计算方法教案.docx

计算方法教案.docx

《计算方法教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法教案.docx（39页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

计算方法教案

第1章误差分析与数值计算3

§1.1引言3

§1.2绝对误差与相对误差、有效数字9

§1.3近似数的简单算术运算12

§1.4数值计算中误差分析的一些原则13

第2章非线性方程（组）的近似解法15

§2.1引言15

§2.2根的隔离16

§2.3对分法16

§2.3对分法17

§2.4迭代法19

§2.6弦截法21

§2.6弦截法22

§1.7用牛顿法解方程组23

本章小结25

第3章线性方程组的解法26

§3.1引言26

§3.2高斯消去法28

§3.3矩阵的LU分解31

§3.4对称矩阵的LDLT分解32

§3.5线性方程组解的可靠性33

§3.6简单迭代法34

本章小结43

第4章矩阵特征值与特征向量的计算44

§4.1引言44

§4.2幂法和反幂法45

§4.3雅可比方法46

§4.4QR方法*51

本章小结52

第5章插值与拟合53

§5.1引言53

§5.2插值多项式的存在和唯一性54

§5.3拉格朗日插值多项式55

§5.4均差插值公式57

§5.5差分等距结点插值公式59

§5.6爱尔米特插值公式61

§5.7分段低次插值62

§5.8三次样条函数63

§5.9曲线拟合的最小二乘法67

本章小结70

第6章数值积分和数值微分71

§6.1引言71

§6.2牛顿一科特斯型积分公式72

§6.3复合求积公式74

§6.4龙贝格求积公式77

§6.5高斯求积公式78

§6.6二重积分的数值积分法80

§6.7数值微分81

本章小结83

第7章常微分方程的数值解法84

§7.1引言84

§7.2欧拉法和改进的欧拉法85

§7.3龙格-库塔方法86

§7.4线性多步法89

§7.5算法的稳定性与收敛性91

§7.6微分方程组和高阶微分方程解法92

本章小结94

第1章误差分析与数值计算

§1.1引言

1、课程任务和目的：

在第七届国际软件工程学术会议上，“计算方法”被列入应用方法学的研究领域，强调了计算方法的研究应用与软件方法学的研究密切结合。

这就说明了计算方法与软件之间的联系以及在应用软件研制中的地位与作用，计算方法是研究各种数学问题求解的数值计算方法。

在计算机成为数值计算的主要工具的今天，则要求研究适合于计算机使用的数值计算方法。

计算方法就是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论，它的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程值解、线性方程组数值解、常微和偏微数值解等，即都是以数学问题为研究对象的。

因此，计算方法是数学的一个分支，只是它不象纯数学那样只研究数学本身的理论，是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论，计算方法是计算机应用和软件研制开发的重要组成部分，通过本课程的学习和上机实习，使学生掌握利用计算机进行科学计算的基本理论和基本方法，并且学会将基本理论和基本方法应用于软件开发以及软件研制。

2、本课程基本要求

（1）掌握方法的基本原理和思想。

（2）掌握方法处理的技巧及与计算机的结合。

（3）掌握误差分析，收敛性及稳定性的基本理论。

（4）学会进行可靠的理论分析，对近似计算要确保精度要求，要进行误差分析。

（5）通过例子，学习使用各种计算方法解决实际计算问题。

（6）通过上机实践，能编写算法和实现算法。

（7）掌握数值计算中一些最基本、最常用的计算方法和算法。

3、本课程与各课程的关系：

由于本课内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，学生必须掌握这几门课的基本内容才能学好这一课程，同时，学习此课程还必须具备计算机系统的初步知识，掌握一门常用的高级语言，如：

BASIC、PASCAL、C语言等，并须具备一定的编程能力。

4、本课程的特点：

（1）面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。

即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。

（2）有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，而且都是建立在相应数学理论基础上的。

（3）有好的计算复杂性。

时间复杂性好是指节省时间；空间复杂性好是指节省存储量。

这也是建立算法时要研究的问题，因为它关系到算法能否在计算机上完成。

（4）要有数值实验。

即任何一种算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。

计算方法最基本的立足点是容许误差，在误差容许的范围内对某一数学问题进行近似计算，得到能满足要求的近似结果。

现实世界中误差是普遍存在的，由于世界上没有绝对精确的量具（绝对精确的量具是没有刻度的），因此人类通过量具采集的数据都是近似值，另一方面，我们的生产、实验工具都不是绝对精确的，这就使得人类在生产和科学实验中必需容许误差。

计算机的应用可以分为二个方面，即数值计算和非数值计算。

利用计算机进行数值计算的过程如下图所示：

在上图中，计算方法的任务是：

由建立的数学模型给出可编程并由计算机能完成的计算方法，然后编程和上机求解。

由于计算方法是编程后可由计算机求解的近似计算方法，如何确保近似解的精度显得尤为重要，必须深入讨论有关误差的基本概念和基本理论，为近似计算的精度分析打下基础。

1、误差的来源（种类）

误差的来源主要有以下四种

（1）模型误差：

建立数学模型时的误差。

例如：

在求重量的数学模型G=m*g中，重量G不是仅与质量和重力加速度有关，它还与温度、测量地点的海拔、地层结构等众多因素有关，为了使模型较为简单和实用，采用抓住主要矛盾的方法，去掉了大量对重量影响不大的次要因素，建立了上述重量的近似模型，由此产生了模型误差。

（2）观测误差：

采集数据时的误差。

采集数据时，通常是依靠仪器和量具，由于没有绝对精确的仪器和量具，因此采集的数据有误差，此误差称为观测误差。

（3）舍入误差：

由于计算机字长有限而产生的误差。

硬件再发展，计算机的字长总是有限的，在计算过程中，当数据的长度超过了计算机的字长时，计算机就会进行四舍五入，由此产生的误差称为舍入误差。

（4）截断误差：

无限形式的有限化而产生的误差。

在计算中有时会运用无限形式的计算公式，例如台劳公式：

显然此公式无法进行计算，因此必需根据实际需要，从某一项起将后面的各项截断，即

由此产生的误差称为截断误差。

§1.2绝对误差与相对误差、有效数字

为描述方便，首先约定x*是精确值x的近似值。

引入误差的概念，其目的是为了衡量近似值x*的好坏。

（1）绝对误差：

x*x

由于精确值x通常无法确定，因此绝对误差无法计算，由此引入绝对误差限的概念。

绝对误差限：

绝对误差的一个上界。

即：

若|x*x|e，则称e为x*的绝对误差限。

绝对误差限的性质是：

A.不唯一这是因为|x*x|的上界是不唯一的。

B.可确定只要我们对x*的实际背景有一定的了解，就不难确定|x*x|的上界。

例如，x*表示身高，则|x*x|的上界可为3米。

当x*是你求出的，那么为了说明你的工作认真，你一定会将|x*x|的上界估计得尽量小，因此在这种意义上绝对误差限可用来衡量x*的好坏。

由于绝对误差限没有考虑问题的规模，因此有时它也不能衡量x*的好坏。

例如：

x是地球与太阳的距离，y是分子中二个原子间的距离，若|x*x|1公里，|y*y|1厘米，则并不能说y*比x*精确。

由此引入相对误差和相对误差限的概念。

（2）相对误差：

（x*x）/x*相对误差限：

相对误差绝对值的一个上界。

3、有效数字

这里我们必须搞清楚什么是有效数字以及如何确定x*有几位有效数字。

（1）有效数字的定义

若|x*-x|

此定义实际上定义了什么叫精确到某一位和什么叫有效数字。

例如：

若x*精确到小数点后第3位，即指|x*x|0.510-3。

（2）有效数字的判定方法

方法一：

四舍五入

此方法首先确定x*是由x的哪一位四舍五入产生的，然后从这一位的前一位开始一直到前面第一个不为零的数都是x*的有效数字。

例1若x=0.872596,x*=0.87，求x*的有效位数。

解：

x*是由x的小数点后第三位四舍五入产生的，所以x*有二位有效数字。

注意，方法一判定有效数字很简单，但有时会失效。

例如，若x=0.272987x*=0.273102，此时无法用方法一确定x*的有效位数，原因是x*不是由x四舍五入产生的，在这种情况下，必须用有效数字的定义来确定x*的有效位数。

即

方法二：

用定义

此方法首先计算|x*x|，再判断它小于等于x*的哪一位的半个单位，然后从近一位开始，一直到第一个不为零的数都是有效数字。

例2若x=0.62073，x*=0.6207，确定x*的有效位数。

解：

因为|x*x|0.00030.5104，x*精确到小数点后第4位，所以x*有四位有效数字。

例3若x=0.080199，x*=0.802，确定x*的有效位数。

解：

因为|x*x|=0.000010.5105，所以0.5103，推出x*有三位有效数字。

例4若x=6.28936，x*=7.3132，确定x*的有效位数。

解：

|x*x|=0.023570.5101，所以x*有二位有效数字。

§1.3近似数的简单算术运算

§1.4数值计算中误差分析的一些原则

为保证计算结果的高精度，在进行数值计算时应遵循下述几个原则。

（1）在进行除法时，要避免除数的绝对值<<被除数的绝对值。

①为什么要“避免”？

若不“避免”，则除出的结果很大，由于计算机字长有限，它装不下，因此会进行四舍五入，一个很大的数进行四舍五入时舍去的部分也会很大，这会使舍入误差变大。

②怎样“避免”？

因为用户只关心最后的计算结果，当中间计算过程中出现了除数的绝对值<<被除数的绝对值时，就应该换一种计算方法，以避免这种情况的发生，以后我们将会针对具体的计算问题来讨论“避免”的方法。

（2）在进行减法时，要避免二个相近的数相减。

①为什么要“避免”？

若不“避免”，就可能失去大量的有效数字，

例如：

若a=30001和b=30000都有五位有效数字，因为a-b=1，所以结果至多有1位有效数字。

②怎么“避免”？

“避免”的思路与第1个原则中“避免”的思路相同，须针对具体计算问题来讨论。

（3）要防止“大数吃小数”

①什么是“大数吃小数”？

我们用一个例子为说明。

计算8756294874，其中n=1020，0

此题是一个很大的数与很多很小的数相加，若采用将大数依次与a1,a2,,an相加，由于计算机字长有限，因此在与ai相加时会进行四舍五入将ai舍去，这样，最后的结果仍是大数，这就是大数将a1,a2,,an吃掉了。

②为什么要“避免”？

尽管每个小数都很小，但它们很多，可能它们的和比大数还大，而最后计算工结果为大数，显然误差可能很大。

③怎样“避免”？

有的同学提出先将小数相加，然后再与大数相加，这个思路是对的，但有一个漏洞，因为小数相加到一定程度也会变成大数，它也开始吃小数了。

可以采取分部相加的方法解决。

第2章非线性方程（组）的近似解法

§2.1引言

方程f（x）=0的解称为方程的根。

也叫做函数f（x）的零点。

方程求根大致包括三个问题

（1）方程有没有根？

如果有根，有几个根？

（2）哪里有根？

求有根的区间，区间内的任意一点作为根的近似值。

（3）根的精确化，已知一个根的近似值后设法逐步把根精确化，直到足够精确为止。

本课程主要研究问题

（2）和（3）。

§2.2根的隔离

求方程f（x）=