等腰三角形练习题及答案.docx

1、等腰三角形练习题及答案等腰三角形典型例题练习1.选择题（共2小题）1.如图，/ C=90 , AD平分/ BAC交 BC于 D,若 BC=5cm BD=3cm 则点 D到AB的距离为（ ）A. 5cm B. 3cm C. 2cm D.不能确定2.如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC BC为边 并且在 AB的同一侧作等边厶ACD和等边 BCE连接 AE交CD于 M,连接BD 交CE于N.给出以下三个结论：1AE=BD2CN=CM3MN/ AB其中正确结论的个数是（ ）A.0 B. 1 C.2 D.32.填空题（共1小题）3.如图，在正三角形 ABC中, D E, F分别是B

2、C AC AB上的点，DEL ACEF AB FDL BC则厶DEF的面积与厶ABC的面积之比等于 .3.解答题（共15小题）4.在厶ABC中，AD是/ BAC的平分线，E、F分别为AB AC上的点，且5./ EDFV EAF=180，求证6.已知：如图， D是厶ABC的BC边上的中点，DEL AB DF丄AC,垂足分 别为E, F,且DE=DF请判断 ABC是什么三角形？并说明理由.7 .如图， ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E,使CE=CD连 接DE(1)ZE等于多少度？(2)A DBE是什么三角形？为什么？&如图，在 ABC中，/ ACB=90 , CD是AB边上的高

3、，/ A=30.求证:AB=4BD9.如图， ABC中，AB=AC点 D E分别在 AB AC的延长线上，且 BD=CEDE与BC相交于点F.求证：DF=EF10.已知等腰直角三角形 ABC BC是斜边./B的角平分线交 AC于D过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE11.( 2012?牡丹江)如图， ABC中.AB=AC P为底边 BC上一点，PEI AB PF丄AC CHL AB垂足分别为 E、F、H.易证PE+PF=CH证明过程如下： 如图，连接AP. PEI AB PFL AC CHL AB/S abp= AB?PE, Sacf= AC?PF , Sabc= AB?

4、CH2 2 2又 TS abf+Sa ac=Saabc, AB?PE+AC?PF= AB?CH2 2 2 AB=AC PE+PF=C.H(1) 如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变， PE、PF、CH又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：(2)填空：若/ A=30,A ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时，则AB边上的高CH= .点P到AB边的距离PE .12.数学课上，李老师出示了如下的题目:“在等边三角形 ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且 ED=EC 如图，试确定线段 AE与DB的大小关系，并说明理由”.小敏与同桌

5、小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与DB的大小关系，请你直接 写出结论：AE DB （填“”，“V” 或“二”）.（2）特例启发，解答题目解:题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“”，“V”或“二”）.理由如下：如图2,过点E作EF/ BC交AC于点F.（请你完成 以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC中，点E在直线 AB上，点D在直线BC上，且ED=EC 若 ABC的边长为1, AE=2,求CD的长（请你直接写出结果）.13.已知：如图， AF平分/ BAC BCLAF于点E,点D在AF上，ED=EA点

6、 P在CF上，连接 PB交AF于点M.若/ BAC=Z MPC请你判断/F 与/ MCD 的数量关系，并说明理由.c14.如图，已知 ABC是等边三角形， 点D、E分别在BC AC边上，且AE=CDAD与BE相交于点F.(1)线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.(2)求/ BFD的度数.15 .如图，在 ABC中，AB=BC / ABC=90 , F为AB延长线上一点，点 E在 BC上, BE=BF 连接 AE、EF和 CF,求证：AE=CFB F16 .已知：如图，在厶 OAB中，/ AOB=90 , OA=OB在厶 EOF中，/ EOF=90 ,OE=OF连接AE、BF.问线段AE与

7、BF之间有什么关系？请说明理由.17.（2006?郴州）如图，在 ABC中，AB=AC D是BC上任意一点，过 D分 别向AB, AC引垂线，垂足分别为 E, F, CG是AB边上的高.（1） DE DF, CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2） 若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在 怎样的关系？请说明理由.18.如图甲所示，在 ABC中，AB=AC在底边BC上有任意一点P，贝U P点 到两腰的距离之和等于定长（腰上的高） ，即PD+PE=CF若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜 想并加以证明.等腰三角形

8、典型例题练习参考答案与试题解析1.选择题（共2小题）1.如图，/ C=90， AD平分/ BAC交 BC于 D,若 BC=5cm BD=3cm 则点 D2.到AB的距离为（ ）的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解.解答:解：I/ C=90 , AD平分/ BAC交 BC于 DD到AB的距离即为 CD长CD=5- 3=2故选C.3.如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外）交CE于N.给出以下三个结论:AE=BCN=CMN/ AB 其中正确结论的个数是（考占.平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.1418944分析：由厶ACD和厶BCE是等边三角形，根据 SA

9、S易证得 ACEA DCB 即可得正确；由厶ACEA DCB可得/ EACh NDC又由/ ACDh MCN=6 ,利用ASA可证得 ACIWA DCN 即可得正 确；又可证得厶CMN是等边三角形，即可证得正确.解答：解: ACD和厶 BCE是等边三角形,/ ACDh BCE=60 , AC=DCEC=BC/ ACD# DCEh DCEh ECB 即/ ACEh DCBACWA DCB(SAS, AE=BD故正确；/ EAC# NDC I/ ACD# BCE=60 ,:丄 DCE=60 ,/ ACD# MCN=6 , AC=DCACIW DCN( ASA),二 CM=CN 故正确；又# MCN

10、=18 -# MCA# NCB=180 - 60- 60 =60 , CMN是等边三角形,# NMC#ACD=60 , /. MIN/ AB 故正 确.故选D.2.填空题（共1小题）4.如图，在正三角形 ABC中，D, E, F分别是BC, AC, AB上的点，DELAQEF丄AB FDL BC则厶DEF的面积与厶ABC的面积之比等于 1: 3 .考占.相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.1418944分析：首先根据题意求得：/ DFE艺FED艺EDF=60，即可证得 DEF 是正三角形，又由直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一 半，得到边的关系，即可求得 D

11、F: AB=1:灭，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果.解答：解： ABC是正三角形，/ B=Z C=Z A=60,DEL AC EF AB FD丄 BC :丄 AFE玄 CEDh BDF=90 , 宀 BFD CDEM AEF=30，二 DFEH FEDH EDF=60 ,器;, DEF是正三角形， BD DF=1:氏，BD AB=1 : 3， DEFA ABC*，普2AB=1:血 DEF的面积g ABC的面 积之比等于1: 3.故答案为：1: 3.A&D cBD3.解答题（共15小题）4.在厶ABC中，AD是/ BAC的平分线，E、F分别为AB AC上的点，且分析:过D作

12、DMLAB于M DNLAC于N,根据角平分线性质求出 DN=DM根据四边形的内角和定理和平角定义求出/ AEDh CFD 根据全等三角形的判定 AAS推出 EMS FND即可.即/ EMD/FND=90 , a AD平分/ BAC DMLAB DNLAC /. DM=DN角平分线性质) ,/ DMEMDNF=90 ,/ EAF+/ EDF=180 ,./ MED/AFD=360 - 180 =180,/ AFD+/ NFD=180 ,二/ MED/NFDPF,则可分两种情况进行讨论：P 为底边BC上一点，运用结论 PE+PF=CHP为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH解：(1)如图,

13、PE=PF+CH证明如下：V PEI AB PF丄 AC CHL AB /-S abp= AB?PE, ScP= ,AC?PF ,Sab(= AB?CHVS abf=Sacf+Sabc, .AB?PE=AC?PF+AB?CH 又 V AB=AC PE=PF+C；(2)v在厶 ACH中，/ A=30,. AC=2CHVS ab(=AB?CH AB=AC 2CH?CH=49 CH=7分两种情况：1P为底边BC上一点，如图. PE+PF=C, PE=CH PF=7- 3=4;2P为BC延长线上的点时，如图. PE=PF+CHA PE=3+7=10 故答案为 7; 4 或 10.12.数学课上，李老师

14、出示了如下的题目：“在等边三角形 ABC中,点E在AB上，点D在CB的延长线上，且 ED=EC 如图，试确定线段 AE与DB的大小关系，并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与DB的大小关系，请你直接 写出结论：AE = DB (填“”，“V” 或“二”).(2)特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB (填“”，“V”或“二”).理由如下：如图2,过点E作EF/ BC交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC中，点E在直线 AB上，点D在直线BC

15、上，且ED=EC若 ABC的边长为1, AE=2,求CD的长(请你直接写出结等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判 定与性质；等腰三角形的性质. 1418944(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出/ D=Z ECB=30，求出/ DEB=30，求出 BD=BE即可；(2) 过E作EF/ BC交AC于F,求出等边三角形 AEF；证厶DEB 和厶ECF全等，求出 BD=EF即可；(3)当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由(2)求出 CD=3当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出 CD=1.解：(1)故答案为：=.(2)过 E 作 EF/ BC 交 A

16、C于 F,等边三角形 ABC,ABCh ACBh A=60, AB=AC=BC/ AEF玄 ABC=60，/ AFE玄 ACB=60，即/ AEF玄 AFE玄 A=60, AEF 是等边三角形， AE=EF=AJF/ ABCh ACBh AFE=60 , a/ DBEh EFC=120 ,/ D+Z BED/ FCE/ ECD=60 , DE=EC./ D=Z ECDBEDh ECF 在 DEB和 ECF 中 BD=EF=AE 即 AE=BD 故答案为:rZDEB=ZECFZDBE=ZEFC , - DEBA ECFlDE=CE (3)解:CD=1 或 3,理由是：分为两种情况：如图过A作AM

17、L BC于 M 过E作ENL BC于N,贝U AM/ EM ABC是等边三角形，二 AB=BC=AC=1 AML BC BM=CM=BC=, v DE=CE ENL BC /. CD=2CN丄v AIM/ ENAMBA ENB如=型，丄豆,BE BN 2-1 BW BN=,.CN=l+=, CD=2CN=32 2 2如图2,作AMLBC于 M 过E作ENLBC于N,则 AM/ EM ABC 是等边三角形， AB=BC=AC=1v AML BC BM=CM=BC=, v DE=CE ENL BC CD=2CN13.已知：如图， AF平分/ BAC BCLAF于点E,点D在AF上，ED=EA点 P

18、在CF上，连接 PB交AF于点M.若/ BAC=Z MPC请你判断/F 与/ MCD 的数量关系，并说明理由.考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 1418944分析： 根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD 推出/ CDAh CADh CPM 求出/ MPFh CDM/ PMFh BMAh CMD在厶DCM和 PMF中根据三角形的内角和定 理求出即可.解答： 解：/ F=Z MCD理由是： AF 平分/ BAC BCL AF,. / CAEh BAE/ AECh AEB=90 ,在厶ACE和厶ABE中(Zaec=Zaeb上 , ACEAABE( AS

19、A AB=AC/ CAEh CDE. AM 是 BC的垂直平分线，二 CM=BJM CE=BE/ CMAM BMA AE=ED CEL AD AC=CD :丄 CADh CDA/ BAC=h MPC 又/ BAC=h CAD/ MPChCAD / MPChCDA :丄 MPFh CDM/ MPFh CDM(等角的补角相等),/ DCMhCMDhCDM=18 , / F+/ MPFh PMF=180 , 又/ PMFh BMAhCMD：/ MCDh F.14.如图，已知 ABC是等边三角形， 点D、E分别在BC AC边上，且AE=CDAD与BE相交于点F.(1)线段AD与BE有什么关系？试证明你

20、的结论.(2)求/ BFD的度数.考占.等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质. 1418944分析：(1)根据等边三角形的性质可知/ BACh C=60 , AB=CA结合AE=CD可证明 ABEACAD从而证得结论；(2)根据/ BFDh ABEh BAD h ABEh CAD 可知h BFDh CADh BADh BAC=60 .解答：(1)证明： ABC 为等边三角形，/ BACh C=60 , AB=CA ABE 和厶 CAD中,r AB 二胚“ Zbae二ABEEA CAD AD=BE:kE=CD(2)解：I / BFD艺 ABE亡 BAD又 ABEA CAD/ ABE/ CAD

21、 / BFD/ CAD/ BAD/ BAC=60 .15 .如图，在 ABC中，AB=BC / ABC=90 , F为AB延长线上一点，点 E 在 BC上, BE=BF 连接 AE、EF和 CF,求证：AE=CF考占.全等三角形的判定与性质. 1418944分析：根据已知利用 SAS即可判定厶ABEACBF根据全等三角形的对 应边相等即可得到 AE=CF解答：证明：T/ ABC=90 ,/ ABE/ CBF=90 ,又 AB=BC BE=BF ABEA CBF( SAS. /. AE=CF16 .已知：如图，在厶 OAB中，/ AOB=90 , OA=OB在厶 EOF中，/ EOF=90 ,OE=OF连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.O全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.1418944可以把要证明相等的线段 AE, CF放到 AEO BFO中考虑全等 的条件，由两个等腰直角三角形得 AO=BO OE=OF再找夹角相等， 这两个夹角都是直角减去/ BOE的结果，当然相等了，由此可以 证明 AE3A BFO延长 BF交AE于D,交0A于C,可证明/ BDAh AOB=90，贝U AE1 BF.解：AE与BF相等且垂直， 理由：在厶AEO