连
接DE
（1）ZE等于多少度？
（2）ADBE是什么三角形？
为什么？
考占.
等边三角形的性质；等腰三角形的判定.1418944
分析：
（1）由题意可推出/ACB=60E=ZCDE然后根据三角形外角的性质可知：
/ACBhE+ZCDE即可推出/E的度数；
（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是ZABC的角平分线，即得：
ZDBC=30,然后再结合
（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形.
解答：
解:
（1）v^ABC是等边三角形，•••/ACB=60,
•••CD=CE•••/E=zCDE•••/ACBhE+ZCDE
•ii
••「■…i-,
（2）v^ABC是等边三角形，BDLACABC=60,
i
••.门忆-二，n--ii'
•••ZE=30°,「.ZDBCZ£,•••△DBE是等腰三角形.
&如图，在△ABC中，ZACB=90,CD是AB边上的高，ZA=30°.求证:
AB=4BD
考点：
含30度角的直角三角形.1418944
分析：
由厶ABC中，ZACB=90,ZA=30°可以推出AB=2BC同理可得
BC=2BD则结论即可证明.
解答：
解：
•••/ACB=90,ZA=30°,「.AB=2BCZB=60°.
又•CDLAB•••/DCB=30,•BC=2BD「.AB=2BC=4BD
9.如图，△ABC中，AB=AC点DE分别在ABAC的延长线上，且BD=CE
DE与BC相交于点F.求证：
DF=EF
考占.
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1418944
分析：
过D点作DG/AE交BC于G点，由平行线的性质得/仁/2,/4=23,再根据等腰三角形的性质可得/B=Z2,则/B=Z1,于是有DB=DG根据全等三角形的判定易得△DF9AEFC即可得到结论.
解答：
证明：
过D点作DG/AE交BC于G点，如图，
•••21=22,24=23,
•••AB=AC「.2B=22,「.2B=21,•DB=DG而BD=CE「・DG=CE在^DFG和厶EFC中
rZ4=Z3
ZDFG-Z0FC,•△DF9AEFC二DF=EF
RG二CE
10.已知等腰直角三角形ABCBC是斜边./B的角平分线交AC于D过C
作CE与BD垂直且交BD延长线于E,
求证：
BD=2CE
考点：
全等三角形的判定与性质.1418944
分析：
延长CEBA交于一点F,由已知条件可证得△BFE全BEC所
以FE=EC即CF=2CE再通过证明△ADB^AFAC可得FC=BD所
以BD=2CE
证明：
如图,分别延长CEBA交于一点F.
•••BE!
EC•••/FEB玄CEB=90,•/BE平分/ABC,a/FBE玄CBE
又•••BE=BEaABFE^ABCE（ASA.FE=CEaCF=2CE
•••AB=ACZBAC=90，/ABD-ZADB=90，/ADB/EDC
•••/ABD/EDC=90.
又•••/DEC=90,ZEDC/ECD=90,a/FCAZDBCZABD
•••△ADB^AAFCaFC=DB「・BD=2EC
11.（2012?
牡丹江）如图①，△ABC中.AB=ACP为底边BC上一点，PEIABPF!
ACCH!
AB垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH证明过程如下：
如图①，连接AP.
•••PEIABPF!
ACCHLABaS△abp^1AB?
PE,S^acf=^AC?
PF,S^abc=^AB?
CH又TS△abf+Saacf=Saabc,a丄ab?
pe+ac?
pf=ab?
ch
'222
•••AB=ACApe+pf=c.h
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎
样的数量关系？
请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：
若/A=30°,AABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直
线AC的距离为PF,当PF=3时，贝UAB边上的高CH=7.点P到AB边的
分析:
解答:
考点：
等腰三角形的性质；三角形的面积.1418944
（1）连接AP.先根据三角形的面积公式分别表示出Saabp,Saacp,
SaABC,再由Saabf=Saacp+Saabc即可得出PE=PF+PH
（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH再由△ABC的面积为
49,求出CH=7由于CH>PF,则可分两种情况进行讨论：
①P为
底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH②P为BC延长线上的点时，
运用结论PE=PF+CH
解：
（1）如图②,PE=PF+CH证明如下：
VPEIABPF丄ACCHLAB/-S^abp=AB?
PE,S^cP=,AC?
PF,
S^ab（=AB?
CH
VS△abf=S^acf+S^abc,.^AB?
PE=AC?
PF+AB?
CH又VAB=AC•••PE=PF+C；
（2）v在厶ACH中，/A=30°,「.AC=2CH
VS△ab（=^AB?
CHAB=AC2CH?
CH=49•••CH=7
分两种情况：
1P为底边BC上一点，如图①.
•••PE+PF=C,•••PE=CHPF=7-3=4;
2P为BC延长线上的点时，如图②.
•••PE=PF+CHAPE=3+7=10故答案为7;4或10.
12.数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中,点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE=DB（填“〉”，“V”或“二”）.
（2）特例启发，解答题目
解：
题目中，AE与DB的大小关系是：
AE=DB（填“〉”，“V”或
“二”）.理由如下：
如图2,过点E作EF//BC交AC于点F.（请你完成以
下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若
△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长（请你直接写出结
等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1418944
（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出
/D=ZECB=30，求出/DEB=30，求出BD=BE即可；
（2）过E作EF//BC交AC于F,求出等边三角形AEF；证厶DEB和厶ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由
（2）求出CD=3当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1.
解：
（1）故答案为：
=.
（2）过E作EF/BC交AC于F,
•••等边三角形ABC,ABChACBhA=60°,AB=AC=BC
•••/AEF玄ABC=60，/AFE玄ACB=60，即
/AEF玄AFE玄A=60°,
•••△AEF是等边三角形，•••AE=EF=AJF
•••/ABChACBhAFE=60,a/DBEhEFC=120,
/D+ZBED/FCE/ECD=60,
•••DE=EC「./D=ZECDBEDhECF在^DEB和^ECF中
•••BD=EF=AE即AE=BD故答案为:
rZDEB=ZECF
ZDBE=ZEFC,-△DEB^AECF
lDE=CE
（3）解:
CD=1或3,
理由是：
分为两种情况：
①如图
过A作AMLBC于M过E作ENLBC于N,贝UAM/EM
•••△ABC是等边三角形，二AB=BC=AC=1
•••AMLBC•••BM=CM=BC=,vDE=CEENLBC/.CD=2CN
丄
vAIM/ENAMB^AENB如=型，•••丄豆,
BEBN2-1BW
•BN=,.・.CN=l+=』,•CD=2CN=3
222
②如图2,作AMLBC于M过E作ENLBC于N,
则AM/EM
•••△ABC是等边三角形，•AB=BC=AC=1
vAMLBC•BM=CM=BC=,vDE=CEENLBC•CD=2CN
13.已知：
如图，AF平分/BACBCLAF于点E,点D在AF上，ED=EA点P在CF上，连接PB交AF于点M.若/BAC=ZMPC请你判断/F与/MCD的数量关系，并说明理由.
考点：
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1418944
分析：
根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出
AB=AC=CD推出/CDAhCADhCPM求出/MPFhCDM
/PMFhBMAhCMD在厶DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可.
解答：
解：
/F=ZMCD
理由是：
•••AF平分/BACBCLAF,./CAEhBAE
/AEChAEB=90,
在厶ACE和厶ABE中
（Zaec=Zaeb
「上,•△ACE^AABE（ASA•AB=AC
•••/CAEhCDE.AM是BC的垂直平分线，二CM=BJMCE=BE
•••/CMAMBMA
•••AE=EDCELAD•••AC=CD:
丄CADhCDA
•••/BAC=hMPC又•••/BAC=hCAD
•••/MPChCAD•••/MPChCDA:
丄MPFhCDM
•••/MPFhCDM（等角的补角相等）,
•••/DCMhCMDhCDM=18°,/F+/MPFhPMF=180,又•••/PMFhBMAhCMD：
/MCDhF.
14.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BCAC边上，且AE=CD
AD与BE相交于点F.
（1）线段AD与BE有什么关系？
试证明你的结论.
（2）求/BFD的度数.
考占.
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质.1418944
分析：
（1）根据等边三角形的性质可知/BAChC=60,AB=CA结合
AE=CD可证明△ABE^ACAD从而证得结论；
（2）根据/BFDhABEhBADhABEhCAD可知
hBFDhCADhBADhBAC=60.
解答：
（1）证明：
•••△ABC为等边三角形，•/BAChC=60,AB=CA
<△ABE和厶CAD中,
rAB二胚
“Zbae二ABEE^ACAD〔AD=BE
:
kE=CD
（2）解：
I/BFD艺ABE亡BAD
又•••△ABE^ACAD
•••/ABE/CAD•••/BFD/CAD/BAD/BAC=60.
15.如图，在△ABC中，AB=BC/ABC=90,F为AB延长线上一点，点E在BC上,BE=BF连接AE、EF和CF,
求证：
AE=CF
考占.
全等三角形的判定与性质.1418944
分析：
根据已知利用SAS即可判定厶ABE^ACBF根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF
解答：
证明：
T/ABC=90,•••/ABE/CBF=90,
又•••AB=BCBE=BF•••△ABE^ACBF（SAS./.AE=CF
16.已知：
如图，在厶OAB中，/AOB=90,OA=OB在厶EOF中，/EOF=90,
OE=OF连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系？
请说明理由.
O
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.
1418944
可以把要证明相等的线段AE,CF放到△AEO△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BOOE=OF再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去/BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AE3ABFO延长BF交AE于D,交0A于C,可证明
/BDAhAOB=90，贝UAE1BF.
解：
AE与BF相等且垂直，理由：
在厶AEO
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