中考数学试题中考数学备考专题复习六开放性数.docx

1、中考数学试题中考数学备考专题复习六开放性数中考数学专题复习六 开放性数学题型及解法探究 近年来，各地中考数学试卷中开放性试题所占的比例逐年增大。不少地区中考数学压轴题都是由开放性试题当家的。尽管中考开放性试题几乎年年都有新面孔，但仔细析来，不外乎有以下几种常见题型：1、自编问题型；2、阅读理解型；3、决策运筹型；4、数学建模型；5、方案设计型；6、信息迁移型；7、单一判断型；8、条件存在型；9、题设取舍型；10、探索结论型；11、过程动态型；12、分类讨论型。以上题型在中考试卷中有时单独成题，有时多型合题。解答这些开放性数学中考题，不仅要求学生具有厚实的基本功和一定的数学思想方法，而且要求学生

2、具有较强的发散思维能力和创新精神。不过，完整地解答开放性数学中考题也不是高不可攀的。因为，不同题型的分析思路还是有一定的规律可循的。例1（2000年泉州市）写出一个只含有字母x的代数式（要求：（1）要使此代数式有意义，字母x必须取全体正数；（2）此代数式的值恒为负数）：_。解-（或-，-，）。评注自编问题型的答案是丰富多彩的，只要把语言叙述的条件转变为数学表达式即可。例2（2000年安徽省）比较下面两列算式结果的大小（在横线上选填“”“、=。一般结论：如果a，b是两个实数，那么a2+b22ab。(a-b)20，a2-2ab+b20，a2+b22ab。评注解阅读理解题应：细看感悟材料的表象；泛想

3、归纳材料的共性；敢猜揭示材料的规律；慎证说明猜想的合理性。例3（1998年河北省）某工厂有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A，B两种产品共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来。（2）设生产A，B两种产品获总利润为y（元），其中一种产品的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？解（1）设安排生产A种产品x件，则生产

4、B种产品(50-x)件。由得30x32。x为整数，x取30，31或32。生产方案有三种：生产A种产品30件，B种产品20件；生产A种产品31件，B种产品19件；生产A种产品32件，B种产品18件。（2）依题意得：y=700x+1200(50-x)，y=-500x+60000，y随x的增大而减小，当x=30时，y的值最大。即按第一种方案安排生产，所获最大利润为45000元。评注这道题集决策运筹、方案设计和数学建模于一身。对于方案，通常不止一套，但我们应选最佳的。特别是几何图形的设计，更应如此。至于决策题，通常与经济题紧密相联，涉及到函数和不等式（组）等知识。解这类题的关键是建立相应的数学模型。运

5、用数学建模方法解决实际问题，一般要经过三个环节：实际问题数学问题算式、方程、不等式（组）、函数 解答数学问题回归实际问题。例4（1999年扬州市）若函数y=的自变量x取值范围是一切实数，则c的取值范围是（ ）（A）c1（B）c=1（C）c1（D）c1解应选A。评注解答信息迁移型开放题，要在已有知识的基础上，设置一个新的数学情景，根据引入的新内容，通过类比，转换至似曾相识的问题来解。本题的命题和解题都属信息迁移型。按常规，由x2+2x+c0来求c的值，是难以办到的。不过，若将x2+2x+c0理解为：当c为何实数时，关于x的方程x2+2x+c=0无实根？则可得1。例5设抛物线y=x2-(m-1)x

6、+(m+2)与y轴相交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），O为坐标原点，以OA、OB为直径作O1、O2，且这两个圆外切。（1）求m的取值范围；（2）这两个圆的半径是否相等？若相等，求出其半径；若不相等，请指出哪一个圆较大？（3）是否存在这样的m值，使OC2=OAOB？如果存在，判定ABC的形状；并证明你的结论；如果不存在，请说明理由。略解设A(x1,0)，B(x2,0)，x1X2，则（1）由得m-2。（2）由x1+x2=m-1-30，得两圆半径不等，且以OA为直径的圆较大。（3）假设存在这样的m值，使OC2=OAOB，则(m+2)2=-(m+2)，m=-3。此时ABC是直角三角形，证

7、COABOC即可。评注第（2）题属于单一判断型开放题，由于“单一判断”是非此即彼，所以解答这类题，只要通过正确计算（或推理）即可得出结论。第（3）题属条件存在型开放题。由于条件存在型开放题的特征是“结出结论，逆向寻求条件是否存在”，所以，一般要用反证法思想解题。第一步假设存在。第二步：根据假设进行推理。若推理顺畅，即可求出所寻的条件；若出现矛盾，则表明所寻条件不存在。值得注意的是，近年来，条件存在型问题，在各地中考开放性数学试题中出现的频率最高。例6在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米，AB为O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米/秒

8、的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动。P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒。求：（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？（2）t分别为何值时，直线PQ与O相切、相交、相离？解（1）ADBC，只要QC=PD，则可得；平行四边形PQCD，此时3t=24-t，t=6，即当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形。PDPC，只要PQ=CD且PDQC，四边形PQCD即为等腰梯形。如图2，作PEBC于E，DFBC于F，则由等腰梯形的性质可知：EF=PD，QE=FC=2，2=3t-(24-t)，t=7，即当t

9、=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。（2）设运动t秒时，直线PQ与O相切于点F（如图3），作PHBC于H，则PH=AB=8，BH=AP，根据切线长定理可得PQ=PF+FQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t，而PQ2=PH2+HQ2，(26-2t)2=82+(26-4t)2。t1=，t2=8，即当t=秒或t=8秒时，PQ与O相切。当t=0秒时，PQ与O相交；当t=8秒进，当Q运动到B点，点P尚未运动到点D，但也停止了运动，此时PQ也与O相交。当0t秒或8t8秒时，PQ与O相交。当秒,t8秒时，直线PQ与O相离。评注本例是一道典型的过程动态开放题，在全面实施素质教育的今天，倍受中考命题者的青

10、睐。因为它所强化的数学素养，对学生后续学习意义深远。解决这类问题的关键是分析运动变化过程，寻找变化中的特殊位置。即“动”中求“静”、“一般”中见“特殊”，再列出特殊位置时的数学表达式，运用分类讨论的思想，各个击破。其实本例第（1）问也是一种结论明显的分类讨论题。但在解隐含性结论（或过程）分类讨论型开放题时，要首先确定好分类的标准，再行讨论，切切不能重复、不能遗漏。若将本例的第（2）问改为：“确定在运动过程中PQ与O的位置关系”，则它就成了一道探索结论型的开放题。由于需要探索的结论目标不明确，且结论往往不唯一，所以这类题是开放型数学试题中难度较高的一类。解决这类问题，需要有扎实的基础知识，较强的

11、发散思维能力。因此，遇到此类题，必须仔细审题，善于运用分析、联想、类比、分类等数学思想及方法才能解决。其解题的基本策略是：从已知开始，层层演绎推理，后步可用前步的结论，直至结论被推出，特别重视可能出现的多解情况。至于题设取舍型，顾名思义，即是提供的条件过多，解题时应正确取舍，你能举出这方面的中考数学开放试题吗？例7. 善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形，他想到“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）从特殊情形入手探究。假

12、设梯形ABCD中，AD/BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位线（如图2）。根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似？图2（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”。不要求证明）。问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？（1）从特殊平行线入手探究。梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”。不要求证明）。（2）从特殊梯形入手探究。同上假设，梯形ABCD中，AD/BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ

13、（点P、Q在梯形的两腰上，如图2），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由。图2（3）一般结论：对于任意梯形（如图2），一定（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似。图2若存在，则确定这条平行线位置的条件是。（不妨设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d。不要求证明）。分析：问题一（1）因为MN是中位线，所以显然对应边不成比例，所以梯形AMND与梯形ABCD不相似。（2）平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形不相似。问题二（1）因为MN是中位线，显然两梯形对应边不成比例，所以梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形不相似。（2）如果

14、梯形APQD与梯形PBCQ相似则解得PQ=4，此时又AB=6，所以AP=2，所以当AP=2，且PQ/BC时，又两梯形对应角相等，所以梯形APQD与梯形PBCQ相似。（3）对于任意梯形，一定存在平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似。此时， 所以评注：这类问题建立在已学知识的基础上研究、发现、拓展相似形问题为素材设计的一道创新型阅读理解题。解答这类阅读理解题的关键是在阅读、理解的基础上，由题中提供的信息，联系所学知识，运用联想类比、模仿迁移的方法实现信息的迁移，从而掌握符合问题的条件及其性质的运用；它既能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力，又能考查学生的自学能力，信息的收集、迁移和应用能力。例8如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的处。得到（图乙），再延长交AD于F，所得到的是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形答案：B