届山东省重点中学联盟高三上学期期末数学试题.docx

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届山东省重点中学联盟高三上学期期末数学试题

2020-2021学年度第一学期期末学业水平检测

高三数学试题

本试卷6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置：

2.作答选择题时：

选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：

如需要改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上：

非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：

不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效：

3.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交.

一、单项选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

L若全集集合4={X€/?

1》+%—6之0},集合5=任£町心（1：

-1）<0},则（以4）「5=（）

4.《莱茵德纸草书》（R/而是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：

把93个

而包分给5个人,

使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则

最小的一份为（

6.已知函数/（X）的部分图象如下所示，则“X）可能为（）

A.若/J_a,alip,则/_L/7

B.若///a,////?

则a/"

C.若/_La,aVp,贝

D.若〃/a,a10,则/_L夕

8.某种芯片的良品率X服从正态分布N（0.95,0.012）,公司对科技改造团队的奖励方案如下：

若芯片的良品率不超过95%,不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%,每张芯片奖励100元：

若芯片的良品率超过96%,每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（）元

A.52.28B.65.87C.50.13D.131.74

附：

随机变量§服从正态分布N（〃,b2）,则夕（〃一bv《v〃+b）=0.6826,

-2bv4v〃+2cr）=0.9544,P（〃-3bv4v〃+3b）=0.9974.

二、多项选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。

分.

9已知向量“7=1,I«1=1,a-b=y/3,设。

，坂所成的角为6,贝ij（）

A.IS1=2B.a_L（B-a）Call%D.6=60°

10.定义在H上的函数满足：

x为整数时，/（x）=2021：

工不为整数时，f“）=0,则（）

A.7（x）是奇函数B.7（工）是偶函数

C.Vxe/?

/（/（x））=2021D.的最小正周期为1

D.

11.已知函数/（x）=sin（8+°）（其中〃>0,0<夕<乃）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为3,2

B.将函数y=f（x）的图象向右平移三个单位后得到函数y=sinlx的图象

6

C.当/（x）有且只有一个零点

E./（X）在0,-上单调递增6

12.在三棱柱ABC—A4G中，AA3c是边长为2#的等边三角形，侧棱长为4“，贝ij（）

A.直线4。

与直线84之间距离的最大值为3

B.若A在底面ABC上的投影恰为MBC的中心，则直线AA与底面所成角为60。

C.若三棱柱的侧棱垂直于底而，则异而直线A3与AC所成的角为30。

D.若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64乃

三、填空题：

本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.已知i是虚数单位，复数z=」-+i,贝电|=二/-I11

14.若二项（l+2x）”（〃eN*）的展开式中所有项的系数和为243,则该二项式展开式中含有/项的系数为.

15.设函数f（x）=e'（x+1）的图象在点（0,1）处的切线为y=ar+b,若方程——4=〃?

有两个不等实根，则实数小的取值范围是.

16.如图所示，在平面直角坐标系中，。

0,-工，L（-3,0）,圆。

过坐标原点。

，圆L与圆。

外切.

则

（1）圆L的半径等于：

（2）已知过点L和抛物线炉=2外（〃>0）焦点的直线与抛物线交于4,B,且赤♦赤=-3,则p=-

四、解答题：

本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①4s“=+2a”,②％=2,=2S”这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.

已知正项数列｛〃”｝的前〃项和为S“，.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若数列色｝满足log也=。

勺一1,且c“=〃也，求数列仁｝的前〃项和32

注：

如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

18.在如图所示的平面图形中，AB=2,BC=6ZABC=ZAEC=-,4七与8c交于点F,若

ZC4E=6>,时底

AT

（2）求竺取最大值时。

的值.

AF

19.如图，在直角梯形A8E。

中，BEHAD,DEA.AD,BCLAD,AB=4,8E=2jJ.将矩形

BED。

沿8c翻折，使得平面平面8cOE.

D

（1）若BC=BE,证明：

平面AB。

_L平而ACE：

（2）当三棱锥A—BCE的体积最大时，求平面AOE与平而4BC所成的锐二而角的余弦值.

20.魔方（Rubik'sCube）,又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克

（Rubik而）教授于1974年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为3x3x3的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.

（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y（秒）与训练天数x（天）有关，经统冲得到如下数据：

X（天）

1

2

3

4

5

6

7

y（秒）

99

99

45

32

30

24

21

现用v=〃+2作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训X

练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒（精确到1）?

7

Z-1

Z

7

（-1

184.5

0.37

0.55

参考公式：

对于一组数据（成,匕），（〃”,匕），其回归直线f=a+/〃的斜率和截距的最小二乘

Vw.v.-miv

II

估计公式分别为：

8==、，&=万一血7.

£?

:

-疝

/-I

（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表而.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90。

，记顶而白色色块的个数为X,求X的分布列及数学期望£（X）.

队2e2

21.已知函数f（x）=---“x（lnx—1）-彳的图象在x=l处的切线斜率等于1.其中e=2.718...为自然

对数的底数，a,bwR.

（1）若〃=0,当时，证明：

/（x）＜♦—J-：

（2）若证明：

/（x）有两个极值点*,工2（*＜马），在（%,占）上恰有一个零点，且再々＞焉.

22.已知。

为坐标原点，椭圆C:

二十二=1（。

＞人＞0）的离心率e=卫，点尸在椭圆C上，椭圆。

的

幻lr2

左右焦点分别为"，尸2，夕写的中点为。

，△。

耳。

周长等于JJ+f.

（1）求椭圆C的标准方程：

2

（2）W为双曲线。

：

），2一亍=1上的一个点，由W向抛物线上：

％2=4丁做切线/14,切点分别为A3.

（/）证明：

直线A3与圆/+）,2=i相切：

（ii）若直线A8与椭圆C相交于M,N两点，求AOA/N外接圆面积的最大值.

2020-2021学年度第一学期期末学业水平检测

高三数学参考答案

一、选择题

5-8：

CDAB

1-4：

BCDA

二、多项选择题

9.ABD

三、填空题

10.BCD

11.ACD

12.AD

13.

14.80

15.（OJ）

16.

（1）x/5；

（2）2

四、解答题

17.解：

（1）选①时，当〃=1时，+因为〃]＞（）,所以0=2,由4S〃=片+2为，①

可得4sg=。

向2+2。

向，②

②一①得，4az=aL\~+2an+i-2aH，

整理得4二一另一2a“.「2%=0,所以（q+i+qJ（q,+i--2）=o

因为＞o,所以-=2,

所以数列｛凡｝是首项为2,公差为2的等差数列,

所以4n=2〃：

选②时，

因为〃0川=2s〃①

所以当〃22时，（〃一l）a〃=2S“_]②

①一②得：

〃“e=5+1）勺，即也■=%〃

①中，令〃=1,得出=2%=4,"=2适合上式

〜anICtn?

4〃〃一1〃一232.八

所以当〃N2时，册=7-.上——±二4x—xl=2〃

4.14-2册-3a2a\〃一1〃一2〃-321

又〃=1,a1=2=2x1

所以对任意〃eN*,*=2〃

（2）因为氏心=%-1即log»“=〃—l325

1、"1

所以“=-，

（]

于是%=ah=2〃x_,

所以Mlt=：

-11*+'卜

18.W：

（1）由题知在AA5C中，由余弦定理知:

AC2=AB2+BC2-2AB-BC・cos8

所以AC=1,且NAC8=?

2

在AACE中，因为E=三，ZC4E=<9,所以NACE=B—666

ApAC（、

由正弦定理知：

———=—>所以4E=2sin-

sinZACEsinE\6

AC1

在用A4CF中，AF=—=—cos6cos6

44E

（2）由

（1）知：

——AF

<5]（兀

=2cosC-sin———0,0e0,一

所以=2cos6,si』千一6）=cos>6+V^sin6cos0

1+cos2^+>/3sin201.13八万=一+sin2gd—

因为夕J0,-,所以26+巳£

3）

7t

当26+三=£时，即夕=巳时，sin26+巳取最大值1

所以，匹取最大值时，。

=上AF6

19.

（1）证明：

连接30,因BC=5七

因为平面平而3CDE,平而ABCf）平面3CQE=8C,ACLBC

所以ACJL平面5CDE因为Mu平面8CDE,所以ACJ.3O因为ACnCE=C，所以8。

，平面ACE

因为即u平面A8O,所以平面A3D_L平面ACE

（2）解：

在AA3C中，设AC=x,BC=V16-x2（0

当且仅当/=16-/,即工=2四时，三角形A8C而积有最大值为4

因为平面ABC,平面5CDE,平而A8CH平面8CDE=8C,BELBC

BEu平面3CQE,所以3石，平而ABC

Ig

所以匕dC£=%-A8C=-S^ABC*BE<——

所以，当x=2应时，三棱锥A—BCE体积的最大值为这3

因为BE//CD,所以CQJ_平面ABC.

以。

为坐标原点，以C4,CB,CO所在

直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

则C（0,0,0）,A仅JI0,0）

Q（0,0,26£（0,2立2事）

所以而=（—2jI（）,2jJ）,

函0,2"0）,

平面ABC的法向量）=（0,0,26），

-2后+2折=0

2应y=0

—.•AD=0

设平面AD石的法向量〃2=（x,fz），〈_，所以

・DE=0

■.

取'=&,则y=0,Z=>/2,即a=（6，°，&），

「匚]—*—knA-n22a/6VFo

，所以COS<〃],〃）>=三"=-==>=,

-〃1426•邪5

故平而ADE与平面48c所成的税二面角的余弦值为~.

184.5-7x0.37x50_55

635055

B=j

木；-79/-I

所以〃=下一反=50-100x0.37=13,

因此y关于x的回归方程为：

y=13+—x

所以最终每天魔方还原的平均速度），约为13秒

（2）由题知：

X的取值为3,4,6,9

p（x=3）=_A_

6x6

所以X的分布列为

X

3

4

6

9

P

1.

9

2

9

5

9

9

所以E（X）=3x，+4x2+6x2+9x，=K

99999

21.解：

（1）由题知:

ff（x）=bx-a\nx

所以/'

（1）=。

=1,所以b=l

），r2

若。

=0,则/（x）=—^―，由/'（x）v—-得，>/，即证，一/>022

设g（x）=ex-x2,因为g'（x）=ex-2Mx>。

）

设in（x）=g'（x）=ex-2x,则〃，（x）=，-2>0

因此〃7（x）在（e,+s）上单调递增,所以加（k）>m（e）>0

因此g（x）在（e,+s）上单调递增，所以g（x）>g（e）>0

■亡一，一

所以靖>/，即

2

（2）令〃（x）=ff（x）=x-a\nx9ROn\x）=1--=-——（x>0）XX

所以，当xe（0,。

）时，//（x）<0：

当x£（〃,+qo）时，〃'（x）>0

所以r（x）在（om）上单调递减，在（。

小8）上单调递增：

所以/'（x）Nf\a）=a-a\na

由于。

>e,所以a-alna=〃（l-lna）<0

又因为/'（l）=l>0，f（e）=e-a<0,f\ea）=ea-a2>0所以r（x）有且仅有两个零点,设为斗々a1

所以当X£（O/J时，f（x）>0；/（x）在（0，x）上单调递增；当X£（X，.q）时，PM<0；/（x）在（*,公）上单调递减；当工£（12，+8）时，f\x）>0;/（X）在（々,+8）上单调递增；又因为/（e）=。

所以/（X）有且仅有两个极值点V%）且在（*，々）上恰有一个零点X。

=e

因为X]=alnX],x2=aInx2=>xl-x2=rt（ln^1-lnx2）；%+x2=a（lnX]+lnx2）；

所以ln*+”=土土&=lnM+mx,=（土土土]（也再—Inx,）=土一In土

In^-lnx,-（七一七）'|A-ijW

V

令/=_Le（O,l）,%

14"D

则”（f）=r=-一二>0.所以h[t）在（0,1）上单调递增，所以h（t）

t。

+1）-t（t+\y

即Inx{x2>2,x]x2>e2=x：

22.解：

（1）设山段=2c,因为0为PF1的中点

所以△（"卫周长|£O|+IOQI+|2G|=c+M?

fCl="+c

4+C=&+—

所以।L2

£=正

.a2

解得。

=褥，b=c=

2

所以，椭圆。

的标准方程为三十卫二=133

Y-X

（2）（z）由工2=4），得），=一，求导得）/=—,

2

/占*

同理：

。

:

y=^x——

一.24

设W（%，）'o），因为W为/1，，2的交点，所以与=土产，＞,（）=—

由题直线A3的斜率存在，设其方程为），=履+加，将y=辰+，”代入x2=4y得：

x2-4kx-4m=0

由韦达定理得，XI+v2=4k,x]x2=-4〃7,

所以x（）=2k,yQ=一机,

2

因为y：

=1，所以/=i+22

所以圆心。

到直线AB的距离d=）〃1=l=r

Jl+公

所以，直线A8与圆。

：

/+丁=1相切

X22V2

（ii）将y=-+〃?

与一+——=1

联立得：

（I+2k2）x2+4k/tvc+2m2-3=0

t、i，mz«-4km2/7/2一3

由韦达定理得，X|+M=7，=-——

-\+2k2-1+2K

因为。

疝oN=xAx2+h）\=xixi+（3+〃?

）（点2+"?

）=（1+攵2）x\x2+〃很（xj+x2）+m2

—,3m2_3公_3

所以OM・ON=：

一_=0,所以OM_LON

1+2K

又因为IMN1=yj\+k2|xj-x2|=Jl+yJ"1+X）2-4演/

所以i2《+阴”一2〃入3）=2川曲三1+2父2m2-1

方法一：

由（i）知：

方程V-4辰-4"?

=0的△=16（攵。

+〃?

）=16（〃/+6―1）＞0

且4M—3＞0

解得正＜机或〃？

＜—正二22

所以IMN1=播,2，〃（4〃，.31=——J——V_——1_-

2〃/一11I2/rr-lJl2"/一1）

令，=一?

一，所以0

IMN1=727（1+r）（2-r）=0

可以看出当，=■!

■时，即〃?

=亚时，IMNI有最大值，且最大值为注222

所以RTAOMN外接圆直径MN的长度最大值为—,2

所以△OWN外接圆面积的最大值等于—8

方法二:

由（i）知：

方程/一4辰-4"?

=0的△=16（%2+〃7）=16（〃/+〃?

-1）且4m2-3>0

»y/5+1

所以

22

所以IMN上收630v0（2，,+4.-3）二逑

2m2-12x（2/h2-1）2

等号当仅当2〃『=4〃/-3,即6=亚（m=一屿舍）

22

所以RTAOMN外接圆直径MN的长度最大值为—2

所以△OMN外接圆面积的最大值等于—8