中考数学试题中考数学备考专题复习六开放性数.docx

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中考数学试题中考数学备考专题复习六开放性数

中考数学专题复习六开放性数学题型及解法探究

近年来，各地中考数学试卷中开放性试题所占的比例逐年增大。

不少地区中考数学压轴题都是由开放性试题当家的。

尽管中考开放性试题几乎年年都有新面孔，但仔细析来，不外乎有以下几种常见题型：

1、自编问题型；2、阅读理解型；3、决策运筹型；4、数学建模型；5、方案设计型；6、信息迁移型；7、单一判断型；8、条件存在型；9、题设取舍型；10、探索结论型；　11、过程动态型；12、分类讨论型。

以上题型在中考试卷中有时单独成题，有时多型合题。

解答这些开放性数学中考题，不仅要求学生具有厚实的基本功和一定的数学思想方法，而且要求学生具有较强的发散思维能力和创新精神。

不过，完整地解答开放性数学中考题也不是高不可攀的。

因为，不同题型的分析思路还是有一定的规律可循的。

例1　（2000年泉州市）写出一个只含有字母x的代数式（要求：

（1）要使此代数式有意义，字母x必须取全体正数；

（2）此代数式的值恒为负数）：

________。

　　解　-

（或-

，-

，…）。

　　评注　自编问题型的答案是丰富多彩的，只要把语言叙述的条件转变为数学表达式即可。

　　例2　（2000年安徽省）比较下面两列算式结果的大小（在横线上选填“>”“<”“=”）。

　　42+32_______2×4×3；

　　（-2）2+12_______2×（-2）×1；

　　（

）2+（

）2_______2×

×

；

　　22+22______2×2×2。

　　通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明。

　　解　由上而下应填：

>、>、>、=。

　　一般结论：

如果a，b是两个实数，那么a2+b2≥2ab。

　　∵（a-b）2≥0，∴a2-2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab。

　　评注　解阅读理解题应：

①细看——感悟材料的表象；②泛想——归纳材料的共性；③敢猜——揭示材料的规律；④慎证——说明猜想的合理性。

　　例3　（1998年河北省）某工厂有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A，B两种产品共50件。

已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案？

请你设计出来。

（2）设生产A，B两种产品获总利润为y（元），其中一种产品的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？

最大利润是多少？

　　解　

（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品（50-x）件。

　　由

　　得30≤x≤32。

　　∵x为整数，∴x取30，31或32。

　　∴生产方案有三种：

①生产A种产品30件，B种产品20件；②生产A种产品31件，B种产品19件；③生产A种产品32件，B种产品18件。

（2）依题意得：

y=700x+1200（50-x），

　　∴y=-500x+60000，

　　∵y随x的增大而减小，∴当x=30时，y的值最大。

　　即按第一种方案安排生产，所获最大利润为45000元。

　　评注　这道题集决策运筹、方案设计和数学建模于一身。

对于方案，通常不止一套，但我们应选最佳的。

特别是几何图形的设计，更应如此。

至于决策题，通常与经济题紧密相联，涉及到函数和不等式（组）等知识。

解这类题的关键是建立相应的数学模型。

运用数学建模方法解决实际问题，一般要经过三个环节：

　　实际问题

数学问题[算式、方程、不等式（组）、函数]

解答数学问题

回归实际问题。

　　例4　（1999年扬州市）若函数y=

的自变量x取值范围是一切实数，则c的取值范围是（）

　　（A）c>1　　　　（B）c=1

　　（C）c<1　　　　（D）c≤1

　　解　应选A。

　　评注　解答信息迁移型开放题，要在已有知识的基础上，设置一个新的数学情景，根据引入的新内容，通过类比，转换至似曾相识的问题来解。

本题的命题和解题都属信息迁移型。

按常规，由x2+2x+c≠0来求c的值，是难以办到的。

不过，若将x2+2x+c≠0理解为：

当c为何实数时，关于x的方程x2+2x+c=0无实根？

则可得△<0，∴c>1。

　　例5　设抛物线y=x2-（m-1）x+（m+2）与y轴相交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），O为坐标原点，以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，且这两个圆外切。

（1）求m的取值范围；

（2）这两个圆的半径是否相等？

若相等，求出其半径；若不相等，请指出哪一个圆较大？

（3）是否存在这样的m值，使OC2=OA·OB？

如果存在，判定△ABC的形状；并证明你的结论；如果不存在，请说明理由。

　　略解　设A（x1,0），B（x2,0），x1

（1）由

得m<-2。

（2）由x1+x2=m-1<-3≠0，得两圆半径不等，且以OA为直径的圆较大。

　　（3）假设存在这样的m值，使OC2=OA·OB，则（m+2）2=-（m+2），∴m=-3。

　　此时△ABC是直角三角形，证△COA∽△BOC即可。

　　评注　第

（2）题属于单一判断型开放题，由于“单一判断”是非此即彼，所以解答这类题，只要通过正确计算（或推理）即可得出结论。

　　第（3）题属条件存在型开放题。

由于条件存在型开放题的特征是“结出结论，逆向寻求条件是否存在”，所以，一般要用反证法思想解题。

第一步假设存在。

第二步：

根据假设进行推理。

若推理顺畅，即可求出所寻的条件；若出现矛盾，则表明所寻条件不存在。

值得注意的是，近年来，条件存在型问题，在各地中考开放性数学试题中出现的频率最高。

　　例6　在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动。

P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。

设运动时间为t秒。

求：

（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？

（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相交、相离？

解　

（1）∵AD∥BC，∴只要QC=PD，则可得；平行四边形PQCD，此时3t=24-t，∴t=6，即当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形。

　　∵PD∥PC，∴只要PQ=CD且PD≠QC，四边形PQCD即为等腰梯形。

如图2，作PE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则由等腰梯形的性质可知：

EF=PD，QE=FC=2，∴2=

[3t-（24-t）]，∴t=7，即当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。

（2）设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点F（如图3），作PH⊥BC于H，则PH=AB=8，BH=AP，根据切线长定理可得PQ=PF+FQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t，而PQ2=PH2+HQ2，∴（26-2t）2=82+（26-4t）2。

　　∴t1=

，t2=8，即当t=

秒或t=8秒时，PQ与⊙O相切。

　　当t=0秒时，PQ与⊙O相交；当t=

=8

秒进，当Q运动到B点，点P尚未运动到点D，但也停止了运动，此时PQ也与⊙O相交。

　　∴当0≤t<

秒或8＜t≤8

秒时，PQ与⊙O相交。

　　当

秒,t<8秒时，直线PQ与⊙O相离。

　　评注　本例是一道典型的过程动态开放题，在全面实施素质教育的今天，倍受中考命题者的青睐。

因为它所强化的数学素养，对学生后续学习意义深远。

解决这类问题的关键是分析运动变化过程，寻找变化中的特殊位置。

即“动”中求“静”、“一般”中见“特殊”，再列出特殊位置时的数学表达式，运用分类讨论的思想，各个击破。

　　其实本例第

（1）问也是一种结论明显的分类讨论题。

但在解隐含性结论（或过程）分类讨论型开放题时，要首先确定好分类的标准，再行讨论，切切不能重复、不能遗漏。

　　若将本例的第

（2）问改为：

“确定在运动过程中PQ与⊙O的位置关系”，则它就成了一道探索结论型的开放题。

由于需要探索的结论目标不明确，且结论往往不唯一，所以这类题是开放型数学试题中难度较高的一类。

解决这类问题，需要有扎实的基础知识，较强的发散思维能力。

因此，遇到此类题，必须仔细审题，善于运用分析、联想、类比、分类等数学思想及方法才能解决。

其解题的基本策略是：

从已知开始，层层演绎推理，后步可用前步的结论，直至结论被推出，特别重视可能出现的多解情况。

　　至于题设取舍型，顾名思义，即是提供的条件过多，解题时应正确取舍，你能举出这方面的中考数学开放试题吗？

 例7.善于学习的小敏查资料知道：

对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形，他想到“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？

问题一：

平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？

（1）从特殊情形入手探究。

假设梯形ABCD中，AD//BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位线（如图2①）。

根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似？

图2①

（2）一般结论：

平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形——（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”。

不要求证明）。

问题二：

平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？

（1）从特殊平行线入手探究。

梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形——（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”。

不要求证明）。

（2）从特殊梯形入手探究。

同上假设，梯形ABCD中，AD//BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P、Q在梯形的两腰上，如图2②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？

请根据相似梯形的定义说明理由。

图2②

（3）一般结论：

对于任意梯形（如图2③），一定——（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似。

图2③

若存在，则确定这条平行线位置的条件是

——。

（不妨设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d。

不要求证明）。

分析：

问题一

（1）因为MN是中位线，所以

显然对应边不成比例，所以梯形AMND与梯形ABCD不相似。

（2）平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形不相似。

问题二

（1）因为MN是中位线，显然两梯形对应边不成比例，所以梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形不相似。

（2）如果梯形APQD与梯形PBCQ相似

则

解得PQ=4，此时

又AB=6，所以AP=2，所以当AP=2，且PQ//BC时，

，又两梯形对应角相等，所以梯形APQD与梯形PBCQ相似。

（3）对于任意梯形，一定存在平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似。

此时，

所以

评注：

这类问题建立在已学知识的基础上研究、发现、拓展相似形问题为素材设计的一道创新型阅读理解题。

解答这类阅读理解题的关键是在阅读、理解的基础上，由题中提供的信息，联系所学知识，运用联想类比、模仿迁移的方法实现信息的迁移，从而掌握符合问题的条件及其性质的运用；它既能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力，又能考查学生的自学能力，信息的收集、迁移和应用能力。

例8 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的

处。

得到

（图乙），再延长

交AD于F，所得到的

是（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形

答案：

B