小学数学竞赛四图解法.docx

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小学数学竞赛四图解法

四、图解法

　　对于某些数量关系较为复杂，一时难以找到解题思路的应用题，如果我们动手画画图，划划线，从动手操作中去理解题目的意思，从图形中去分析题目的数量关系，从而得到启示，找到解题途径，这种方法称为图解法。

　　实物示意图、思维分析图、线段图和几何形体图都是图解法的具体应用。

下面我们向大家介绍怎样使图解恰到好处，掌握一些图解的技巧，必将使你有所得益。

　　例1：

　　哥哥买了5本练习簿，妹妹买了同样的练习簿3本，每本练习簿售价一定，哥哥比妹妹多付0.16元，照这样计算，哥哥再买1本，妹妹再买2本，两人一共付了多少元？

　　解析：

　　我们把题目用如下直观示意图来表示，就容易找到解题方法。

　　从上图，我们可以清楚地看出，如果哥哥买的和妹妹一样多，那么，付的钱也应一样多。

现在，哥哥比妹妹多付0.16元，这是因为哥哥比妹妹多买2本的缘故。

换句话说，2本练习簿付了0.16元，就能直接算出每本练习簿的价钱。

　　列式计算：

　　0.16÷（5-3）＝0.08（元）

　　哥哥、妹妹一共买了多少本练习簿，从下图中也很容易找到解题方法。

　　如图所示，哥哥一共买了（5＋1）本，妹妹买了（3＋2）本，两人共买11本练习簿。

用已求出的每本练习簿的单价和全部的本数相乘，可得哥哥、妹妹一共付的钱数。

　　列式计算：

　　0.08×（5＋1＋3＋2）

　　＝0.08×11

　　＝0.88（元）

　　答：

哥哥、妹妹一共付0.88元。

　　例2：

　　胜利乒乓球厂，计划20天生产乒乓球30000只，现在已生产的只数可以装2辆卡车，已知每盒装6只乒乓球，每箱装40盒，每辆卡车装50箱，照这样计算，还要生产几天才能全部完成？

　　分析：

　　用思维分析图演示题意，从中可以找到解题的方法。

　　这个演示图是解开这道应用题的基本构思，从中可以看出，求出“已经生产多少只”与“每天生产多少只”是解这道题的关键。

　　由已知：

　　这一系列条件是计算已经生产多少只乒乓球的具体数据，可得算式：

　　6×40×50×2

　　＝24000（只）

　　要求出“每天生产多少只”，这道题就能得到解决。

　　由数量关系的演示，计算每天生产的只数的算式为：

　　30000÷20＝1500（只）

　　这样解题条件已全部具备，就能算出问题的结果了。

　　列综合式计算：

　　（30000—6×40×50×2）÷（30000÷20）

　　＝（30000－24000）∶1500

　　＝6000÷1500

　　＝4（天）

　　答：

还要生产4天。

　　例3：

　　在甲乙两地之间有一座方塔，它离甲地120公里，一辆快车以每小时54公里的速度从甲地开出，一辆慢车以每小时30公里的速度从乙地开出，两车同时相向而行，相遇时，快车超出方塔69公里，甲乙两地相距多少公里？

　　分析：

　　图示

　　解析：

　　画一条线段表示了甲乙两地的路程全长，在两车出发地（甲地和乙地），画出箭头表明了汽车行进的方向，图上表示的方向是相向而行，箭头上端注的是两车的速度，表示路程的数据，一般地可以标在线段上方（或下方），两车行驶的时间则标在另一方。

画线段图时，要按题目的内容，逐步将题中所给的条件和问题标出，作图的过程，实际上是一个审题分析题意的过程，所以要认真读题，仔细观察，才能正确画出图解，有利于理解题意。

　　从图示看这道题，快车从甲地开出到与慢车相遇时，一共行了两段路程，第一段路程是从甲地到方塔有120公里，第二段路程是从方塔继续向前行驶到相遇点，有69公里。

这就可以看清了，快车从甲地开出到和慢车相遇时，一共行（120＋69）公里。

同时，又知道快车每小时行54公里，所以，快车在这段路程里行的时间就可以计算：

　　（路程÷速度）＝时间

　　这个时间，实际上就是两车相遇的时间，为什么呢？

因为两车是同时出发的，中间没有停车和其它变化，所以到相遇时，快车和慢车所行的时间相同。

　　列式计算：

　　（120＋69）÷54＝3.5（小时）

　　继续观察图

（一），慢车行了多少公里，是求全程必不可缺的条件，只要求出慢车的路程，问题就解决了。

已知慢车每小时行30公里，3.5小时和快车相遇。

由此求得，慢车行的路程是

　　30×3.5＝105（公里）

　　甲乙两地相距多少公里？

　　120＋69＋105＝294（公里）

　　也可根据“速度和×相遇时间＝总路程”这个关系式求出两地间距离：

　　（54＋30）×3.5＝294（公里）

　　列综合式计算：

（1）120＋69＋30×［（120＋69）÷54］

　　＝120＋69＋105

　　＝294（公里）

（2）（54＋30）×［（120＋69）÷54］

　　＝84×3.5

　　＝294（公里）

　　答：

甲乙两地相距294公里。

　　例4：

　　甲乙两个工程队开凿一条隧道，两队同时从两头开始挖，甲队每天挖进3米，乙队每天挖进2米，隧道打通时，甲乙两队在距隧道中点8米处相遇，隧道全长多少米？

　　分析：

　　图示

（一）

　　从图中给的条件看，甲乙两队的工作效率分别是“甲队每天挖进3米”，“乙队每天挖进2米”，那么，只要求出打通隧道用的天数，问题的“结”就解开了。

从图示来分析：

“中点到相遇处8米”这段距离，对解开“结”太重要了。

这个距离显然是解题的关键所在，那么，这个“8米”又说明什么问题呢？

仍然可以从图上找到回答，隧道挖通时，甲队挖的比全长的一半多8米，乙队挖的比全长的一半少8米，那么，甲队比乙队多挖多少米呢？

为了有利于解答这个问题，可以在图上把两队挖的相等的长度表示出来：

　　图示

（二）

　　从图

（二）可以清楚地看出，甲队比乙队多挖2个8米，又已知，甲队每天挖进3米，乙队每天挖进2米，可得甲队每天比乙队多挖1米，甲队比乙队多挖了16米，也就是说挖了16天打通，这就解开了题目中的一个“结”。

而这个“结”的解开是解答隧道全长的一个重要环节。

　　列式计算：

（1）工程队挖了多少天？

　　（8＋8）÷（3—2）＝16（天）

（2）隧道全长多少米？

　　（3＋2）×16＝80（米）

　　列综合式计算：

　　（3＋2）×[（8＋8）÷（3—2）]

　　＝5×16

　　＝80（米）

　　答：

隧道全长80米。

　　例5：

　　分析：

　　若作如下线段图，大家一定会觉得还是难以理解。

　　图

（一）

以，题中“剩下27吨”难以在图

（一）表达出来。

倘若，这样考虑，第一次不少运5吨，那么，剩下的水泥只有（27－5）吨，第二次不多运3吨，那么，剩下的水泥应是（27—5＋3）吨。

如果把两次运的情况分别画在线段的两端，“剩下的27吨”就可在线段图上表示出来了。

　　图

（二）

这样，就可求出全部的吨数。

即：

　　全部吨数求出来了，第一次运的吨数也就迎刃而解了

　　解：

　　＝20－5

　　＝15（吨）

　　答：

第一次运了15吨。

　　线段图作为一种解题的辅助工具。

有时，可以采用两条（或两条以上）线段的画法。

　　例6：

　　某小学附属幼儿园，大班人数比小班多4人；有一天，小班缺席2人，

　　分析：

　　这道题求的是两个班各有多少人，就是说全部出席，大班有多少人？

小班有多少人？

如果只用一条线段图，对解题帮助不大，若画两条线段，就能清楚地表达题目情节，有助于分析思考。

　　图示

　　作法：

　　先画二条线段分别表示大小班两班全部人数。

大班比小班多4人，再把大班和小班缺席人数标出来。

在画的时候要注意“小班出席人数是大班出席

出席人数是多少，再加上缺席的1人，大班原有人数就可求得。

于是小班人数也可相继求得。

　　解：

　　大班出席人数：

　　大班原有人数：

　　30＋1＝31（人）

　　小班原有人数：

　　31—4＝27（人）

　　验算：

　　根据题意，大班缺席1人，出席人数是31－1＝30（人）；小班缺席2人，出席人数是27—2＝25（人）。

出席人数小班是大班的25÷30＝

　　例7：

　　有两列火车，甲列车长72米，每分钟行驶860米；乙列车长84米，每分钟行驶700米，两列火车从相遇到离开需几秒钟？

　　分析：

　　“两列火车从相遇到离开”是怎么一回事，对于缺乏生活经验的小朋友来讲，还是有点不易理解，我们可以用实物（例如用一支钢笔代表甲车，用一支铅笔当作乙车，一端当作车头，另一端看作车尾）放在桌子上，边演示，边想象两车相遇到离开的情况。

同时，记住演示的情况，以便作图解答。

　　通过操作和图示，可以清晰地看出两列车以从相遇到离开行驶的路程就是两列火车的车长之和，用路程除以速度和就能计算出所需要的时间。

　　列式计算：

　　（72+84）÷（860+700）

　　=156÷1560

　　=0.1（分钟）

　　0.1（分钟）＝6（秒钟）

　　答：

两列火车从相遇到离开需要6秒钟。

　　例8：

　　一个正方形，如果它的边长都增加6厘米，所得的正方形面积比原正方形的面积大156平方厘米，求原来正方形的边长是多少厘米？

　　分析：

　　解答这道题的难度较大，如果借助以下三幅图，就不难找到解题的方法。

　　上图中的S1表示原正方形，以图中清楚地看出：

（1）S2＋S3＋S4＝156（平方厘米）

（2）S4是边长为6厘米的正方形，可求得面积是：

　　6×6＝36（平方厘米）

　　（3）S2与S3是两个等长、等宽面积相等的长方形，面积各为：

　　（156－36）÷2＝60（平方厘米）

　　已知其中一边宽是6厘米，就能求出另一条边的长，这两个长方形的长也就是原来正方形的边长。

　　解：

列综合式计算：

　　（156－6×6）÷2÷6

　　＝120÷2÷6

　　＝10（厘米）

　　答：

原来正方形的边长是10厘米。

　　由此可见：

图解法可以帮助我们找到解题的捷径。

对于解决某些难题，可以起到化难为易的作用。

怎样用图解？

怎样用正确画图？

这是田题目的内容和情节结构所决定的。

这就要求我们首先认真读题，熟悉情节，发挥畅想，才能使所画的图真正起到顺利解决问题之目的。

　　训练示范

　　1．请你把下列各题的图解补完整

多少亩？

（2）5支铅笔比3支铅笔价多0.12元，同样的铅笔100支总价多少元？

　　（3）一桶油，用去全部的40％少2公斤，剩下的还有8公斤，这桶油共有多少公斤？

　　（4）两城相距540公里，两列火车从两城同时相对开出，甲车0.6小时行45公里，比乙车的速度快15公里，经过多少小时，两车相遇？

　　2．根据图解，把应用题的条件和问题补完整：

（1）一根铜丝，全长的（）比（）长6厘米，问____________？

列式：

______________。

（2）有三种书，甲种书的本数是乙种书的（），丙种书的本数是（）

　　练习题

　　1．新乐公园有24条游船，本船的条数比电船的4倍少1条，电船有多少条？

　　2．学校买来8张办公桌和几把椅子，共付708元，每张办公桌价68.50元，比每把椅子贵36.50元，买来椅子几把？

　　3．甲乙两站相距488公里，客车从甲站开往乙站，每小时行50公里，开出3.6小时后，货车从乙站开往甲站，经过2.8小时相遇，货车每小时行多少公里？

　　4．三层书架共有189本书，从第一层和第二层各取出10本，放到第三层；又从第三层取出16本放回第一层。

这样，第一、二、三层书的本数比为2∶3∶4。

原来每层书架各有多少本书？

　　5．张老师和李老师同时同地出发到某地参观，张老师骑自行车每小时行12公里。