等边三角形的判定定理教学设计.docx

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等边三角形的判定定理教学设计

《等边三角形的判定定理》教学设计

教学目标

1、在具体情境中经历“探索—发现—猜测—证明”的过程，认识证明的必要性。

2、掌握等边三角形的两个判定定理的证明过程，并能用它们证明有关命题。

3、理解定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

”的证明思路，并能进行简单应用。

4、通过定理的逻辑证明，让学生逐步学会用数学符号语言有条理地表达思维过程，发展学生的推理意识和能力。

教学重点

探索等边三角形的两个判定定理，以及定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

”。

教学难点

证明定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

”时辅助线的作法。

教学过程

1、情境导入

观察与思考；

（1）如图，具备什么条件的三角形是等腰三角形？

（2）如图，具备什么条件的三角形是等边三角形？

（3）

补充条件

补充条件

如图，具备什么条件的等腰三角形是等边三角形呢？

2、探索定理

（1）探索判定定理：

有三个角相等的三角形是等边三角形

（2）探索判定定理：

有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形

要分两种情况进行证明。

归纳形成等边三角形的判定定理

（4）探索定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）

[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．

其中，图

（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

[生]图

（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．

[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图

（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？

[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．

[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？

[生]可以，在图

（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=

BC．所以BD=

AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．

[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我们一同来完成这个定理的证明过程．

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．

求证：

BC=

AB．

分析：

从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．

延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）

∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．

∵AC=AC，

∴△ABC≌△ADC（SAS）．

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．

∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．

∴BC=

BD=

AB．

[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．

（演示课件）

[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？

分析：

观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=

AD，BC=

AB，又由D是AB的中点，所以DE=

AB．

解：

因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知

BC=

AB，DE=

AD，

所以BD=

×7.4=3.7（m）．

又AD=

AB，

所以DE=

AD=

×3.7=1.85（m）．

答：

立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．

[师]再看下面的例题．

[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．

求：

CD的长．

分析：

观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．

解：

∵∠ABC=∠ACB=15°，

∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．

∴CD=

AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．

[师]下面我们来做练习．

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P146练习

Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？

边AB与BC之间有什么关系？

答案：

∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC．

（二）补充练习

1．已知：

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．

求证：

BD=

AB．

证明：

在Rt△ABC中，∠A=30°，

∴BC=

AB．

在Rt△BCD中，∠B=60°，

∴∠BCD=30°．

∴BD=

BC．

∴BD=

AB．

2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．

求证：

其中一条是另一条的2倍．

已知：

在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．

求证：

CD=2AD．

证明：

在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，

∴∠ABC=60°，∠C=30°．

又∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠DBC=30°．

∴AD=

BD，BD=CD．

∴CD=2AD．

Ⅳ．课时小结

这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P148─11、12、13、14题．

（二）预习P151～P152，并准备活动课．

1．找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字．

2．思考镜子对实物的改变．

Ⅵ．活动与探究

在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．

过程：

可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．

结果：

已知：

如图

（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=

AB．

求证：

∠BAC=30°．

证明：

延长BC到D，使CD=BC，连结AD．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC，

∴△ACB≌△ACD（SAS）．

∴AB=AD．

∵CD=BC，

∴BC=

BD．

又∵BC=

AB，

∴AB=BD．

∴AB=AD=BD，

即△ABD为等边三角形．

∴∠B=60°．

在Rt△ABC中，∠BAC=30°．

板书设计

§14．3．2．2等边三角形

（二）

一、定理的探究

定理：

在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

二、范例分析

三、随堂练习

四、课时小结

五、课后作业

备课资料

参考例题

1．已知，如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形．

求证：

AN=BM．

证明：

△ACM与△CBN是等边三角形．

∴∠ACM=∠BCN．

∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM，

即∠ACN=∠MCB．

在△ACN和△MCB中，

∴△ACN≌△MCB（SAS）．

∴AN=BM．

2．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？

解：

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm．

∴BC=

AB=5cm．

∵CB1⊥AB，

∴∠B+∠BCB1=90°．

又∵∠A+∠B=90°，

∴∠BCB1=∠A=30°．

在Rt△ACB1中，BB1=

BC=2.5cm．

∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．

∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．

∴B1C1=

AB1=

×7.5=3.75（cm）．

§13等边三角形说课稿

一、 教材分析

1、教材地位及作用

等边三角形是新人教八年级数学上册第13章第3节内容，本课的主要内容是引导学生探究等边三角形的性质定理和判定定理以及定理的推理证明和初步应用.本教材是学生学习了轴对称图形和等腰三角形有关知识后学习的，在实际生活中总能找到等边三角形的影子，它不仅使我们的生活变得丰富多彩，让我们在生活中体验到特殊的对称美，而且为我们的数学研究提供了重要素材．这一课的内容不仅是等腰三角形的延续，而且为今后证明角相等、线段相等提供了重要依据，在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用．

2、教学目标

根据上述的教材地位和作用，结合学生已有的认知结构，特制定本节课的教学目标如下：

知识目标：

（1）了解等边三角形的概念.

（2）探索并掌握等边三角形的性质和判定方法.

能力目标：

（1）建立初步的符号感，发展抽象思维.经过观察实验、猜想证明等数学活动，发展合情推理能力.

（2）通过探究活动，激发学生的学习兴趣，渗透类比、分类、转化思想，学会用数学思想和方法研究，发展逻辑推理能力.

情感目标：

通过数学活动，激发学生的学习兴趣，在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，促进学生亲近数学，喜欢数学，激发学生积极参与数学学习活动的兴趣，培养学生良好的创新意识.

根据新课程标准，确立如下教学重点、难点.

3、教学重点、难点

重点：

等边三角形判定定理和性质定理的探究与证明.

难点：

等边三角形性质和判定方法的应用.

二、教法学法

1．教法探讨：

根据“获得数学知识的过程比获得知识更为重要”的理念，我确定本课的教法为：

探究发现法，即学生在老师的正确引导下，积极主动参与探索发现、归纳类比等数学活动获得知识.

2．学法指导：

“教学中让学生发现一个问题比解决一个问题更重要.”因而本课的学法指导是让学生在“观察——发现——论证——归纳”的学习过程中自主参与知识的形成的过程.从而培养学生探究问题，交流合作的良好品质.

3．教具学具：

通过手中的自制的等边三角形卡片，学生展开讨论，探索新知的形成和发展过程，提高学生分析问题的能力，培养合作意识．

三、教学分析

由于在我们的现实生活中随处可见等边三角形，学生在原有生活经验的基础上，对等边三角形已形成初步认识，在前两个学段又对等边三角形有了初步了解，因此本节课通过类比等腰三角形的性质能够发现等边三角形的性质，同时根据经验能够画一个等边三角形，易于掌握如何判断一个三角形是等边三角形．同时在原有几何知识的基础之上，能够合情推理，易于利用性质和判定解决等边三角形的相关问题．

四、预期效果分析

由于本节课是以认知规律为主线，运用教师引导和学生自主探索、合作交流的学习方式，以达到帮助学生从感性认识发展到理性思考，促使学生逐渐形成方法，形成技能．课堂教学始终贯彻“教师为主导，学生为主体”的教学思想，渗透数学思想方法，让学生从归纳中形成能力．因此，我现对课堂教学落实不同的知识点将产生的效果预期较好.

§13等边三角形

课题

13等边三角形

授课教师

授课班级

人数

教

学

目

标

1．知识目标：

（1）了解等边三角形的概念.

（2）探索并掌握等边三角形的性质和判定方法.

2．能力目标：

（1）建立初步的符号感，发展抽象思维.经过观察实验、猜想证明等数学活动，发展合情推理能力.

（2）通过探究活动，激发学生的学习兴趣，渗透类比、分类、转化思想，学会用数学思想和方法研究，发展逻辑推理能力.

3．情感目标：

通过数学活动，激发学生的学习兴趣，在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，促使学生亲近数学，喜欢数学，激发学生积极参与数学学习活动的兴趣，培养学生良好的创新意识.

重点

等边三角形判定定理和性质定理的探究与证明.

难点

等边三角形性质和判定方法的应用.

教学

环节

问题与情境

师生行为

设计意图

新重

课温

引概

入念

1.活动一：

复习引入

①回顾等腰三角形的性质与判定

②问题探索：

在△ABC中AB=AC，∠A=60°，你能得出什么结果？

1学生回忆等腰三角形的性质与判定.

2学生探究发现出AB=BC=AC.

通过回忆让学生充分准备好本节课学习所需要的基础知识，利用问题探索让学生发现，并初步感悟等腰三角形与等边三角形的区别与联系.

动获

手得

操感

作知

活动二：

动手操作

你能用一张纸剪下一个等边三角形吗？

教师演示等边三角形的作法，并让学生仔细观察.

培养学生的观察与动手操作能力，活跃课堂气氛，激发学生的学习兴趣，并用剪下的等边三角形为下面的教学提供实物模型.

合勇

作于

探创

究新

活动三：

探究等边三角形的性质与判定

1你能说出等边三角形有哪些性质？

②怎样判定一个三角形是等边三角形呢？

1观察自制的等边三角形模型

2教师板书等边三角形的性质.

3结合活动1中的问题探索，引导学生从边与角的角度探索等边三角形的判定.

4教师板书等边三角形的判定定理.

培养学生的探究精神，引导学生把等腰三角形的性质判定与等边三角形的性质判定进行类比，感悟这种类比方法在学习中的作用.

进一步提升学生的想象力空间，培养学生的探究发现能力。

一创

题新

多思

解维

活动4：

知识应用

讲解例4

你能想出几种证明方法呢？

1学生相互交流探究证法，教师参与讨论.集思广益，鼓励创新与多种证法，充分给学生思考和发表意见的时间和空间.

2注意学生书写的证明过程是否规范.

培养学生应用所学知识解决问题的能力与意识，鼓励创新与多角度多方法思考问题，活跃学生的思维，发展创造性.

夯提

实高

基能

础力

活动5：

课堂练习

基础练习：

P80

学生思考并作答，教师应注意：

1注意学生对对称轴的描述是否准确.

2注意学生的答案不完整，可能遗漏.

及时巩固所学知识，了解学生的学习效果.增强学生灵活运用知识的能力，语言表达能力和对图形的分析，转化能力.

总拓

结展

反升

思华

活动6：

小结反思与作业布置

1小结；本节课我们主要学习了什么内容？

你有哪些收获？

2作业布置：

P8312，14

1对比等腰三角形与等边三角形的性质与判定，有何区别与联系？

2注意类比，转化等数学思想方法的应用.

总结回顾学习内容，帮助学生归纳.巩固学生的所学知识，总结反思，并通过课后的独立思考，自我评价学习效果.