注意：
次算法不涉及记录的移动，它类似地址表排序，因为COUNT表确定这些记录最后安排，但是由于COUNT[j]高速我们往何处移动Rj，而不是哪一个记录应当被移动Ri的位置，故它与地址表排序略有不同。
通过计数进行排序，还有另外一个方法，从有效的观点看，它十分重要的：
它主要应用于许多相同的键码出现，且所有的键码都落入范围u≤kj≤v的情况，其中（v-u）很小。
这些假定看来十分严格的限制，但是事实上将看到这一思想有不少的应用。
列如，如果把这个算法的应用与键码的头几位数，而不是整个键码，则这个文件被部分地排序，而且这项任务将相当简单。
1.2通过插入进行排序
有一类重要的排序技术，是以1.2节开头处提到的“玩桥牌者”的方法为基础的，在考察记录Rj之前，假定以前的记录
已经排好序，然后已经把Ri插入到已经排好的诸多记录的适当位置。
这个基本主题可以由若干有趣的变形。
1.2.1直接插入
最简单的插入排序也是最显然的。
假定
，而且已经把记录
重新排好序，使得
把新键码Kj依次地和Kj-1,...,k3,k2..进行比较，直到发现Rj应当插入到Ri和Ri+1处。
如下列算法所示那样，宜于把比较和移动操作组合在一起，互相穿插，由于Rj“被安放到适当的层次中区”，这种排序方式通常称为筛选或陷入技术。
算法S（直接插入排序）重新安排记录
到适当位置；在完成排序之后，它们的键码是有序的，即有
。
S1[对j进行循环]对于j=2,3,...,N实施步骤S2到S5；然后终止本算法。
S2[给i，K，R赋值]置i←j-1，K←Kj，R←Rj
S3[比较K:
Ki]如果
则转向步骤S5.
S4[移动Ri，i减值]置Ri+1←Ri，然后i←i-1。
如果i>0，则返回到步骤S3。
S5[R进入Ri+1]置Ri+1←R。
1.2.2二叉插入和两路插入
在一个直接插入排序期间，在处理第j个记录时，平均说来要把它的键码大约同1/2j个此前已排好的键码进行比较，因此所实施比较的总数大约是1/2（1+2+3+...+N）=1/4N2,当N适当大时，这就已经非常之大了。
在6.2.1小节，将研究“二分查找”技术，该技术使我们能够在仅仅lgN次仔细选择的比较之后，就指出在那里插入第j项。
例如，当插入第64个记录时，可以由对K64和K32进行比较开始。
如果是小于，则就把它同K16进行比较，但如果是大于，则就把它同K65进行比较，等等。
于是仅仅做6次比较之后，就可知道R64应查如得位置。
插入所有N项所作的比较总数就大学时NlgN，这是对于1/4N2的实质性的改进。
而6.2.1小节表示，它早在1946年就由JohnMauchly在计算机排序的第一个公开讨论中述及。
二叉插入的困难时，它只解决问题的一半。
在已经发现记录Rj应插入到那里之后，仍然需要移动大的1/2j个此前已排序好的记录，以便Ri腾出位置，所以总共的运行时间实质上仍同N2成正比。
当然，一个灵巧的程序员可以相处各种方式来减少所需要移动的数量；头一个这样的技巧，如表2所示，是早在50年代时就提出的，表中排序的头一项被放置在一个输出区域的中心，而且通过向右或向左移动腾出空间。
此法比普通二叉插入节省一半运行时间，其代价是程序稍微复杂一点，使用此法时，还可以不必使用N个记录所需要的更多的空间；但对于这个“两路”插入的方法，将不作更详细的叙述因为已有更多有趣的方法。
1.2.3Shell方法
如果有这样的一份排序算法，它一次只把诸多项目移动一个位置，则它的平均运行时间最好也是同N2的成比例。
因为在这个排序过程中每个记录都必须平均遍历1/3N个位置。
因此，如果直接对插入作实质性的改进，就需要一种新原理，它是这些记录作长距离的跳跃，而不是一些短促的小步移动。
这样一个方法是由Donald.L.Shell于1959年提出的，我们称它为Shell排序，表3说明该法的一般想法：
首先把这16个记录分成8组即（R1，R9），（R2，R10），...，（R8，R16）。
分别对每组记录进行排序。
使我们进到表3的第二行，这称为“第一次扫描”。
表3增量递减排序
Shell排序也叫做“减少增量的排序”，因为每一遍通过增量h来确定，使得我们对相距h个单位进行排序。
任何序列h1，hi-1，..，hn都可以使用此方法，只要最后的增量h0=1就行。
小结
既然我们已经接近着极为冗长的一章结尾，我们最好“整理出”已研究过的最为重要的事实。
用于排序的一个算法，是一个这样的过程，它重新安排一个文件的所有记录，使得其码处于递增的次序，这有序的排列是有用的，因为它把相同的记录放到一起，允许有效的处理按同一个键码排好的多个文件，这导致了有效的检索方法，而且是计算机的删除看上去不那么的混乱。
如果无论是对那一种应用，或无论正在使用什么样的计算机，仅仅有一两种排序方法，它比所有的排序方法都好，那么，事情倒好结局，事实上，每种方法都有各自的优点。
因此所有的方法都要去记，因为在特地的环境中，它们是最好的。
参考文献
[1]Bell，D．Theprinciplesofsorting．TheComputerJournal1（1958）：
71–77．
[2]Bose，R.C，andNelson，R.J．Asortingproblem．JournaloftheACM（JACM）9，2（1962）：
28–296．
[3]Halstead，M.H．ElementsofSoftwareScience．Operating．andProgrammingSystemsSeries，vol．7．Elsevier,1977：
71–77．
Sorting
1InternalSorting
Manydifferentsortingalgorithmshavebeeninvented,andwewillbediscussingabout25oftheminthisbook.Thisratheralarmingnumberifmethodsisactuallyonlyafractionthealgorithmsthathavebeendevisedsofar;manymethodswhicharenowobsoletewillbeomittedfromourdiscussiong,irmentionedonlybrieflywhyaretheresomanysortingmethods?
Forcomputerprogrammingthisisaspecialcaseofquestion,”whyaretheresomanyxmethods?
”,wherexrangesoverthesetofproblems;andtheansweristhateachmethodshasitsownadvantagesanddisadvantages,sothatitoutperfomstheohersonsomeconfigurationofdataandhardware.Unfortunately,thereisnoknow“best”waytosort;therearemanybestmethods,dependingonwhatistobesortonwhatmachineforwhatpurpose.InthewordsofPudyardKiplin,’therearenineandsixtywaysofconstructingtriballays,andeverysingleoneofthemisright.”
Itisagoodideatolearnthecharacteristicsofeachsortingmethod,sothataninerlligentchoicecanbemadeforparticularapplicationsFortunately,itisnotaformidabletasktolearnthesealgorithms,sincetheyareinerrelatedininterstingways.
Atthebeginningofthischaperwedefinethebasicterminnologyandnotationtobeusedinourstudyofsorting:
therecords
（1-1）
Aresortingintonondereasingorderoftheirkeys
esentiallybydiscoveringapermutationp
（1）p
（2）...p（N）suchthat
（1-2）
Inthepresentsectionweareconcernedwithinernalsorling,whenthenumberofrecordstobesortingissmallenoughthattheentireprocesscanbeperformedinacomputershigh-speedmemory.
Insomecaseswillwantrecordstobephysiscallyrearrangedinmemorysothattheirkeysareinorder,whileinorhercasesinmaybesufficientmerelytohaveanauxiliarytableofsomesortwhichspecifiesthepermutation.Iftherecordsand/orthekeyseachtakeupquiteafewtablewordsofcomputermemoty,itisoftenbettertomakeupanewtableoflinkaddresseswhicpointtotherecords,andtomanipulatetheselinkaddressesinsteadofmovingthebulkyrecordsaround.Thismethodiscalledaddresstablesorting.Ifthekeyisshortbutthesatelliteinformationoftherecordsislong,thekeymaybeplacedwiththelinkaddressesforgreaterspeed;thisiscalledkysorting.Othersortingschemesutilizeandauxiliarylinkfieldwhichisincludedineachrecord;theselinksaremanipulatedinsuchawaythat,inthefinalresult,therecordsarelinkedtogethertoformastraightlinearresult,therecordsarelinktogethertoformastraightlinearlist,witheachlinkpointingtothefollowingrecord.
Allofsortingmethodswhichweshallexamine“indepth”willbeillustrateinfourways,bymeansof
a）anEnglish-languagedescriptionofthealgotithm,
b）flowdiagram,
c）aMIXprogram,
d）anexampleofthesortingmethodappliedtoagivensetofnumber.
AnanalysisoftherunningtimeofeachsortingwillbegivewiththeMIXprograms.
1.1Sortingbycounting
Asasimpleexampleofthewayinwhichweshallstudyinernalsortingmethods,lectusconsiderthe“ounting”ideamentionednearthebeginningofthissecion.Thissimplemethodisbasedontheideathatthejthkeyinthefinalsortedsequenceisgreaterthanexactly（j--1）oftheotherkeys.Puttingthisanotherway.ifweknowthatacertainkeyexceedsexactly27others,thecorrespondingrecordshouldgointoposition28aftersorting.Sotheideaistocompareeachpairofkeys,countinghowmanyarelessthaneachparticularone.
Theobbiouswaytodothecomparisonsisto
.For
For
Butitiseasytoseethatoverhalfofthesecomparisonareredundat,sinceitisunnessarytocompareakeywithitself,anditisunnessarytocompareKawithKbandlatertocompare..with....weneedmerelyto
For
For
Algorithmc（comparisoncounting）
ThisalgorithmsortsCOUNT[1],...,COUNT[N]onthekeys
bymaintaininglessthanagivenkey.Aftertheconclusionofthealgorithm,count[j]+1specifiesthefinalpositionofrecord
C1[clearCounts]SetCount[1]throughCOUNT[N]tozero.
C2[Looponi.]PerformstepC3,fori=N,N-1,...,2;thenterminatethealgorithm.
C3.[Looponj.]PerformstepC4,forj=i-1,i-2,...,1.
C4.[CompareKi,Kj.]IfKiNotethatthisalgorithminvolvesnomovementofrecords.Itissimilartoanaddresstablesort,sincetheCOUNTtablespecifiesthefinalarrangementofrecords;butitissomewhatdifferrentbecauseCOUNT[j]tellsuswheretomoveRj,insteadofindicatingwhichrecordshouldbemovedintotheplaceofRj.（Thusthe“inverse”ofthepermutationp
（1）...p（n）isspecifiedintheCOUNTtable;seeSection1.1.1）.
Inourdiscussionprecedingthisalgorithmwefailedtoconsidertheposibilityofequalkeys.Thisisapotentiallyseriousomission,forifequalkeyscomplicatedtoequalCOUNTsthefinalrearrangementofrecordswouldberathercomplicated.Fortunately,asexercise2shows,AlgorithmCgivesthecorrectresultnomatterhowmanyequalkeysarepresent.
ProgramC（Comparisoncounting）.
ThefollowingMTXimplementationofAlgorithmCassumesthatRjisstoredinlocationINPUT+j,andCOUNT[j]inlocationCOUNT+j,for1≤j≤N;rI1=i;rI2=j;rA=Ki=Ri;rX=COUNT[i].
Therunningtimeofthisprogramis13N+6A+5B-4units,whereNisthenumberofrecords;AisthenumberofchoicesoftwothingsfromasetofNobjects,namely（
）=（N2-N）/2。
1.2SortingbyInsertion
Oneofimportantfamiliesofsortingtechniquesisba
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