第十一章全等三角形小结.docx

1、第十一章全等三角形小结第十一章全等三角形小结一、全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形。二、全等三角形、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。注意：（）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。（）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，可以完全重合，不是胡乱摆放都能重合。、全等三角形的符号表示、读法与全等记作，“”读作“全等于”。注意：（）计两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。（）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是

2、对应角。（）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。、三角形全等的识别方法（）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”和“”。（）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”和“”。（）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“”。（）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“”。（）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“”。注意：、

3、不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。、三角形全等的证明思路找夹角（）已知两边找直角找另一边找边的对角（）已知一边一角边为角的邻边找夹角的另一边找夹边的另一角边为角的对边找任意一角（）已知两角找夹边找任意一边、全等变换一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换，三种基本全等变换：（）旋转；（）翻折；（）平移。三、角平分线的性质定理及逆定理、性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。注意：（）定理作用：a.证明线段相等；b.为证明三角形全等准备条件。（）点到直线的距离，即点到

4、直线的垂线段的长度。、逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。、三角形的内心利用角的平分线的性质定理可以导出：三角形的三个内角的角平分线交于一点，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。说明：（）三角形三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离相等。（）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这个点到三边所在的直线的距离相等。（）三角形外角角平分线的交点共有个，所以到三角形三边所在的直线的距离相等的点共有个。掌握规律，快速判断全等三角形全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL。一、已知一边及与其相邻的一

5、个内角对应相等判断三角形全等的公理中边和角相邻的有SAS、ASA、AAS，所以可以从三个方面进行考虑：已知条件想法一想法二想法三AB=DEB=E首先判断BC=EF，然后应用SAS判断全等首先判断A=D，然后应用ASA判断全等首先判断C=F，然后应用AAS判断全等例1、如图1，F是ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，DCAB。说明AFECDE的理由。分析：本题是在两个三角形有对顶角的情况下进行考虑的，根据ASA来判断两个三角形全等，应该首先推导以DE、FE为一边的另一个角也是对应相等的，也就是AFE=CDE，然后再证明三角形全等。解：应为 FCAB（已知）所以AFE=CDE（两直

6、线平行，内错角相等）在ADE和CFE中，AFECDE（ASA）。二、已知两边对应相等判断三角形全等的公理中已知两条边的有SAS、SSS，所以可以从两个方面进行考虑AB=DEBC=EE首先判断AC=DF，然后应用SSS判断全等首先判断B=E，然后应用SAS判断全等例2、如图2所示，在ABC和EFD，AD=FC，AB=FE，BC=DE。说明ABCFED的理由。分析：本题是在两个三角形有两条边对应相等的情况下进行考虑的，根据SSS来判断两个三角形全等，应该首先推导AC=FD，然后再证明三角形全等。解：因为AD=FC所以AD+DC= FC+DC即AC=FD在ABC和EFD中所以ABCEFD（SSS）三

7、、已知两角对应相等判断三角形全等的公理中已知两条边的有AAS、ASA，所以可以从两个方面进行考虑A=DB=C首先判断AB=DE，然后应用ASA判断全等首先判断AC=DF或者BC=EF，然后应用ASA判断全等例3、如图3，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，A=B，ACE=BDF。说明ACEBDF的理由。分析：本题是在两个三角形有两个角对应相等的情况下进行考虑的，根据AAS来判断两个三角形全等，应该首先推导CE=DF或者AE=BF，本题是从推导AE=BF出发，然后再证明三角形全等。解：因为OA=OB，OE=OF已知所以OAOE=OBOF，即 AE=BF，在ACE和BD

8、F中，所以ACEBDF（AAS）。四、已知一边与其对角对应相等，与之相对应的公理只有AAS，可以考虑首先判断这条边的某一个邻角也对应相等，然后再判断两个三角形全等。例4、如图4，D、E在ABC的边BC上，AD=AE，B=C。说明ABD和ACE全等的理由。解：因为AD=AE（已知）所以1=2（等边对等角），又因为ADB=1801，AEC=1802（邻补角定义），所以ADB=AEC，在ABD和ACE中，所以ABDACE（AAS）。全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：1三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）2两边和它们的夹角对

9、应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来那么我

10、们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等例1 已知：如图1，CEAB于点E，BDAC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分BAC那么图中全等的三角形有_对分析：由CEAB，BDAC，得AEO=ADO=90由AO平分BAC，得EAO=DAO又AO为公共边，所以AEOADO所以EO=DO，AE=AD又BEO=CDO=90，BOE=COD，所以BOE

11、COD由AE=AD，AEO=ADO=90，BAC为公共角，所以EACDAO所以AB=AC又EAO=DAO， AO为公共边，所以ABOACO 图1所以图中全等的三角形一共有4对（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案例2 如图2，已知AB=AD，1=2，要使ABCADE，还需添加的条件是（只需填一个）_分析：要使ABCADE，注意到1=2，所以1+DAC=2+DAC，即BAC=EAC要使ABCADE，根据SAS可知只需

12、AC=AE 图2即可；根据ASA可知只需B=D；根据AAS可知只需C=E故可添加的条件是AC=AE或B=D或C=E（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等例3 已知：如图3，AB=AC，1=2求证：AO平分BAC分析：要证AO平分BAC，即证BAO=BCO，要证BAO=BCO，只需证BAO和BCO所在的两个三角形全等而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可证明：连结BC因为AB=AC，所以ABCACB因为1=2，所以ABC-1AC

13、B-2 图3即3=4，所以BO=CO因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，所以ABOACO所以BAO=CAO，即AO平分BAC（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法例4 已知：如图4，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC的中点，CEAD于E，交AB于F，连接DF求证：ADC=BDF证明：过B作BGBC交CF延长线于G，所以BGAC所以G=ACE因为ACBC，CEAD，所以ACE=ADC所以G=ADC因为AC=BC，ACDCBG=90，所以 图4ACDCBG所以BG=CD=BD因为CBF=GBF=45，BF=BF，所以GBFDBF所以G=BDF所以AD

14、CBDF所以ADCBDF说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视例5 要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离请你用学过的数学知

15、识按以下要求设计一测量方案(1)画出测量图案(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示） 图5 (3)计算A、B的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）分析：可把此题转化为证两个三角形全等第(1)题，测量图案如图5所示第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测得CD的长为，则AB的长就是第(3)题易证AOBCOD，所以AB=CD，测得CD的长即可得AB的长解：(1)如图6示(2)在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OCOA，在BO的延长线上取一点D，并测得ODOB

16、，这时测出CD的长为，则AB的长就是(3)理由：由测法可得OC=OA，OD=OB又COD=AOB，CODAOBCD=AB= 图6评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识练习：1已知：如图7，D是ABC的边AB上一点，ABFC，DF交AC于点E，DE=FE 图7求证：AE=CE2如图8，在ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知ABD=ACD，BDE=CDE求证：BD=CD 图83已知：如图9，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AFCD求证：B=E 图94如图10，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去

17、配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）(A)带和去 (B)带去 (C)带去 (D)带去 图105如图11，将两根钢条AA、BB的中点O连在一起，使AA、BB可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A B的长等于内槽宽AB，那么判定OABOAB的理由是（ ）（A）边角边 （B）角边角（C）边边边 （D）角角边 图11专题二 角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称

18、轴因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例6 已知：如图12，ABC中，BD=CD，12求证：AD平分BAC证明：过D作DEAB于E，DFAC于F 图12在BED与CFD中，12，BEDCFD，BD=CD，BEDCFD(AAS)DEDF，AD平分BAC说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等（2）利用角的平分线构造全等三角形过角平分线上一点作两边的垂线段例7 如图13，

19、ABCD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分ABC、BCD求证：AE=ED分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E分别作AB、BC、CD的垂线段证明：过点E作EFAB，交BA的延长线于点F，作EGBC，垂足为G，作EHCD，垂足为HBE平分ABC，EFAB，EGBC，EF=EG同理EG =EHEF=EHABCD，FAE=DEFAB，EHCD，AFE=DHE=90 图13在AFE和DHE中，AFE=DHE，EF=EH，FAE=DAFEDHEAE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形例8 如图14，在ABC中，AD平分BAC，C=2B求证：

20、AB=AC+CD分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了证明：在AB上截取AE=AC，连接DEAD平分BAC，EAD=CAD 图14在EAD和CAD中，EAD=CAD，AD=AD，AE=AC，EADCADAED=C，CD=DEC=2B，AED=2BAED=B+EBD，B=EDBBE=EDBE=CDAB=AE+BE，AB=AC+CD延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例9 如图15，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求证：ACE=B+ECD分析：注

21、意到AD平分BAC，CEAD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形证明：延长CE交AB于点FAD平分BAC，FAE=CAECEAD，FEA=CEA=90在FEA和CEA中，FAE=CAE，AE=AE，FEA=CEA 图15FEACEAACE=AFEAFE=B+ECD，ACE=B+ECD（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图16，在ABC中，AD平分BAC，过点D作DEAB，DE交AC于点E易证AED是等腰三角形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 图16例10 如图17，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于点E求证：CD=BE分析

22、：要证CD=BE，可将BE分成两条线段，然后再证明CD与这两条线段都相等 图17证明：过点D作DFAB交BC于点FBD平分ABC，1=2DFAB，1=3，4=ABC 2=3，DF=BFDEBD，2+DEF=90，3+5=90DEF=5DF=EFAB=AC，ABC=C4=C，CD=DFCD=EF=BF，即CD=BE练习： 2已知：如图18，AD是ABC的中线，DEAB于E，DFAC于F，且BE=CF求证：（1）AD是BAC的平分线；（2）AB=AC 图183在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求证：AB+BP=BQ+AQ 图194如图20，在AB

23、C中，AD平分BAC，AB=AC+CD求证：C=2B 图205如图21，E为ABC的A的平分线AD上一点，ABAC求证：AB-ACEB-EC 图216如图22，在四边形ABCD中，BCBA，AD=CD，BD平分ABC 图22求证：A+C=1807如图23所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC过点E作交AD于点D，交BC于点C求证：AD+BC=AB 图238已知，如图24，ABC中，ABC=90，AB=BC，AE是A的平分线，CDAE于D求证：CD=AE 图249ABC中，AB=AC，A=100，BD是B的平分线求证：AD+BD=BC 图2510如图26，B和C的平分线相交于点F，过点F作

24、DEBC交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（）A9 B8 C7 D6 图26添加辅助线构造全等三角形一内容：在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段(角)的相等关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的全等三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。在这里，我们试图通过几个典型例题让大家初步了解添加辅助线构造全等三角形的基本方法。当然这些方法体现的了添加辅助线的方法从简单到复杂，研究线段的长短关系体现了从相等到不等的递进关系。二例题详解1通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段(角)相等1已知

25、：如图AB=AD，CB=CD，(1)求证：B=D(2)若AE=AF试猜想CE与CF的大小关系并证明分析：(1)在没有学习等腰三角形的知识的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。本题中要证明B=D在已知条件中缺少明显全等的三角形。而连结AC以后，AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看到三角形ABC全等于三角形ADC，进而证明了B=D。如果在学习了等腰三角形的知识以后还可以连结BD，通过等边对等角，再用角等量减等量得到B=D更为简单(2)猜想CE=CF，在连结AC证明了三角形ABC全等于三角形ADC以后，得到EAC=FAC，再去证明三角形EAC全等于三角形FAC，进而证明

26、CE=CF。证明：(1)方法1、连结AC，证明ABCADC，进而B=D。 方法2、连接BD，因为AB=AD，所以，ABD=ADB同理，CBD=CDB 所以，ABD-CBD=ADB-CDB，即B=D。(2)由(1)得B=D，又因为BE=DF，CB=CD,故BCECDF，进而CE=CF。2通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。2如图所示，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求证：AC=BF。分析：欲证AC=BF，只须证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形图形，而根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形

27、也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在三角形BFH中法一：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明ADC和HDB全等，得AC=BH。 通过证明H=BFH，得到BF=BH。证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH D为BC中点 BD=DC在ADC和HDB中 ADCHDB(SAS) AC=BH, H=HAC EA=EF HAE=AFE又 BFH=AFE BH=BF BF=AC法二：过B点作BH平行AC与AD的延长线相交于点H，证明ADC和HDB全等。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”得到可以两个全等三角形。而过一点作己知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。思路二、以三角形BFD为基础三角形