全国通用版新版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第4节 直线平面平行的判定及其性质学案.docx

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全国通用版新版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第4节直线平面平行的判定及其性质学案

第4节　直线、平面平行的判定及其性质

最新考纲　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.

知识梳理

1.直线与平面平行

（1）直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面

a⊄α，b⊂α，

a∥b⇒a∥α

性质定理

一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b

2.平面与平面平行

（1）平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β

性质定理

两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

α∥β，a⊂α⇒a∥β

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

[常用结论与微点提醒]

1.平行关系中的两个重要结论

（1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

（2）平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

2.线线、线面、面面平行间的转化

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（　　）

（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.（　　）

（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（　　）

（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（　　）

解析　

（1）若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故

（1）错误.

（2）若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故

（2）错误.

（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故（3）错误.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2.（必修2P61A组T1

（1）改编）下列命题中正确的是（　　）

A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

解析　根据线面平行的判定与性质定理知，选D.

答案　D

3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析　当m∥β时，可能α∥β，也可能α与β相交.

当α∥β时，由m⊂α可知，m∥β.

∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.

答案　B

4.（2018·长沙模拟）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A.m∥α，n∥α，则m∥nB.m∥n，m∥α，则n∥α

C.m⊥α，m⊥β，则α∥βD.α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

解析　A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n⊂α，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交于一条直线，D错.

答案　C

5.（必修2P56练习2改编）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.

解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

答案　平行

考点一　与线、面平行相关命题的判定

【例1】

（1）（2018·成都诊断）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：

①若α∥β，则m∥n；

②若α∥β，则m∥β；

③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；

④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.

其中真命题的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

（2）（2018·安庆模拟）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下面说法正确的是________（填序号）.

①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.

解析　

（1）①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；

②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；

③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；

④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l与n不一定相交，不能推出α⊥β，不正确.

（2）如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，

易得AM，CN交于点P，即MN⊂面APC，所以MN∥面APC是错误的.

对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC.

所以C1Q∥面APC是正确的.

对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的.

对于④，由①知MN⊂面APC，又MN⊂面MNQ，所以面MNQ∥面APC是错误的.

答案　

（1）B　

（2）②③

规律方法　1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.

2.

（1）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.

（2）特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.

【训练1】

（1）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（2）（2016·全国Ⅱ卷）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有________（填写所有正确命题的编号）.

解析　

（1）若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.

（2）当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.

答案　

（1）A　

（2）②③④

考点二　直线与平面平行的判定与性质（多维探究）

命题角度1　直线与平面平行的判定

【例2－1】（2016·全国Ⅲ卷）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.

（1）证明：

MN∥平面PAB；

（2）求四面体N－BCM的体积.

（1）证明　由已知得AM＝AD＝2.

如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.

又AD∥BC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.

因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

（2）解　因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，

所以N到平面ABCD的距离为PA.

如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.

由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM＝×4×＝2.所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝×S△BCM×＝.

命题角度2　直线与平面平行性质定理的应用

【例2－2】（2018·青岛质检）如图，五面体ABCDE，四边形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成角为30°，CE∥平面ADF.

（1）试确定F的位置；

（2）求三棱锥A－CDF的体积.

解　

（1）连接BE交AD于点O，连接OF，

∵CE∥平面ADF，CE⊂平面BEC，平面ADF∩平面BEC＝OF，

∴CE∥OF.

∵O是BE的中点，∴F是BC的中点.

（2）∵BC与平面ABD所成角为30°，BC＝AB＝1，

∴C到平面ABD的距离为h＝BC·sin30°＝.

∵AE＝2，

∴VA－CDF＝VF－ACD＝VB－ACD＝VC－ABD

＝×××1×2×＝.

规律方法　1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.

2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.

【训练2】（2017·江苏卷）如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：

（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC.

证明　

（1）在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.

∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.

（2）∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，

∴BC⊥平面ABD.

∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.

又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，

∴AD⊥平面ABC，

又因为AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.

考点三　面面平行的判定与性质（典例迁移）

【例3】（经典母题）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

证明　

（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.

（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，

∴A1G綉EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

又∵A1E∩EF＝E，

∴平面EFA1∥平面BCHG.

【迁移探究1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：

平面A1BD1∥平面AC1D.

证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴M是A1C的中点，连接MD，

∵D为BC的中点