解三角形总结+题+解析.docx
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解三角形总结+题+解析
解三角形
1．正弦定理：
===2R，其中R是三角形外接圆半径.
正弦定理的如下变形常在解题中用到
1.
（1）a=2RsinA
（2）b=2RsinB
（3）c=2RsinC
2.
（1）sinA=a/2R
（2）sinB=b/2R
（3）sinC=c/2R
3.a：
b：
c=sinA：
sinB:
sinC
适用类型
（1）AAS
（2）SSA
二．余弦定理：
1.a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA
2.b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB
3.c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC
余弦定理的如下变形常在解题中用到
1.cosC=（a^2+b^2-c^2）/（2·a·b）
2.cosB=（a^2+c^2-b^2）/（2·a·c）
3.cosA=（c^2+b^2-a^2）/（2·b·c）
适用类型
1.SSA
2.SAS
3.SSS
3．余弦定理和正弦定理的面积公式
S¡÷ABC=absinC=bcsinA=acsinB
（常用类型：
已知三角形两边及其夹角）
判断解的个数
判断三角形的形状
有两种途径：
（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解
（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解
三．解三角形的实际应用
测量中相关的名称术语
仰角：
视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角：
视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角
方向角：
从指定方向线到目标方向的水平角
测距离的应用
测高的应用
（一）已知两角及一边解三角形
例1 已知在?
ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.
∠B=180°-30°-45°=105°
a=10sin45°/sin30°=10√2
sin105°=sin（60+45）=√2/2（√3/2+1/2）=（√6+√2）/4
1/sin105=√6-√2
b=10sin45°/sin105°=5√2（√6-√2）=10（√3-1）
（二）已知两边和其中一边对角解三角形
例2 在¡÷ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2¡Ì3，b=¡Ì6，A=45¡ã，求边长C
由余弦定理，得
b2+c2-2bccosA-a2=0
6+c2-2√3c-12=0
c2-2√3c-6=0
根据求根公式，得
c=√3±3
又c>0
所以c=3+√3
（三）已知两边及夹角，解三角形
例3 ?
ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，角C和边a.
解：
由余弦定理
得
¡àa2-9a+18=0，得a=3或6
当a=3时，A=30¡ã，
¡àC=120¡ã
当a=6时，由正弦定理
¡àA=90¡ã
¡àC=60¡ã。
例四：
在△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积是
解：
由，
¡à，
¡àC=60¡ã或120¡ã，
当C=60¡ã时，A=90¡ã，S¡÷ABC=；
当C=120¡ã时，A=30¡ã，S¡÷ABC=AB¡¤ACsinA。
例五.判断三角形的形状
（1）正弦定理判断
在?
ABC中，若a2tanB＝b2tanA，试判断?
ABC的形状．
解：
sin^2A*sinB/cosB=sin^2B*sinA/cosA.
∵sinA≠0,cosB≠0,∴等式两边同约去sinA*sinB公因式。
∴sinA/cosB=sinB/cosA.
sinAcosA=sinBcosB.
∵sinAcosA=（1/2）*（2sinAcosA）=（1/2）sin2A.【2sinAcosA=sin2A（公式）】
同理，sinBsinB=（1/2）*2sinBcosB=（1/2）sin2B.
∴（1/2）sin2A=（1/2）sin2B.【两边约去（1/2）]】后得：
∴sin2A=sin2B.
2A=2B.
（1）；sin2A=sin（180°-2B）
（2）【同名三角函数值相等，其角度相等，或互补】
由
（1）式得：
A=B.
∴△ABC为等腰三角形；
由
（2）式得：
2A=180-2B,2A+2B=180°,A+B=90°.
∴△ABC为直角三角形。
（2）余弦定理判断
在?
ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
由正弦定理得sin2C/c2=sin2B/b2得b2sin2C=c2sin2B
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC
¡ßsinBsinC¡Ù0,¡àsinBsinC=cosBcosC,
即cos（B+C）=0,¡àB+C=90¡ã,A=90¡ã,
故¡÷ABC是直角三角形.
例六判断解得个数
不解三角形，判断下列三角形的解的个数：
（1）a=5,b=4,A=120度
有一解
（2）a=7,b=14,A=150度
无解
（3）a=9,b=10,A=60度
有两解
（4）c=50,b=72,C=135度
无解
例七
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ≤10t+60.
由余弦定理知OQ2=PQ2+PO2-2PQ·POcos∠OPQ.由于PO=300,PQ=20t,
cos∠OPQ=cos（θ-45°）=cosθcos45°+sinθsin45°=.
=202t2-9600t+3002.
∴202t2-9600t+3002≤（10t+60）2.
即t2-36t+288≤0,解得12≤t≤24.
故12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
例八。
某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？
需要多少时间才追赶上该走私船？
例九。
如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（D）
A.20B.20C.40D.20
例十如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。
由A向BC作垂线，垂足为E，
∵AB=AC
∴BE=12BC=3
∵AB=2
∴cosB=BEAB=32
∴B=30°
∴AE=BE?
tan30°=1
∵∠ADC=45°
∴AD=AEsin∠ADC=2
故答案为：
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