浅谈如何培养学生的空间想象能力.docx
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浅谈如何培养学生的空间想象能力
浅谈如何培养学生的空间想象能力
广东省中山市古镇高级中学 易建辉
中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。
中学数学所研究的空间是人们生活在其中的现实空间。
具体地讲，它包括一维（直线）、二维（平面）、三维（立体）图形所反映的空间形式。
随着学生年龄的增长，他们能够不断地从日常生活经验中获得并掌握各种空间知觉和空间表象，同时也在不断地积累着各种表示空间关系的词语，这一切使得他们的空间要领不断的完善和丰富起来。
在中学数学学习中，空间想象能力的培养就包含如下几方面内容：
1．对几何中直线、平面、空间的基本几何图形的形状结构、性质、关系非常熟悉，能正确画图，能离开实物或图形在思维中识记、重现基本图形的形状和结构，并能分析图形的基本元素之间的位置关系和度量关系。
2．能借肋图形来反映并思考客观事物或用语言、式子来表示空间形状及位置关系。
3．能从较复杂的图形中区分出基本图形，并能分析其中基本图形与基本元素之间的相互关系。
4．能根据几何图形性质通过思考创造出合乎一定条件、性质的几何图形。
上述各方面都以观察、分析、认识图形性质的能力和画图能力为基础。
值得强调的是，识图能力和画图能力却不单纯是空间想象力，它与一般能力以及使用画图工具的技巧有密切关系。
因此，培养学生的空间想象能力要考虑各方面的因素，互相配合，才能取得好的效果。
我认为，应该从以下几方面来培养学生的空间想象能力：
1．通过丰富学生的空间经验，解决几何入门难的问题
几何教学入门难，历来是数学教学中的一大问题。
因为初学几何时，学生必须经历认识上的一个转折--由代数向几何的转变。
这个转变在两方面给初学者造成困难：
一是研究对象由数转变为形，学生要由对符号信息的操作转变为对图形信息的操作；二是思维方法由以计算为主转变为以推理论证为主，学生要由对事物间的数量化分析转向对其空间形式的定性分析上来。
对于几何初学者而言，他们不明了这种转变，不理解学习几何的目的，表现出学习上的不适应性。
特别是，中学几何课很快就进入论证阶段，而这时许多学生的智力发展水平还未达到形式逻辑运算阶段，因此，对于形式的、严格的逻辑推理，他们理解起来就感到很困难，特别对某些看起来明显的事实需要进行数学证明就更感困惑。
不习惯几何学中的推理论证，不会使用几何语言进行叙述，由此导致对几何学习产生畏惧的情绪。
随着学习的不断深入，几何概念的日渐增多，推理论证的要求更高，上述情况会更加严重从而使几何学习成为一个障碍，出现了学习上的分化现象，一些人越过障碍走在了前面，并由此体验到了证明的真谛，获得成功的喜悦，增强了学习数学的信心；相反地，一些人被难住了，并且由此失去了数学学习的信心。
克服几何入门难是几何学习的关键。
一个有效的途径是在学习几何概念之间，丰富学生的空间经验，扩充他们的空间词汇，使之对几何概念的理解有一定的基础。
因为在本质上几何学像其他任何实验科学一样，其本身也起源于人类社会生活实际的需要，所以几何学习必须要建立在现实空间的经验基础上。
2．通过推理几何的学习，提高学生的逻辑思维能力
学生空间想象能力的培养，是与逻辑思维能力的培养紧密相联的。
具体的可以从以下几方面入手。
（1）弄清几何基本概念是培养逻辑思维能力的前提
重视基本概念的教学，是数学教学的总要求，对几何教学还有特殊意义和特定要求。
实际教学中，应引导学生分析概念的组成，抓住概念的本质特征，使学生对概念的理解不只停留在字面上，只能背诵要领的定义，而是通过对本质特征的剖析，真正理解和掌握有关概念。
不仅如此，还要帮助学生分清概念之间的关系，使所学的几何知识系统化，随时注意将有关概念及其性质加以分类整理，使之纳入一个良好的知识结构中，完善学生的认识结构。
例如：
当学生学习完"直角三角形"这个概念后，有一些学生只知道正着放的才是直角三角形，而变换直角三角形中直角的位置后，就不认为它是直角三角形了，其原因就是概念缺乏相当数量的变式图式支持，当然，这也说明这些学生表象的概括水平低，所以，就影响了知识的具体化。
（2）学习与掌握几何语言是培养学生逻辑思维能力的关键
几何语言经常使用推理语言。
在几何的学习过程中，它要求学生学习与掌握它们的使用方法，尤其是各种变式的等价。
例如：
"点A在直线上"等价于"直线通过A点"；"两条直线互相垂直"等价于"两条直线所成的角是900"等等。
在实际教学中，有些学生对几何学中的一些词语理解不透。
例如：
有许多学生对"三个平面两两相交"中的"两两相交"的含义不明白；"经过两条相交直线，有且只有一个平面"中的"有且只有"理解不了，等等。
特别地，在几何学习中，我们经常要把一些几何语言转变为数学表达式来证明。
例如：
"证三角形的内角和为1800"，我们通常转化为证明"已知三角形ABC，求证：
∠A+∠B+∠C=1800"完成。
我想，如何把上述几大障碍攻破，学生学习几何就可以大有长进。
3．通过培养学生的数学思维品质，来提高学生的空间想象能力
学生空间想象能力的发展，与其数学思维品质的完善程度紧密相联。
可以说，培养学生的数学思维品质是提高学生空间想象能力的突破点。
为此，可以从以下两方面着手。
（1）通过一题多解，使学生所学的知识融会贯通，培养学生思维的深刻性与敏捷性
在学习几何的过程中，如果没有思维的深刻性，就不可能准确地解释图形信息、正确地进行推理、判断；没有思维的灵活性与敏捷性，就不可能对非图形信息与视觉信息进行灵活的转换与操作，无法想象运动变化的空间。
通过一题多解的训练，可以使学生更牢固地掌握所学的知识与技能；并通过各种解法的对比，使学生对所学内容有更深刻的认识，从而使学生体验到数学中的简捷美。
（2）培养学生的创造性思维
创造性思维是一种具有主动性、独创性的思维方式。
这种思维突破了习惯思维的束缚，在解决问题的过程中，它或是提出了有新意的观点，或是解决了前人尚未解决的问题，创新是它的本质特征。
如：
在回答说出“你所知道的圆形东西时”，有的学生答道：
水珠是圆的、鼻孔是圆的、老鼠洞是圆的。
这些回答想象丰富、视角独特，具有一定的独创性。
在实际教学中，教师首先应当为学生创设出一种民主、宽松、和谐的教学环境和学习气氛。
其次，在教学中，教师不要急于对学生所回答的问题或提出的建议做出判断或评价，更不要轻率给予批语特别是对一些与教师的本意不相符、看似荒谬的回答，也应允许他作进一步的解释。
第三，作为教师，要尊重学生提出的每一个问题，要通过语言、奖励等方式，激励学生的成就感和进取精神，并要及时鼓励学生敢于发表不同的意见和创造行为，从而来培养他们的创造力。
空间想象能力主要体现在能够敏锐地识图,正确地绘图,并能把图形与想象所对应的几何实体密切结合,进行正确地推理论证,以求得几何问题的迅速解决。
培养学生的空间想象能力是立体几何教学中的重点,也是教学中的难点。
数学中的空间想象能力是指对物体或图形的形状、大小、结构个位置关系的想象能力。
培养学生的空间想象能力是立体几何教学中的重点,也是教学中的难点。
空间想象能力主要体现在能够敏锐地识图,正确地绘图,并能把图形与想象所对应的几何实体密切结合,进行正确地推理论证,以求得几
作为多年奋斗在一线上的一名普通教师，更应该直面新课改，加强对课改精神理解，不断完善自身教学素养，为新课改增砖添瓦，现将高中数学必修2立体几何初步在自己教学过程中从以下几个方面谈一下自己粗浅的一些体会和认识。
一、对立体几何知识的理解
立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影和中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。
使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确的使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。
二、新课标对立体几何知识的要求
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科,三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。
在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；在以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论定；学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
三、新旧教材的比较
旧教材是在学习完解析几何后出现的，内容只有一章，分为两个单元，先学习空间直线和平面再学习简单几何体，课时要求为36课时，对简单几何体的性质、球的体积、表面积的教学要求为掌握内容，教学中是先让学生认识点、线、面的位置关系，再认知简单的几何体棱柱、棱锥和球体的概念和性质。
这样使学生先从理性上研究了点、线、面之间的关系，再认知几何体几何体，学生只是一个很传统的知识接受过程，不符合学生的认知规律，不适合对学生创新思维的培养。
新教材中，立体几何初步是学习完必修1后在必修2分两章出现，内容分为空间几何体的结构、三视图和直观图、球的表面积和体积（对球的表面积和体积要求了解即可）；空间点、线、面的位置关系；这样的安排，使学生先认识了空间几何体的结构特征，并且能够画出实物图，同时也了解了空间点、线、面的位置关系，学生的认知过程是由感性上升理性认识，更符合学生的认知规律。
在旧教材的教学过程中，因为学生先学习了平面解析几何，认知点、线、面的关系都是平面的，形成了思维定势，接着学习立体几何中的点、线、面的关系，然后学习空间几何体的特征，学生很难建立起空间的概念，大部分学生画出的图形是平面的；新教材的教学内容安排是先学习立体几何，学生先认知生活中的空间几何体，了解结构特征，在意识中已经建立起了空间的概念，再去学习研究空间点、线、面的位置关系，学生画出的图形有很强的立体感，对知识的理解和应用就很容易了。
新教材更注重知识的实用性，学生在学习完第一章后自己能够画出学校建筑的直观图，尤其是将来学习理工科的学生学习三视图更具有实用性；阅读材料画法几何与蒙日使学生了解了空间几何学在建筑学和美术学方面的应用；探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积使学生先了解原理，再去探究和应用原理研究柱体、锥体、球体的体积，学生能够学习知识，应用知识。
四：
信息技术与立体几何的整合
计算机和数学有着内在的、固有的密切关系。
在数学教学中，借助计算机的直观形象，充分表现数学的动态性，为抽象思维提供直观形象，由于计算机有及时的反馈控制，增强了学生解决问题的主动性、独立性，能促进学生的个别化进程的实现。
信息技术与高中数学的整合给单一的数学课堂走向了新的发展，数学不再枯燥无味。
学生通过网络带来的信息了解更多的数学信息，利用信息技术学习空间几何体更加形象具体。
以往的立体几何的教学，是通过教师的讲解和学生的空间想象认识几何体和理解知识，造成了学生学习立体几何难；信息技术与立体几何的整合使教师通过课件带给了学生看得见的几何图，知识的理解和接受不再是空洞无味，而是形象直观，同时也让学生走进立体几何，学生自己通过计算机制做课本中的几何体，使点、线、面动起来。
如：
我在教空间几何体结构一节内容时，先要求学生在计算机上制作圆柱体、圆锥体、棱台，在制作中学生建立了较强的空间感，在知识的学习过程中学生体会到几何体的构造及生成过程，这些过程如同让学生真正地进入了立体空间，学生可以从不同的角度观察所作的几何体，在所制做出来的立体图形中穿行，这增加了学生学习立体几何的兴趣，学生自己制做立体图形，也能激发他们的成就感。
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关于立体几何教学的几点思考
立体几何与平面几何的教学应统一起来，不仅仅是因为立体几何中的许多问题需要转化成平面几何中的问题来完成，更重要的立体几何与平面几何研究问题的思路与方法是相似的，而且许多定理在平面中成立，在空间中也成立。
诸如：
（1）直线平行的传递性：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
在平面中成立，在空间中也成立；
（2）等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
但是，有些命题在平面中成立，在空间中不成立。
仅举一例：
如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
在平面中成立，在空间中不成立。
原因不需赘述。
教师在立体几何的教学当中，应加以区别。
同时，立体几何与平面几何中有许多相似的命题，笔者在的教学中整理了一些，现列举如下：
1、 平面中，周长相等的正三角形，正方形，圆的面积；空间中，全面积相等的正四面体，正方体，球的体积为。
这两个命题中，周长在空间中对应全面积，正三角形对应正四面体，正方形对应正方体，圆对应球体。
换言之，平面中，周长一定时，越接近圆形的图形面积最大；空间中，全面积一定时，越接近球形的空间图形，体积越大。
2、平面中，面积相等的正三角形，正方形，圆的周长。
空间中体积相等的正四面体，正方体，球的表面积。
换言之，平面中，面积一定时，越接近圆的图形周长最小；空间中，体积一定时，越接近球的空间图形，表面积越小。
这也反映了宇宙中星体为什么大多以球体或接近球体的形式存在，因为球体的表面积最小，表面积越小越稳定；动物世界中，弱小动物遇到敌人时，缩成一团，是出于本能，将受攻击的区域减少到最小，因为球形的表面积最小。
3、 平面中，不共线的三点可确定一个圆；空间中，不共面的四点可确定一个球。
4、 平面中，过平面外一点有且只有一条直线与已知直线平行；空间中，过平面外的一条平行直线有且只有一个平面与已知平面平行。
5、 平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；空间中，过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。
6、平面中的勾股定理也可推广到空间：
（1）长方体的体对角线长的平方等于共顶点的三条棱长的平方和；
（2）设三棱锥A-BCD的三个侧面两两互相垂直，则有等式恒成立。
7、平面中，等边ΔABC内任一点到各边的距离之和为定值（等边ΔABC的高）；等腰ΔABC底边上任一点到两腰的距离之和为定值（一腰上的高）。
空间中，正四面体内任一点到各面的距离之和为定值（正四面体的高）；正三棱锥底面上任一点到各侧面的距离之和为定值（一侧面上的高）。
8、圆的周长公式，球的表面积公式，圆的面积公式，球的体积公式。
其中R表示半径，的指数1，2以及系数与维数之间存在着一种对应。
因为平面是二维的，空间是三维的。
9、平面中，三角形被平行于它一边的直线所截得的三角形与原三角形的面积的比等于对应边的平方比；空间中，棱锥被平行于它低面的平面所截得的小棱锥与原棱锥的体积的比等于对应边的立方比。
10、平面中，三角形的面积公式，空间中有两个相似命题：
（1）棱锥的体积公式。
其中，分别表示三角形的边，棱锥的低面积，表示高。
（2）三棱锥的体积也可按此公式计算，其中，为三棱锥一个侧面的面积，为该侧面与所对的侧棱间的距离。
11、平面中，梯形的面积公式；空间中，低面是梯形的直棱住的体积公式，其中，表示两个平行侧面的面积，表示这两个侧面间的距离。
笔者认为，立体几何的教学与平面几何的不能割裂开来，应统一起来，以上这些相似的命题，教材中没有突出体现，教师在教学过程中应注意研究整理，研究它的思维过程体现了逻辑思维中的类比思维，类比是进行合情推理的一种重要方法。
在数学中，类比是发现概念?
方法?
定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。
学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力。
并将此意识渗透给学生，培养学生用联系的观点，对立统一的观点认识事物，这也从一个侧面，体现了数学的结构美?
对称美?
和谐美。
如果学生能体会到数学的美感，那么他学习数学的兴趣就会越来越浓，热情会越来越高。
正如罗素所说：
“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且拥有至高的美。
高一学生在初中学习了平面几何，为进一步学习立体几何打下了一定的基础立体几何起始阶段的教学是由二维平面跨人三维空间的第一步，由于学生在学习平面几何时形成了思维定势，对立体几何入门教学形成干扰。
高中立体几何的入门，需要重视基础知识教学，掌握如何让学生从平面观念进入空间观念，并且培养学生的空间想象能力与逻辑推理能力，对学生初步接触立体几何有很大的帮助。
1重视基础知识教学
立体几何的基础知识是它的基本概念、公理、定理和方法，尽管立几概念、公理所概括的事物及其关系广泛地存在于实际生活中，但由于数学化的立几概念太抽象，与实际的感受有较大的距离，所以在立几教学的开始阶段是有一定的困难的，克服困难的办法是要遵循教学的规律，使立体几何基础知识教学尽可能与学生的认知过程靠近，注重直观思维的作用，并且逐步把直观思维引导到分析思维，从而达到对基础知识本质的理解。
立几的概念、公理、定理是立几教学的核心内容，是基础知识的起点，是逻辑推理、判断的依据，是正确、合理计算的基本保证，基础知识的教学，应注意交给学生规律性的知识与知识的规律，使其对知识的掌握条理分明，系统严谨，达到“招之即来”，“来之即用”。
这样既可使学生对立几知识正确理解，又可以培养学生阅读和自觉钻研的精神，这在立几入门教学中，显得特别重要。
例如，如果学生对立几中的几个公理认识模糊，很难想象以后怎样学习下去。
2平面观念向空间观念的转换
2.1、诱导迁移，将学生思维观念由“平面”引向“空间”
由二维平面跨入三维空间，由平面几何到立体几何，不论是图形还是概念的拓展、变化，对学生来说往往是个难点。
在学习立体几何过程中，学生不仅受平面几何的正迁移作用，而且在思维、概念、理论上也常被束缚在二维平面上，产生负迁移作用。
例如:
“平行于同一条直线的两条直线平行”，“一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补”，学到这些与旧知识类似的地方，学生往往产生心理上的正迁移，很容易接受。
有时，学生往往习惯于把平面几何知识照搬到立体几何中来，又会产生心理上的负迁移比如:
解答“垂直于同一条直线的两条直线有几种位置关系”时，学生会受平面几何中“垂直于同一条直线的两条直线平行”的干扰.对此，教师课前要做到心中有数，课堂上注意提醒学生，让学生观察实验、模型，找一找哪些是垂直于同一条直线的两条直线，它们的位置关系如何.通过观察思考，回答正确后，进一步让学生画出这三种位置关系的直观图.通过诱导迁移，扬长除弊，使学生逐渐把自己的观念从“平面”到“空间”。
2．2、通过图形的识和画，使学生的想象能力由“平面”引向“空间”
图形是交流空间想象的工具，而识图和画图是两个互逆过程，它们都要通过空间想象来完成.因此，丰富学生头脑中的空间表象和识图意识，是培养空间想象能力的一种重要手段。
在平面几何中，图形与实物形状是统一的，而立体几何所研究的对象是三维空间的图形，无法真实地画在一个二维平面上，只能画出它的直观图。
这就难免出现与原来的实物相比时发生“失真”现象，如正方形不“正”，直角不“直”等。
学生开始很难适应这种直观图的识和画，比如，不论你在黑板上画出什么样的空间四边形的直观图，他们总认为是平面四边形，而把辅助线总爱画成虚线。
为了突破这一难关，在学习立体几何的起始阶段，我们安排以下四个“梯级”来进行培养。
第一梯级:
运用实物、模型等进行直观教学，使学生在头脑中形成空间观念的整体形象。
第二梯级:
通过教师和学生绘制草图或示意图，使头脑中形成的空间观念和形象“具体化”。
第三梯级:
研究图形的组成元素及其性质，深人了解图形的内部结构和特性.第四梯级:
根据给定条件，运用画图工具作图，切实掌握空间形式的常用表达方法。
直观图的识与画是不可分割的，画得成功，识就容易.初始阶段的课堂教学中，无论是习题课还是概念课，老师必须在众目之下画出直观图，不要课前画好。
作图不仅要有立体感，还要多用“变式”图，目的在于培养学生的空间想象能力，为进一步学习立体几何和空间解析几何打下坚实的基础.
2．3、利用平面几何和立体几何的对比.使学生的逻辑思维能力由“平面”引向“空间”
例如：
表 1
在平面 在空间
一条直线把平面分成两个部分 一个平面把空间分成两个部分
两条直线不平行则一定相交 不平行的两条直线不一定相交
过一点只能引一条直线和已知直线垂直 过一点能引无数条直线和已知直线垂直
从一点发出的两条射线所组成的图形叫做角 从一条直线发出的两个半平面所组成的图形叫做二面角
通过以上对比可以发现，平面几何与立体几何息息相关，从二维平面进人三维空间时，几何图形的性质有“继承”也有“发展”。
所谓“继承”，就是在三维空间里仍保留二维平面里的几何元素（点和线）;所谓“发展”，就是在三维空间里增加了新的几何己素—平面.注意对比，使学生加深对“空间图形”的理解，有助于空间想象能力的形成。
3 空间想象能力与逻辑推理能力的培养
1空间想象能力的培养
想象是一种特殊的思维活动，是人脑在感性形象的基础上创造出新形象的心理过程。
在想象中，人脑中所出现的形象，并不是感知过的事物形象简单地重现，而是新事物形象的形成。
几何中的空间想象力是指对事物的形状、结构、大小、位置关系的想象力。
想象也是客观现实在人头脑中的一种反映。
因此，培养学生空间想象力首先要使学生学好有关空间的基础知识。
我们知道，一个建筑设计师能够想象设计出未曾建造过的建筑物，主要是由于建筑师不仅具有丰富的建筑物感性认识，而且还具有建筑物的理性知识。
所以学生学好有关空间形式的几何知识是提高学生空间想象力而具有理性认识的根本。
我们认为立体几何所研究的空间是人们生活在其中的空间。
就几何学的对象来说，立体几何里的空间是一维、二维、三维空间，即直线、平面、立体图形所反映的现实空间;就几何理论体系来说，立体几何的空间是指欧几里德的几何空间。
立体几何领域中还研究其它抽象空间或高于三维的空间，但当前还未列入立体几何的范围。
所以，立体几何中所谓空间想象力，是指人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创造的能力。
在立体几何教学中培养学生空间想象力、主要包括下面五个方面:
（1）对几何中直线、平面、空间的基本几何图形的形状、结构、性质、关系非常熟悉，能正确画图，能离开实物或图形在思维中识记，重现基本图形的形状和结构，并能分析图形的基本元素之间的度量关系和位置关系;
（2）能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系;（3）能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系;（4）有熟练的识图能力，即能从较复杂的图形中区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系;（5）能根据几何图形性质通过思考创造出合乎一定条件，性质的几何图形。
显然，上述几方面的能力都以观察、分析、认识图形性质的能力和画图能力为基础。
但是认识图形性质的能力和画图能力却不单纯是空间想象力。
它和一般能力，其它方面的几何能力以及使用画图工具的技巧都有关系。
因此，培养学生空间想象力也要考虑各方面的因素，互相配合，才能得到好的效果。
2逻辑推理能力的培养
立体几何的研究方法与平面几何的研究方法类似，即依据公理，运用逻辑推理方法，这就要求初学立体几何的学生要重视逻辑推理能力的培养，
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