届山东省重点中学联盟高三上学期期末数学试题.docx

1、届山东省重点中学联盟高三上学期期末数学试题2020-2021学年度第一学期期末学业水平检测高三数学试题本试卷6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置：2.作答选择题时：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需要改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上：非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案： 不准使用铅笔和涂改液.

2、不按以上要求作答无效：3.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.L若全集集合4 = X/?1+%6之0,集合5 =任町心（1：-1）0,0夕0)焦点的直线与抛物线交于4, B,且赤赤=-3,则 p=-四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在4s “ =+ 2a”, = 2 , = 2S”这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.已知正项数列”的前项和为S“，.（1）求数列4的通项公式；（2）若数列色满足log也=。勺一1,

3、且c“=也，求数列仁的前项和 3 2注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.18.在如图所示的平面图形中，AB = 2, BC = 6 ZABC = ZAEC = -, 4七与8c交于点F,若ZC4E = 6,时底AT（2）求竺取最大值时。的值.AF19.如图，在直角梯形 A8E。中，BE HAD, DE A. AD, BCLAD, AB = 4, 8E = 2jJ.将矩形BED。沿8c翻折，使得平面平面8cOE.D（1）若BC = BE,证明：平面AB。_L平而ACE：（2）当三棱锥A BCE的体积最大时，求平面AOE与平而4BC所成的锐二而角的余弦值.20.魔方（Rubik

4、s Cube）,又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克（Rubik 而）教授于1974年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界 的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为 3x3x3的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至 2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次 3.475 秒.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y （秒）与训练天数x（天）有 关，经统冲得到如

5、下数据：X （天）1234567y （秒）99994532302421现用v = + 2作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训 X练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒（精确到1） ?7Z-1Z7(-1184.50.370.55参考公式：对于一组数据（成,匕），（”,匕），其回归直线f = a + /的斜率和截距的最小二乘Vw.v. -mivI I估计公式分别为：8 =、 ，& =万一血7.?:-疝/-I（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表而.某人按规定将魔方随机扭动 两次，每次均顺时针转动90。，记顶而白色色块的个数为

6、X,求X的分布列及数学期望（X）.队2 e221.已知函数f（x） = -“x（lnx 1）-彳的图象在x = l处的切线斜率等于1.其中e = 2.718.为自然对数的底数，a,bwR.（1）若 =0,当时，证明：/（x）J-：（2）若证明：/（x）有两个极值点*,工2（*马），在（%,占）上恰有一个零点，且再焉.22.已知。为坐标原点，椭圆C:二十二= 1（。人0）的离心率e =卫，点尸在椭圆C上，椭圆。的幻 lr 2左右焦点分别为，尸2，夕写的中点为。，。耳。周长等于JJ+f.（1）求椭圆C的标准方程：2（2） W为双曲线。：），2 一亍=1上的一个点，由W向抛物线上：2=4丁做切线/1

7、4,切点分别为A3.（/）证明：直线A3与圆/ +）,2 = i相切：（ii）若直线A8与椭圆C相交于M,N两点，求AOA/N外接圆面积的最大值.2020-2021学年度第一学期期末学业水平检测高三数学参考答案一、选择题5-8： CDAB1-4： BCDA二、多项选择题9. ABD三、填空题10. BCD11. ACD12. AD13.14. 8015. (OJ)16. (1) x/5 ； (2) 2四、解答题17.解：（1）选时，当 =1时，+ 因为（）,所以0=2, 由4S =片+ 2为，可得4sg =。向2 + 2。向，一得，4az = aL + 2an+i - 2aH，整理得4二一另

8、一2a“.2%=0, 所以（q+i+q J（q,+i - 2）=o因为 o,所以-= 2 ,所以数列凡是首项为2,公差为2的等差数列,所以4n = 2 ：选时，因为0川=2s 所以当 2 2时，（一 l）a=2S“_一得：“e=5 + 1）勺，即也 = % 中，令 =1,得出=2%=4,=2适合上式an I Ctn ? 4 一 1 一2 3 2 .八所以当 N 2时，册=7- .上二 4 x xl = 24.1 4-2 册-3 a2 a 一 1 一2 -3 2 1又 =1, a1=2 = 2 x 1所以对任意eN*, * = 2(2)因为氏心=%-1即log“= l 3 2 51、1所以“=-

9、，(于是% = ah=2 x _ ,所以 Mlt=：-11*+卜18.W：（1）由题知在AA5C中，由余弦定理知:AC2 = AB2 + BC2 - 2AB - BC cos8所以AC=1,且NAC8 = ? 2在 AACE 中，因为E =三，ZC4E = 所以4E = 2sin -sin ZACE sinE 6AC 1在用A4CF 中，AF = cos 6 cos 64 4E(2)由(1)知： AF 6 + Vsin 6cos 01 + cos2 + /3sin20 1 .13八万 =一+ sin 2gd因为夕J 0,-,所以26 +巳3)7t当26 +三=时，即夕=巳时，sin 26 +巳

10、取最大值1所以，匹取最大值时，。=上 AF 619.(1)证明：连接30,因BC = 5七因为平面平而3CDE,平而ABCf)平面3CQE = 8C , ACLBC所以ACJL平面5CDE 因为Mu平面8CDE,所以ACJ.3O 因为ACnCE = C，所以8。，平面ACE因为即u平面A8O,所以平面A3D_L平面ACE(2)解：在AA3C 中，设AC = x, BC = V16-x2(0x4),当且仅当/ = 16-/,即工=2四时，三角形A8C而积有最大值为4因为平面ABC,平面5CDE,平而A8CH平面8CDE = 8C, BELBCBEu平面3CQE,所以3石，平而ABCI g所以匕d

11、C = %-A8C = -SABC * BE /2 ,即a =(6，&)，匚 *k nA - n2 2a/6 VFo，所以 COS = 三= -= = ,-14 26邪 5故平而ADE与平面48c所成的税二面角的余弦值为 .184.5-7x0.37x50 _ 55635 055B = j 木；-79 /-I所以=下一反= 50-100x0.37 = 13,因此y关于x的回归方程为：y = 13 + x所以最终每天魔方还原的平均速度)，约为13秒(2)由题知：X的取值为3,4,6,9p(x =3)= _A_6x6所以X的分布列为X3469P1.929599所以 E(X) = 3x，+ 4x2 +

12、 6x2 + 9x，= K9 9 9 9 921.解：(1)由题知:ff(x) = bx - anx所以/(1) =。= 1,所以b=l) ， r 2若。=0,则/(x) = ，由/(x)v-得，/，即证，一/0 2 2设 g(x) = ex - x2 ,因为 g(x) = ex - 2Mx 。)设 in(x) = g(x) = ex - 2x ,则，(x) =，- 2 0因此7(x)在(e,+s)上单调递增,所以加(k) m(e) 0因此g(x)在(e,+s)上单调递增，所以g(x) g(e) 0 亡一，一所以靖 /，即 2(2)令(x) = ff(x) = x - anx 9 ROnx)

13、= 1 - - = -(x0) X X所以，当xe(0,。)时，/(x)0所以r(x)在(om)上单调递减，在(。,小8)上单调递增：所以 / (x)N fa) = a-ana由于。e,所以a-alna = （l-lna）0，f（e） = e-a0 所以r（x）有且仅有两个零点,设为斗a1所以当X（O/J时，f（x） 0 ； /（x）在（0，x）上单调递增； 当X（X，.q）时，PM 0 ; /（X）在（,+8）上单调递增； 又因为/（e）=。所以/（X）有且仅有两个极值点V%）且在（*，）上恰有一个零点X。=e因为 X =alnX, x2 = a In x2 =xl -x2 =rt(ln1

14、-lnx2)； % +x2 =a(lnX +lnx2)；所以 ln*+” = 土土& = lnM + mx, = (土土土(也再Inx,) = 土一 In土In-lnx, - (七一七) | A-ij WV令/= _Le(O,l), %1 4 D则”(f) = r =-一二 0 .所以 ht)在(0,1)上单调递增，所以 h(t) 2, xx2 e2 = x：22.解：(1)设山段= 2c,因为0为PF1的中点所以(卫周长 |O| + IOQI+|2G| = c + M?fCl= + c4 + C = & + 所以 L 2 =正.a 2解得。=褥，b = c =2所以，椭圆。的标准方程为三十卫

15、二=1 3 3Y- X（2） （z ）由工2=4），得），= 一，求导得）/ = ,2/ 占 *同理：。:y = x一 . 2 4设W（%，）o），因为W为/1，2的交点，所以与=土产，,（）=由题直线A3的斜率存在，设其方程为），=履+加， 将 y =辰 +，”代入 x2 = 4y 得：x2 - 4kx - 4m = 0由韦达定理得，XI + v2 = 4k , xx2 = -47,所以 x()= 2k , yQ = 一机,2因为y：=1，所以/= i+22所以圆心。到直线AB的距离d = ) 1 =l = rJl + 公所以，直线A8与圆。：/ + 丁 = 1相切X2 2 V2(ii )将

16、 y =- + ?与一+ = 1联立得：(I + 2k2)x2+ 4k/tvc + 2m2 -3 = 0t、i，mz -4km 2/7/2 一3由韦达定理得，X|+M= 7，= - + 2k2 - 1 + 2K因为。疝oN =xAx2 + h) = xixi + (3 + ?)(点 2 + ?) = (1 + 攵2 )xx2 + 很(xj +x2) + m2 , 3m 2 _ 3公 _ 3所以OMON = ： 一_ = 0,所以OM_LON1+ 2K又因为I MN 1= yj + k2 |xj -x2| = Jl + y J1 +X)2 -4演/所以i2+阴”一2入3）= 2川曲三 1 + 2父 2m2 - 1方法一：由（i）知：方程V-4辰-4? = 0的 = 16（攵。+?）= 16（/+61）0且 4M30解得正 机或？正二 2 2所以 IMN 1=播,2，（4，.31 = JV _ 1_-2/一1 1I 2/rr-lJl 2/ 一 1）令，=一?一，所以0/2或者0， 0 y/5 + 1所以 m或m - 22所以IMN上收630 v 0（2，,+ 4.- 3）二逑2m2 -1 2x（2/h2-1） 2等号当仅当2=4/-3,即6=亚（m = 一屿舍）2 2所以RTAOMN外接圆直径MN的长度最大值为 2所以OMN外接圆面积的最大值等于 8