奥数小学奥数系列第八讲 数学游戏 3.docx

奥数小学奥数系列第八讲 数学游戏 3.docx

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奥数小学奥数系列第八讲数学游戏3

第八讲数学游戏

　　我们在进行竞赛与竞争时，往往要认真分析情况，制定出好的方案，使自己获胜，这种方案就是对策.在小学数学竞赛中，常有与智力游戏相结合而提出的一些简单的对策问题，它所涉及的数学知识都比较简单.但这类题的解答对我们的智力将是一种很有益的锻炼.

例1甲、乙二人轮流报数，必须报不大于6的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是2000，谁就获胜.如果甲要取胜，是先报还是后报？

报几？

以后怎样报？

分析采用倒推法（倒推法是解决这类问题一种常用的数学方法）.由于每次报的数是1～6的自然数，2000-1=1999，2000-6=1994，甲要获胜，必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是1994～1999，由于1994-1=1993（或1999-6=1993），因此，甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993.同样，由于1993-1=1992，1993-6=1987，所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是1987～1992，甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986.同样，由于1986-1=1985，1986-6=1980，所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是1980～1985，甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979，….

　　把甲报完数后加起来必须得到的和从后往前进行排列：

2000、1993、1986、1979、….观察这一数列，发现这是一等差数列，且公差d=7，这些数被7除都余5.因此这一数列的最后三项为：

19、12、5.所以甲要获胜，必须先报，报5.因为12-5=7，所以以后乙报几，甲就报7减几，例如乙报3，甲就接着报4（=7-3）.

解：

①甲要获胜必须先报，甲先报5；

　　②以后，乙报几甲就接着报7减几.

　　这样甲就能一定获胜.

例2有1994个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是：

甲乙轮流取球，每人每次取1个，2个或3个，取最后一个球的人为失败者.

　　①甲先取，甲为了取胜，他应采取怎样的策略？

　　②乙先拿了3个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？

分析为了叙述方便，把这1994个球编上号，分别为1～1994号.取球时先取序号小的球，后取序号大的球.还是采用倒推法.甲为了取胜，必须把1994号球留给对方，因此甲在最后一次取球时，必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993（也许他取的球不止一个）.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990（=1993-3）～1992（=1993-1）.因此，甲在最后第二次取球时，必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986（=1989-3）～1988（=1989-1）.因此，甲在最后第三次取球时，必须使他自己取球中序号最大的一个是1985，….

　　把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来：

1993、1989、1985、….观察这一数列，发现这是一等差数列，公差d=4，且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球.然后乙取a个球，因为a+（4-a）=4，所以为了确保甲从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数，甲就应取4-a个球.这样就能保证甲必胜.

　　由上面的分析知，甲为了获胜，必须取到那些序号为被4除余1的球.现在乙先拿了3个，甲就应拿5-3=2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.

解：

①甲为了获胜，甲应先取1个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.

　　②乙先拿了3个球，甲为了必胜，甲应拿2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.

例3甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.

分析采用“对称”思想.

　　设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜.对于一般的较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一枚硬币，甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币.按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜.

解：

（略）.

例4把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移），一次可向一个方向移动任意多格.谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜.问应如何取胜？

分析采用倒推法.由于只能向右、向上或向右上移，要把棋子走进顶格，应让对方最后一次把棋子走到最右边一列的格中，为了保证能做到这一点，倒数第二次应让棋子走进右图中的A格中.（对方从A格出发，只能向右或向上移至最后一列的格中）所以要获胜，应先占据A格.同理可知，每次都占据A～E这五个格中的某一格的人一定获胜.

解：

为保证取胜，应先走.首先把棋子走进E格，然后，不管对方走至哪一格，（肯定不会走进A～D格），先走者可以选择适当的方法一步走进A～D格中的某一格.如此继续，直至对方把棋子走进最后一列的某个格中，此时先走者一步即可走进顶格，夺取红旗，从而获胜.

例5白纸上画了m×n的方格棋盘（m，n是自然数），甲、乙两人玩画格游戏，他们每人拿一枝笔，先画者任选一格，用笔在该格中心处画上一个点，后画者在与这个格相邻（有一条公共边的两个格叫相邻的格）的一个格的中心处也画上一个点，先画者再在与这个新画了点的格相邻的格的中心画上一个点，后画者接着在相邻的格中再任选一格画上一个点，…，如此反复画下去，谁无法画时谁失败.问：

先画者还是后画者有必胜策略？

他的必胜策略是什么？

（注：

已画过点的格子不准再画.）

分析m，n是自然数，不定，不妨选几个小棋盘来试试，以便从中找出规律.

　　1×1棋盘，先画者胜.

　　1×2棋盘，后画者胜.

　　2×2棋盘，后画者胜.

　　2×3棋盘，后画者胜.后画者的策略如下：

2×3棋盘，总可以事先分割成3个1×2的小棋盘.后画者采用“跟踪”的方法：

先画者在某个1×2的小盘中某个格内画了点，后画者就在同一个1×2小盘中的另一格画点；先画者只得去寻找另外的1×2的小盘，后画者“跟踪”过去；直至先画者找不到新的1×2小盘，这时，先画者就失败.

　　由2×3棋盘的分析过程知：

m，n中至少有一个为偶数时，m×n棋盘总可以事先分成一些1×2或2×1的小棋盘，利用上面所说的“跟踪”法，后画者有必胜策略.

　　若m，n都是奇数，先画者事先把m×n棋盘划分成一些1×2小棋盘后，还剩一个小格.这时，先画者可以先在这个剩下的小格中画点，之后，先画者用“跟踪”法，就归结为m、n至少有一个为偶数的情形，先画者有必胜策略.

　　综上所述，当m、n中至少有一个为偶数时，后画者有必胜策略；当m、n都为奇数时，先画者有必胜策略.

解：

（略）.

例6现有9根火柴，甲、乙两人轮流从中取1根、2根或3根，直到取完为止.最后数一数各人所得火柴总数，得数为偶数者胜.问先拿的人是否能取胜？

应怎样安排策略？

分析我们从最简单的情况开始进行考虑.

　　由于9是奇数，它分成两个自然数的和时，必然一个是奇数，一个是偶数，所以两人中必然一胜一负.由于偶数分成两个自然数的和时，必然同奇或同偶，故无论如何取，都只能平局.因此我们只对火柴总数为奇数的情况加以讨论.

　　1.如果有1根火柴，那么先取的人必败，后取的人必胜.

　　2.如果有3根火柴，先取的人可以取2根，后取的人只能取1根，那么先取的人必胜，后取的人必败.

　　3.如果有5根火柴，不妨设为甲先拿.

　　甲先拿1根：

　　①乙拿1根，还剩3根，甲取3根.甲的火柴总数为：

1＋3＝4（根），乙的火柴总数为1根，因此甲胜.

　　②乙拿2根，还剩2根，甲取1根，乙取1根.甲的火柴总数为：

1＋1＝2（根），乙的火柴总数为：

2＋1＝3（根），因此甲取胜.

　　③乙拿3根，还剩1根，甲取1根.甲的火柴总数为：

1＋1＝2（根），乙的火柴总数为3根，因此甲胜.

　　因此，如果有5根火柴，先拿的人有必胜的策略.

　　4.下面讨论7根火柴的情形.

　　甲先取了3根：

　　还剩4根，同前面3①～③分析可知甲必胜。

　　因此，有7根火柴时，先取的人有必胜的策略.

　　5.最后讨论9根火柴的情形.

　　①甲先取1根，乙取3根，还剩5根.

　　（a）甲取1根，还剩4根，乙取3根，甲取1根，乙胜.

　　（b）甲取2根，还剩3根，乙取3根，乙胜.

　　（c）甲取3根，还剩2根，乙取1根，甲取1根，乙胜.

　　因此，在甲先取1根的情况下，（乙接着取3根）乙有必胜的策略.

　　②甲取2根时，还剩7根，这时乙面临7根的情形，乙取3根，不论以后甲怎样取，乙都有必胜的策略.

　　③甲取3根时，还剩6根；乙取1根，还剩5根.

　　（a）甲取1根，还剩4根，乙取3根，甲取1根，乙胜.

　　（b）甲取2根，还剩3根，乙取3根，乙胜.

　　（c）甲取3根，还剩2根，乙取1根，甲取1根，乙胜.

　　因此在甲先取3根的情况下，乙只要取1根，不论以后甲怎样取，乙都有必胜的策略.

　　综上所述，先取的人没有必胜的策略，后取的人有必胜的策略.

　　解：

（略）.

习题八

　　1.甲、乙两人轮流报数，必须报1～4的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的和是1000，谁就取胜.如果甲要取胜，是先报还是后报？

报几？

以后怎样报？

　　2.有1994个格子排成一行，左起第一个格子内有一枚棋子，甲、乙两人轮流向右移动棋子，每人每次只能向右移动1格、2格、3格或4格，谁将棋子走到最后一格谁败.那么甲为了取胜，第一步走几格？

以后又怎样走？

　　3.54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁拿到最后一张谁输，问先拿牌的人怎样确保获胜？

　　4.n个1×1的正方形排成一行，左起第一个正方形中放一枚棋子，甲、乙两人交替走这枚棋子，每步可向右移动1格、2格或3格，谁先走到最后一格谁为胜利者.问先走者还是后走者有必胜的策略？

　　5.如果将例4中的条件改为“得数为奇数者为胜”，那么怎样才能确保取胜？

习题八解答

　　1.解：

把胜利者报完数后累加起来的和倒着进行排列：

1000、995、990、985、…、10、5，这是一等差数列，公差d=5.且每个数都能被5整除.因此，胜利者第一次报完数后应为5，而进行的是1～4报数，所以甲要取胜，应让乙先报.然后根据乙报几，甲就报5减几，这样就能确保甲取胜.

　　2.解：

把这1994个格子从左至右编上号码为1，2，…，1994.把胜利者每走一步棋子所落入的号数倒着进行排列：

1993、1988、1983、1978、…，这是一等差数列，公差d=5，且每个数被5除都余3.因而胜利者走第一步棋子所落入的号数是3号.所以，甲为了取胜，第一步向右移动2格.然后乙向右移动几个格，甲就向右移动5减几个格，这样就能确保获胜.

　　3.解：

把这54张扑克牌进行编号1～54，不妨设甲要取胜.把甲每次所拿牌中的最大序号倒着进行排列：

53、48、43、38、…，这个等差数列的公差为5，且每个数被5除均余3，因此甲第一次应拿3张牌，以后乙拿几张，甲就拿5减几张，这样就能确保甲胜.

　　4.解：

把这n个1×1的小正方形进行编号1～n，不妨设为甲要取胜.把甲走完后所落入的正方形的号数倒着进行排列：

n、n-4、n-8、…，这也是一等差数列.每个数被4除的余数都与n除以4的余数相同，所以甲的策略要根据n被4除的余数来定，下面分四种情况进行讨论：

　　①如果n被4除余0：

那么甲第一次走完后应落入4号格，因此甲先走，甲向右移动3格.

　　②如果n被4除余1：

那么甲第一次走完后应落入5号格，因而是由乙先走，乙走几格，甲就向右移动4减几格.

　　③如果n被4除余2：

那么甲第一次走完后应落入2号格，因此甲先走，向右移1格.

　　④如果n被4除余3：

那么甲第一次走完后应落入3号格，因此甲先走，向右移2格.

　　5.解：

分析过程与例4类似.甲的详细策略如下：

赠：

小学五年级数学竞赛题

1.把自然数1.2.3.4.....的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011.......已知这个多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位?

2. 在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255，乙把被剩数的十位数字看错了，得结果是365，那么正确的乘积是多少？

3. 将23分成三个不同的奇数之和，共有几种不同的分法？

4、把自然数1、2、3、4......的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213.....已知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？

5、恰有两位数字相同的三位数共有几个？

6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202，这群孩子至少有几人？

7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。

现已知最后一次甲仍然摆了10块，而乙不足10块，如果他们一共摆了3000多块，那么他们摆的准确的数字是多少块？

8、有50个同学，头上分别戴着编号为1、2、3、4......49、50的帽子。

他们按编号从小到大的顺序，顺时针方向围成一圈做游戏：

从1号同学开始，按顺时针方向1、2、1、2....地报数，接着报1的同学全部退出圆圈，报2的同学仍留在圆圈上。

依次报下去......

（1）当圆圈上只剩下一个人时，这位同学帽上的编号是______。

（2）如果游戏规则改为：

报2的同学全部退出，报1的同学仍留在圆圈上。

当圆圈上只剩下一个人时，这位同学帽上的编号是_____。

一生的事业

———牢记使命，不忘初心

有人说一辈子很长，可以慢慢的享受成长带来的各种惊喜和喜悦，有的人说一辈子很短，必须要加紧行走的步伐，才能不会错过成长中的每一次惊吓，每一次惊喜，每一次无奈。

但我想说的是无论是从出生到成长的每一个过程都有一个初心，一辈子可能有很多目标，但总归起来就只有一个目的：

要活好，所有的努力和奋斗都是为了能够让自己活得精彩，活的值得。

无论是时光变迁还是年岁的增长，我们要始终不忘初心，牢记使命，永远奋斗，才会活出精彩。

每一个成长时期的不同，要学会和掌握的技能也不同，但最终的目的就是要把自己的工作和学习做到位，做得漂亮，才是我们的初衷，我们现在在学习的岗位上，看似不起眼，但是需要做的却很多，因为我们要比别人更用心，更努力地去学习每一个知识，知识就是我们以后的第二衣食父母，以后我们面对各种问题，需要有不同的方式方法去面对，才能做社会有用的人。

比如：

面对老人我们要伸手去扶一把，因为我们是一个有爱心，有责任心的小学生；看到有孩子摔跤我们要伸手拉一把，因为我们是有道义，有良心的小学生。

牢记使命，不忘初心！

对我感触最深的事就是我们语文老师满满爱心自己掏钱为我们班同学买课外书，我们心里都有一种无限的感动和莫名的崇拜感，老师课上课外的千叮咛万嘱咐，连放学都还要不辞辛劳的带上马路，悉心照顾好我们每一个孩子，让每一位孩子安全回家，并且再三的强调在回家路上注意安全等等。

一连串的关心和不放心，都是出自于老师的真心和热情，这份情不是用钱可以买到的，这是老师出自内心最真诚的声音，是对这个充满爱的事业使命的驱使！

是老师不忘初心，牢记使命的结晶！

是社会主义核心价值观最真实的体现！

不忘初心，牢记使命，永远奋斗，虽然是简简单单的十二个字，但是包含的却是很多很多，需要我们小学生用心去体会，用心去做，用心去传承，才是我们一辈子唯一的真谛。