第十一章全等三角形小结.docx

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第十一章全等三角形小结

第十一章　全等三角形　小结

一、全等形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

二、全等三角形

１、概念：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

注意：

（１）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

　　（２）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，可以完全重合，不是胡乱摆放都能重合。

２、全等三角形的符号表示、读法

△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。

注意：

（１）计两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。

　　（２）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。

　　（３）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。

３、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

４、三角形全等的识别方法

（１）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”和“ＳＳＳ”。

（２）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”和“ＳＡＳ”。

（３）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ＡＳＡ”。

（４）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“ＡＡＳ”。

（５）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“ＨＬ”。

注意：

ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

５、三角形全等的证明思路

　　　　　　　　　找夹角——ＳＡＳ

（１）已知两边　　找直角——ＨＬ

　　　　　　　　　找另一边——ＳＳＳ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找边的对角——ＡＡＳ

（２）已知一边一角　　边为角的邻边　　找夹角的另一边——ＳＡＳ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找夹边的另一角——ＡＳＡ

　　　　　　　　　　　边为角的对边——找任意一角——ＡＡＳ

（３）已知两角　　找夹边——ＡＳＡ

　　　　　　　　　找任意一边——ＡＡＳ

６、全等变换

一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换，三种基本全等变换：

（１）旋转；（２）翻折；（３）平移。

三、角平分线的性质定理及逆定理

１、性质定理：

角平分线上的点到角的两边距离相等。

注意：

（１）定理作用：

a.证明线段相等；b.为证明三角形全等准备条件。

（２）点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度。

２、逆定理：

在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。

３、三角形的内心

利用角的平分线的性质定理可以导出：

三角形的三个内角的角平分线交于一点Ｉ，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。

说明：

（１）三角形三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离相等。

　　　　（２）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这个点到三边所在的直线的距离相等。

　　　　（３）三角形外角角平分线的交点共有３个，所以到三角形三边所在的直线的距离相等的点共有４个。

掌握规律，快速判断全等三角形

全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。

判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL。

一、已知一边及与其相邻的一个内角对应相等

判断三角形全等的公理中边和角相邻的有SAS、ASA、AAS，所以可以从三个方面进行考虑：

已知条件

想法一

想法二

想法三

AB=DE

∠B=∠E

首先判断

BC=EF，然后应用SAS判断全等

首先判断

∠A=∠D，然后应用

ASA判断全等

首先判断

∠C=∠F，然后应用AAS判断全等

例1、如图1，F是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，DC∥AB。

说明△AFE≌△CDE的理由。

分析：

本题是在两个三角形有对顶角的情况下进行考虑的，根据ASA来判断两个三角形全等，应该首先推导以DE、FE为一边的另一个角也是对应相等的，也就是∠AFE=∠CDE，然后再证明三角形全等。

解：

应为FC∥AB（已知）

所以∠AFE=∠CDE（两直线平行，内错角相等）

在△ADE和△CFE中，

∴△AFE≌△CDE（ASA）。

二、已知两边对应相等

判断三角形全等的公理中已知两条边的有SAS、SSS，所以可以从两个方面进行考虑

AB=DE

BC=EE

首先判断AC=DF，然后应用SSS判断全等

首先判断∠B=∠E，然后应用SAS判断全等

例2、如图2所示，在△ABC和△EFD，AD=FC，AB=FE，BC=DE。

说明△ABC≌△FED的理由。

分析：

本题是在两个三角形有两条边对应相等的情况下进行考虑的，根据SSS来判断两个三角形全等，应该首先推导AC=FD，然后再证明三角形全等。

解：

因为AD=FC

所以AD+DC=FC+DC

即AC=FD

在△ABC和△EFD中

所以△ABC≌△EFD（SSS）

三、已知两角对应相等

判断三角形全等的公理中已知两条边的有AAS、ASA，所以可以从两个方面进行考虑

∠A=∠D

∠B=∠C

首先判断AB=DE，然后应用ASA判断全等

首先判断AC=DF或者BC=EF，然后应用ASA判断全等

　例3、如图3，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF。

说明△ACE≌△BDF的理由。

　分析：

本题是在两个三角形有两个角对应相等的情况下进行考虑的，根据AAS来判断两个三角形全等，应该首先推导CE=DF或者AE=BF，本题是从推导AE=BF出发，然后再证明三角形全等。

解：

因为OA=OB，OE=OF已知

所以OA－OE=OB－OF，即AE=BF，

　　在△ACE和△BDF中，

所以△ACE≌△BDF（AAS）。

四、已知一边与其对角对应相等，与之相对应的公理只有AAS，可以考虑首先判断这条边的某一个邻角也对应相等，然后再判断两个三角形全等。

例4、如图4，D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，∠B=∠C。

说明△ABD和△ACE全等的理由。

解：

因为AD=AE（已知）

　　所以∠1=∠2（等边对等角），

　　又因为∠ADB=∠180°－∠1，

∠AEC=180°－∠2（邻补角定义），

所以∠ADB=∠AEC，

　　在△ABD和△ACE中，

所以△ABD≌△ACE（AAS）。

全等三角形专题讲解

专题一全等三角形判别方法的应用

专题概说：

判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：

1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）

2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）

3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）

4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）

而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．

三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？

（1）条件充足时直接应用

在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．

例1已知：

如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．那么图中全等的三角形有___对．

分析：

由CE⊥AB，BD⊥AC，得∠AEO=∠ADO=90º．由AO平分∠BAC，得∠EAO=∠DAO．又AO为公共边，所以△AEO≌△ADO．所以EO=DO，AE=AD．又∠BEO=∠CDO=90º，

∠BOE=∠COD，所以△BOE≌△COD．由

AE=AD，∠AEO=∠ADO=90º，∠BAC为公

共角，所以△EAC≌DAO．所以AB=AC．又

∠EAO=∠DAO，AO为公共边，所以△ABO≌△ACO．图1

所以图中全等的三角形一共有4对．

（2）条件不足，会增加条件用判别方法

此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：

执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．

例2如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）_____．

分析：

要使△ABC≌△ADE，注意到∠1=∠2，

所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠EAC．

要使△ABC≌△ADE，根据SAS可知只需AC=AE图2

即可；根据ASA可知只需∠B=∠D；根据AAS可知只需∠C=∠E．故可添加的条件是AC=AE或∠B=∠D或∠C=∠E．

（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法

在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．

例3已知：

如图3，AB=AC，∠1=∠2．

求证：

AO平分∠BAC．

分析：

要证AO平分∠BAC，即证∠BAO=∠BCO，

要证∠BAO=∠BCO，只需证∠BAO和∠BCO所在的两

个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可．

证明：

连结BC．

因为AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．

因为∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．图3

即∠3=∠4，所以BO=CO．

因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，

所以△ABO≌△ACO．

所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法

例4已知：

如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．

求证：

∠ADC=∠BDF．

证明：

过B作BG⊥BC交CF延长线于G，

所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因为AC⊥BC，

CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．

因为AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90º，所以图4

△ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．

说明：

常见的构造三角形全等的方法有如下三种：

①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．

（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法

新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．

例5要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件

限制，无法直接度量A，B两点间的距离﹒请你用学过的数

学知识按以下要求设计一测量方案﹒

（1）画出测量图案﹒

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒图5

（3）计算A、B的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒

分析：

可把此题转化为证两个三角形全等．第

（1）题，测量图案如图5所示．第

（2）题，测量步骤：

先在陆地上找到一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测得CD的长为

，则AB的长就是

．第（3）题易证△AOB≌△COD，所以AB=CD，测得CD的长即可得AB的长．

解：

（1）如图6示．

（2）在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC＝OA，在BO的延长线上取一点D，并测

得OD＝OB，这时测出CD的长为

，则AB的长就是

．

（3）理由：

由测法可得OC=OA，OD=OB．

又∠COD=∠AOB，∴△COD≌△AOB．

∴CD=AB=

．图6

评注：

本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生

动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了

学生用数学的意识﹒

练习：

1．已知：

如图7，D是△ABC的边

AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=FE．图7

求证：

AE=CE．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．如图8，在△ABC中，点E在BC上，点

D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE．

求证：

BD=CD．图8

3．已知：

如图9，AB=AE，BC=ED，

点F是CD的中点，AF⊥CD．

求证：

∠B=∠E．图9

4．如图10，某同学把一把三角形的玻璃

打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小

形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）﹒

（A）带①和②去（B）带①去

（C）带②去（D）带③去图10

5．如图11，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（）

（A）边角边（B）角边角

（C）边边边（D）角角边图11

专题二角的平分线

从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．

（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等

例6已知：

如图12，△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．

求证：

AD平分∠BAC．

证明：

过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．图12

在△BED与△CFD中，∠1＝∠2，∠BED＝∠CFD＝

，BD=CD，

∴△BED≌△CFD（AAS）．

∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC．

说明：

遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．

（2）利用角的平分线构造全等三角形

①过角平分线上一点作两边的垂线段

例7如图13，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．

求证：

AE=ED．

分析：

由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E分别作AB、BC、CD的垂线段．

证明：

过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，作EG⊥BC，垂足为G，作EH⊥CD，垂足为H．

∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC，

∴EF=EG．同理EG=EH．∴EF=EH．

∵AB∥CD，∴∠FAE=∠D．

∵EF⊥AB，EH⊥CD，∴∠AFE=∠DHE=90º．图13

在△AFE和△DHE中，∠AFE=∠DHE，EF=EH，∠FAE=∠D．

∴△AFE≌△DHE．∴AE=ED．

②以角的平分线为对称轴构造对称图形

例8如图14，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．

求证：

AB=AC+CD．

分析：

由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了．

证明：

在AB上截取AE=AC，连接DE．

∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD．图14

在△EAD和△CAD中，∠EAD=∠CAD，AD=AD，AE=AC，

∴△EAD≌△CAD．∴∠AED=∠C，CD=DE．

∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B．

∵∠AED=∠B+∠EBD，∴∠B=∠EDB．

∴BE=ED．∴BE=CD．

∵AB=AE+BE，∴AB=AC+CD．

③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线

例9如图15，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．

求证：

∠ACE=∠B+∠ECD．

分析：

注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．

证明：

延长CE交AB于点F．

∵AD平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE．

∵CE⊥AD，∴∠FEA=∠CEA=90º．

在△FEA和△CEA中，

∠FAE=∠CAE，AE=AE，∠FEA=∠CEA．图15

∴△FEA≌△CEA．∴∠ACE=∠AFE．

∵∠AFE=∠B+∠ECD，∴∠ACE=∠B+∠ECD．

（3）利用角的平分线构造等腰三角形

如图16，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作

DE∥AB，DE交AC于点E．易证△AED是等腰三角形．

因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，

构造等腰三角形．图16

例10如图17，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．

求证：

CD=

BE．

分析：

要证CD=

BE，可将BE分成两条线段，然后再证明CD与这两条线段都相等．图17

证明：

过点D作DF∥AB交BC于点F．

∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．

∵DF∥AB，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC．

∴∠2=∠3，∴DF=BF．

∵DE⊥BD，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º．

∴∠DEF=∠5．∴DF=EF．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．

∴∠4=∠C，CD=DF．

∴CD=EF=BF，即CD=

BE．

练习：

2．已知：

如图18，AD是△ABC的中线，

DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．

求证：

（1）AD是∠BAC的平分线；

（2）AB=AC．图18

3．在△ABC中，∠BAC=60º，∠C=40º，

AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q．

求证：

AB+BP=BQ+AQ．图19

4．如图20，在△ABC中，AD平分

∠BAC，AB=AC+CD．

求证：

∠C=2∠B．图20

5．如图21，E为△ABC的∠A的平分线

AD上一点，AB＞AC．

求证：

AB-AC＞EB-EC．图21

6．如图22，在四边形ABCD中，BC＞BA，

AD=CD，BD平分∠ABC．图22

求证：

∠A+∠C=180º．

7．如图23所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，

∠3=∠4，直线DC过点E作交AD于点D，交

BC于点C．

求证：

AD+BC=AB．图23

8．已知，如图24，△ABC中，∠ABC=90º，

AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．

求证：

CD=

AE．图24

9．△ABC中，AB=AC，∠A=100º，

BD是∠B的平分线．

求证：

AD+BD=BC．图25

10．如图26，∠B和∠C的平分线相交于点F，

过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点

E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（　）

A．9B．8C．7D．6图26

添加辅助线构造全等三角形

一．内容：

　　在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段（角）的相等关系，或者转移线段或角。

而有些时候，这样的全等三角形在问题中，并不是十分明显。

因此，我们需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。

　　在这里，我们试图通过几个典型例题让大家初步了解添加辅助线构造全等三角形的基本方法。

当然这些方法体现的了添加辅助线的方法从简单到复杂，研究线段的长短关系体现了从相等到不等的递进关系。

二．例题详解

1．通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段（角）相等

　　1．已知：

如图AB=AD，CB=CD，

（1）求证：

∠B=∠D．

（2）若AE=AF

　　试猜想CE与CF的大小关系并证明．

分析：

（1）在没有学习等腰三角形的知识的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。

本题中要证明∠B=∠D．在已知条件中缺少明显全等的三角形。

而连结AC以后，AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看到三角形ABC全等于三角形ADC，进而证明了∠B=∠D。

　　如果在学习了等腰三角形的知识以后还可以连结BD，通过等边对等角，再用角等量减等量得到∠B=∠D更为简单

（2）猜想CE=CF，在连结AC证明了三角形ABC全等于三角形ADC以后，得到∠EAC=∠FAC，再去证明三角形EAC全等于三角形FAC，进而证明CE=CF。

　　证明：

（1）方法1、连结AC，证明△ABC≌△ADC，进而∠B=∠D。

　　　　　　方法2、连接BD，因为AB=AD，所以，∠ABD=∠ADB．同理，∠CBD=∠CDB．

　　　　　　所以，∠ABD-∠CBD=∠ADB-∠CDB，即∠B=∠D。

（2）由

（1）得∠B=∠D，又因为BE=DF，CB=CD,故△BCE≌△CDF，进而CE=CF。

　　2．通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

　　2．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。

　　求证：

AC=BF。

分析：

欲证AC=BF，只须证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形图形，而根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。

这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。

　　思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在三角形BFH中

　　法一：

延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明△ADC和△HDB全等，得AC=BH。

　通过证明∠H=∠BFH，得到BF=BH。

证明：

延长AD到H，使得DH=AD，连结BH　∵D为BC中点　∴BD=DC

　　在△ADC和△HDB中

　∴△ADC≌△HDB（SAS）∴AC=BH,∠H=∠HAC∵EA=EF∴∠HAE=∠AFE

　又∵∠BFH=∠AFE∴BH=BF∴BF=AC

　　法二：

过B点作BH平行AC与AD的延长线相交于点H，证明△ADC和△HDB全等。

　　小结：

对于含有中点的问题，通过“倍长中线”得到可以两个全等三角形。

而过一点作己知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。

　　思路二、以三角形BFD为基础三角形