届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案 第1章 第2节 命题及其关系充分条件与必要条件.docx

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届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案第1章第2节命题及其关系充分条件与必要条件

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

[考纲传真]　1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系

图121

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

（3）如果p

q，且q

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

4．集合与充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．

（2）若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．

（3）若A＝B，则p是q的充要条件．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）“x2＋2x－3<0”是命题．（　　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（　　）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　　）

（4）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．（　　）

[解析]　

（1）错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．

（2）错误．否命题既否定条件，又否定结论．

（3）正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．

（4）正确．原命题与逆否命题是等价命题．

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2．（教材改编）命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A．若α≠

，则tanα≠1

B．若α＝

，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠

D．若tanα≠1，则α＝

C　[“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：

tanα≠1，綈p：

α≠

，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠

”．]

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

【导学号：

01772005】

A．充分不必要条件　　B.必要不充分条件

C．充要条件D.既不充分也不必要条件

A　[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.

但A⊆B时，a＝2或3.

∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]

4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（　　）

A．1　　　B.2

C.3　　　D.4

B　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．

因此4个命题中有2个假命题．]

5．（2016·天津高考）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（　　）

A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

C　[当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；

若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.

所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．]

四种命题的关系及其真假判断

（1）命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为（　　）

A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题

B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题

D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题

（2）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，假，真　　　B.假，假，真

C．真，真，假D.假，假，假

（1）C　

（2）B　[

（1）根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．

（2）由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．

当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题．]

[规律方法]　1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式．

2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．

3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．

[变式训练1]　原命题为“若

＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，真，真B.假，假，真

C．真，真，假D.假，假，假

A　[由

＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an.

所以当

＜an时，必有an＋1＜an，

则{an}是递减数列．

反之，若{an}是递减数列，必有an＋1＜an，

从而有

＜an.

所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题．]

充分条件与必要条件的判断

（1）（2014·全国卷Ⅱ）函数f（x）在x＝x0处导数存在．若p：

f′（x0）＝0；q：

x＝x0是f（x）的极值点，则（　　）

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

（2）设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

（1）C　

（2）A　[

（1）当f′（x0）＝0时，x＝x0不一定是f（x）的极值点，

比如，y＝x3在x＝0时，f′（0）＝0，但在x＝0的左右两侧f′（x）的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．

由极值的定义知，x＝x0是f（x）的极值点必有f′（x0）＝0.

综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．

（2）|x－2|＜1⇔1＜x＜3，x2＋x－2＞0⇔x＞1或x＜－2.

由于{x|1＜x＜3}是{x|x＞1或x＜－2}的真子集．

所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．]

[规律方法]　充分条件、必要条件的三种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

[变式训练2]　（2016·武汉模拟）设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（　　）

【导学号：

01772006】

A．必要不充分条件B.充分不必要条件

C．充要条件D.既不充分也不必要条件

B　[若a＝1，则集合N＝{1}，此时满足N⊆M.若N⊆M，则a2＝1或2，所以a＝±1或a＝±

.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．]

充分条件、必要条件的应用

　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

[解]　由x2－8x－20≤0得

－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}.3分

∵x∈P是x∈S的必要条件，

则S⊆P，

∴

∴0≤m≤3.8分

综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.12分

[迁移探究1]　本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

[解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.2分

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴

8分

∴

这样的m不存在.12分

[迁移探究2]　本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P是S的充分不必要条件，

∴P⇒S且S

P，4分

∴[－2,10][1－m,1＋m]，

∴

或

8分

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）.12分

[规律方法]　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

[变式训练3]　

（1）（2017·长沙模拟）已知命题p：

a≤x≤a＋1，命题q：

x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

（2）方程ax2＋2x＋1＝0（a∈R，a为常数）的解集只有一个负实根的充要条件是________．

（1）（0,3）　

（2）a≤0或a＝1　[

（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

∴

解得0

（2）当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，

∴原方程有一个负实根x＝－

.

当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根．

∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一负根时，则x1x2＜0，

∴

＜0，且Δ＝4－4a＞0，解得a＜0.

当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，此时方程的根为－1，符合题意，

综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a≤0或a＝1.]

[思想与方法]

1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．

2．充分条件、必要条件的几种判断方法

（1）定义法：

直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．

（2）等价法：

利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

（3）利用集合间的包含关系判断：

设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．

[易错与防范]

1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．

2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．

3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言的含义．

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[考纲传真]　1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．简单的逻辑联结词

（1）命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．

（2）命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p

q

p∧q

p∨q

綈p

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

2.全称量词与存在量词

（1）全称量词：

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

（2）全称命题：

含有全称量词的命题，叫做全称命题．

全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”简记为∀x∈M，p（x）．

（3）存在量词：

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

（4）特称命题：

含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p（x0）成立”，简记为∃x0∈M，p（x0）．

3．含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，綈p（x0）

∃x0∈M，p（x0）

∀x∈M，綈p（x）

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）命题“5＞6或5＞2”是假命题．（　　）

（2）命题綈（p∧q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．（　　）

（3）“长方形的对角线相等”是特称命题．（　　）

（4）命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．（　　）

[解析]　

（1）错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．

（2）错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．

（3）错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．

（4）错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．（教材改编）已知p：

2是偶数，q：

2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为（　　）

A．1　　　B.2　　

C.3　　　D.4

B　[p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]

3．（2015·全国卷Ⅰ）设命题p：

∃n∈N，n2＞2n，则綈p为（　　）

A．∀n∈N，n2＞2nB.∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2＝2n

C　[因为“∃x∈M，p（x）”的否定是“∀x∈M，綈p（x）”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]

4．（2017·西安模拟）下列命题中的假命题是（　　）

【导学号：

01772011】

A．∃x0∈R，lgx0＝0B.∃x0∈R，tanx0＝1

C．∀x∈R，x3>0D.∀x∈R,2x>0

C　[对于A，当x0＝1时，lgx0＝0，正确；对于B，当x0＝

时，tanx0＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D，∀x∈R,2x>0，正确．]

5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

[－8,0]　[当a＝0时，不等式显然成立．

当a≠0时，依题意知

解得－8≤a＜0.

综上可知－8≤a≤0.]

　设a，b，c是非零向量．已知命题p：

若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：

若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（　　）

A．p∨q　　　　　　B.p∧q

C．（綈p）∧（綈q）D.p∧（綈q）

A　[取a＝c＝（1,0），b＝（0,1），显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．

a，b，c是非零向量，

由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，

∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．

综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．

又∵綈p为真命题，綈q为假命题，

∴（綈p）∧（綈q），p∧（綈q）都是假命题．]

[规律方法]　1.“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题真假判断的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：

（1）明确其构成形式；

（2）判断其中命题p，q的真假；（3）确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．

2．p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”．

[变式训练1]　（2017·石家庄一模）命题p：

若sinx＞siny，则x＞y；命题q：

x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是（　　）

【导学号：

01772012】

A．p∨qB.p∧q

C．qD.綈p

B　[取x＝

，y＝

，可知命题p不正确；由（x－y）2≥0恒成立，可知命题q正确．

故綈p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题．]

全称命题、特称命题

☞角度1　含有一个量词的命题的否定

　（2015·浙江高考）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）

A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）>n

B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）>n

C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）>n0

D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）>n0

D　[写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]

☞角度2　全称命题、特称命题的真假判断

　（2014·全国卷Ⅰ）不等式组

的解集记为D，有下面四个命题：

p1：

∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2；

p2：

∃（x，y）∈D，x＋2y≥2；

p3：

∀（x，y）∈D，x＋2y≤3；

p4：

∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1.

其中的真命题是（　　）

A．p2，p3B.p1，p4

C．p1，p2D.p1，p3

C　[作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）．

由

得交点A（2，－1）．

目标函数的斜率k＝－

>－1，

观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0

.结合题意知p1，p2正确．]

[规律方法]　1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．

2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

3．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立．只要找到一个反例，则该命题为假命题.

由命题的真假求参数的取值范围

（1）已知命题“∃x0∈R，使2x

＋（a－1）x0＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B.（－1,3）

C．（－3，＋∞）D.（－3,1）

（2）已知p：

∃x0∈R，mx

＋1≤0，q：

∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（　　）

A．m≥2B.m≤－2

C．m≤－2或m≥2D.－2≤m≤2

（1）B　

（2）A　[

（1）原命题的否定为∀x∈R,2x2＋（a－1）x＋

＞0，由题意知，为真命题，

则Δ＝（a－1）2－4×2×

＜0，

则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3.

（2）依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.

因此，由p，q均为假命题得

即m≥2.]

[规律方法]　1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤：

（1）根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）．

（2）求出每个命题是真命题时参数的取值范围．

（3）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

2．全称命题可转化为恒成立问题．

[变式训练2]　（2017·济南调研）若“∀x∈

，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.

【导学号：

01772013】

1　[∵0≤x≤

，∴0≤tanx≤1，

由“∀x∈

，tanx≤m”是真命题，得m≥1.

故实数m的最小值为1.]

[思想与方法]

1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．

2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：

p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．

3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．

[易错与防范]

1．正确区别命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假相反，即两者中有且只有一个为真．

2．几点注意

（1）注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；

（2）注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；

（3）由逻辑联结词构成的新命题的否定．

①綈（p∧q）⇔（綈p）∨（綈q）；②綈（p∨q）⇔（綈p）∧（綈p）．