《直线和平面垂直的判定和性质》优秀教案8.docx
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《直线和平面垂直的判定和性质》优秀教案8
直线、平面垂直的判定和性质
直线和平面垂直的判定和性质〔第2课时〕〔王吉勇〕
教学目标
〔一〕核心素养
〔1〕掌握直线和平面垂直的性质定理，并能应用它们灵活解题
〔2〕进一步掌握线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决的数学转化思想
〔二〕学习目标
〔1〕直线和平面垂直的性质定理
〔2〕点到平面的距离
〔3〕直线和平面的距离
〔三〕学习重点
〔1〕掌握直线和平面垂直的性质定理
〔2〕掌握点到平面的距离及一条直线和一个平面平行时这条直线和平面的距离的定义
〔四〕学习难点
线、面垂直定义的性质定理的证明中反证法的学习，应让学生明确，对于一些条件简单而结论复杂的命题，可考虑使用反证法
二、教学设计
〔一〕课前设计
1预习任务
〔1〕读一读：
阅读教材第70页到第75页，填空：
性质定理
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
⇒a∥b
2预习自测
1以下命题：
①假设一直线垂直于一个平面的一条斜线，那么该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；
②平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；
③假设平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，那么这两条直线互相垂直；
④假设两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，那么这两条直线在这个平面上的射影互相垂直
上述命题正确的选项是〔〕
A①②B②③C③④D②④
【解题过程】此题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用应用这两个定理时要特别注意“平面内〞这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的根本图形及其变式图形①直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；②平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；③根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；④根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，
【答案】D
2在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面的距离分别是，那么到的距离是〔〕
【解题过程】到的距离相当于以到三个面的距离为长宽高的长方体的体对角线长，应选
【答案】A
3如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线A1C和AC1的交点，E为棱BB1的中点，那么空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能是
【解题过程】依题意，注意到题中的空间四边形OEC1D1在平面CC1D1D、平面DD1A1A、平面ABCD上的正投影图形分别是选项B、C、D，应选A
【答案】A
二课堂设计
1知识回忆
〔1〕直线和平面垂直的定义：
一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直
〔2〕判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
⇒⊥α
〔3〕一个重要的结论：
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面
符号语言：
，求证：
2问题探究
探究一直线和平面垂直的性质定理
●活动①类比推理，导出直线和平面垂直的性质定理
同学们，通过初中的学习我们知道在同一个平面内，两条不同直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行那么通过类比推广到平面得到的结论：
“两条不同直线都垂直于一个平面，那么这两条直线平行〞是否是真命题呢？
答案是肯定的，而且生活中的实例很多如：
“教室中前面的交线均和地面垂直，并且都和地面平行〞等
【设计意图】通过类比推理，引导学生将平面内概念往空间拓展，并辨析正误
●活动②逐步引导，证明定理
提问：
写出条件和结论，并在黑板上画出图形如下：
：
b⊥α，a⊥α求证：
a∥b〔如以下图〕
【解题过程】a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比拟简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行
我们能否从另一个角度来证明，比方a、b不平行会有什么矛盾？
这就是我们提到过的反证法
老师：
你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？
学生：
否认结论→推出矛盾→肯定结论
老师：
第一步，我们做一个反面的假设，假定a、b不平行，现在应该要推出矛盾，从条件中的垂直关系，让我们想起例题1〔线线平行定理〕，在这个定理的条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线
●活动③层层推进，证明定理
证明：
假定a、b不平行
设，是经过点O与直线a平行的直线，
∵a∥，a⊥α，∴⊥α
经过同一点O的两条直线b、都垂直于平面α是不可能的
因此，a∥b
由此，我们得到：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行
师：
这就是直线和平面垂直的性质定理
【设计意图】通过定理的证明，加深对定理内涵与外延的理解，突破重点
探究二阐释距离，举一反三
●活动①互动交流，初步实践
学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：
从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离
那么如何定义直线到平面的距离呢？
为了弄清这个概念，先看下面这个例子
例1：
一条直线和一个平面α平行求证：
直线上各点到平面α的距离相等
【知识点】直线和平面距离的概念辨析
【解题过程】首先，我们应该明确，点到平面的距离定义，在直线上任意取两点A、B，并过这两点作平面α的垂线段，现在只要证明这两条垂线段长相等即可
证明：
过直线上任意两点A、B分别引平面α的垂线，垂足分别为
∵，∴〔直线与平面垂直的性质定理〕
设经过直线的平面为β，
∵∥α，∴∥
∴〔直线与平面平行的性质定理〕即直线上各点到平面的距离相等
【思路点拨】本例题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行直线的距离问题这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法，是解决立体几何问题时常常用到的方法
因此，我们得到直线和平面的距离的定义：
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离
【答案】见解题过程
●活动②稳固根底，检查反应
例2在空间，以下哪些命题是正确的〔〕
①平行于同一条直线的两条直线互相平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③平行于同一个平面的两条直线互相平行
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行
A仅②不正确B仅①、④正确
C仅①正确D四个命题都正确
【知识点】直线和平面垂直的概念辨析
【解题过程】①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线α⊥平面α，，，且，那么a⊥b，a⊥c，即平面α内两条相交直线b、c都垂直于同一条直线a，但b、c的位置关系并不是平行另外，b、c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面α外，此时与a的位置关系仍是垂直，但此时b、c的位置关系是异面
③如图，在正方体中，易知，，但，因此该命题是错误的
④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的
综上可知①、④正确，应选B
【思路点拨】此题要求的是两直线之间的关系，根据题中所给条件，利用线线平行、线面平行和线面垂直的性质，即可得出两直线之间的关系
【答案】B
例3如图，在正方体中，EF为异面直线与AC的公垂线，求证：
【知识点】性质定理，公垂线的概念
【解题过程】证明连结，由于，，∴
又，，∴①
∵，，∴
∵四边形为正方形，∴，，
∴，
而，∴
同理，，
∴②
由①②可知：
【思路点拨】证明，构造与EF、和的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用
【答案】见解题过程
例4如图，在△ABC中，∠B=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为N、M，求证：
MN⊥SC
【知识点】线面垂直，线线垂直
【解题过程】证明∵SA⊥面ABC，平面ABC，∴SA⊥BC
∵∠B=90°，即AB⊥BC，，∴BC⊥平面SAB
∵平面SAB∴BC⊥AN
又∵AN⊥SB，，∴AN⊥平面SBC
∵平面SBC，∴AN⊥SC，
又∵AM⊥SC，，∴SC⊥平面AMN
∵平面AMN∴SC⊥MN
另证：
由上面可证AN⊥平面SBC
∴MN为AM在平面SBC内的射影
∵AM⊥SC，∴MN⊥SC
【思路点拨】在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的此题假设改为下题，想想如何证：
SA⊥⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C为⊙O上任意一点〔C与A、B不重合〕过点A作SB的垂面交SB、SC于点M、N，求证：
AN⊥SC
【答案】见解题过程
活动③强化提升，灵活应用
例5如图，正方形ABCD边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD中点，求点B到平面GEF的距离
【知识点】距离，线面平行
【解题过程】证明连结BD、AC，EF和BD分别交AC于H、O，连GH，作OK⊥GH于K
∵ABCD为正方形，E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF∥BD，H为AO中点
∵BD∥EF，平面GFE，∴BD∥平面GFE
∴BD与平面GFE的距离就是O点到平面EFG的距离
∵BD⊥AC，∴EF⊥AC
∵GC⊥面ABCD，∴GC⊥EF
∵，∴EF⊥平面GCH
∵平面GCH，∴EF⊥OK
又∵OK⊥GH，，∴OK⊥平面GEF
即OK长就是点B到平面GEF的距离
∵正方形边长为4，CG=2，
∴，，
在Rt△HCG中，
在Rt△GCH中，
【思路点拨】求点到平面的距离常用三种方法：
一是直接法由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长用此法的关键在于准确找到垂足位置如此题可用以下证法：
延长CB交FE的延长线于M，连结GM，作B是两条不同的直线，m垂直于平面α，那么“⊥m〞是“∥α〞的〔〕
A充分而不必要条件B必要而不充分条件
C充分必要条件D既不充分也不必要条件
【知识点】空间直线和平面、直线和直线的位置关系
【解题过程】假设，因为垂直于平面，那么或；假设，又垂直于平面，那么，所以“〞是“的必要不充分条件，应选B
【思路点拨】此题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题复原到长方体中研究
【答案】B
3设是空间三条直线，、是空间两个平面，那么以下命题中，命题不成立的是〔〕
A当时，假设，那么∥
B当，假设，那么∥
C当，且是在内的射影时，假设，那么
D当，且时，假设∥，那么∥
【知识点】空间中的线面关系
【解题过程】当时，假设，那么由平面与平行的判定定理知∥，故A正确；当，假设，由直线与平面垂直的判定定理知∥；当时，且c是a在α内的射影时，假设，那么由三垂线定理知，故C正确；当，且事，假设∥，那么b与c平行或异面，故D错误
【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解
【答案】D
4如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，那么C1在底面ABC上的射影H必在〔〕
上
上
上
D△ABC内部
解析：
【知识点】直线和平面垂直的概念辨析
【解题过程】由BC1⊥AC，又BA⊥AC，那么AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上
【思路点拨】由题意结合线面垂直的判定可得平面⊥平面，再由线面垂直的性质可得在底面的射影H的位置
【答案】A
5垂直平行四边形所在平面，假设，平行那么四边形一定是
【知识点】空间中的线面关系
【解题过程】根据题意，画出图形如图∵
能力型师生共研
－ABC，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SD∶DA＝SE∶EB＝CF∶FS＝2∶1，假设仍用这个容器盛水，那么最多可盛原来水的______倍
【知识点】空间中的线面关系
【解题过程】设点F到平面SDE的距离为h1，点C到平面SAB的距离为h2，当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多
＝
＝
＝
·
·
＝
×
×
＝
故最多可盛原来水的1－
＝
【思路点拨】由实际情况可以得到，当DEF面与地面平行时盛水最多，由图了利用相似比求得
，从而求得最大值
【答案】
探究型多维突破
11如果平面与外一条直线都垂直，那么
：
直线，，求证：
【知识点】空间中的线面关系
【解题过程】证明：
1如图，假设与相交，那么由、确定平面，设
2如图，假设与不相交，
那么在上任取一点，过作，、确定平面，设
【思路点拨】假设证线面平行，只须设法在平面内找到一条直线，使得，由线面平行判定定理得证
【答案】见解题过程
自助餐
12如下图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝12021E，F，G分别为AC，DC，AD的中点
1求证：
EF⊥平面BCG；
2求三棱锥DBCG的体积
附：
锥体的体积公式V＝
Sh，其中S为底面面积，h为高
【知识点】空间中的线面关系
【解题过程】1证明：
由得△ABC≌△DBC，
因此AC＝的中点，所以CG⊥AD，
同理BG⊥∩CG＝G，所以AD⊥平面BGC
又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG
2在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于点O
由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC
又G为AD的中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半
在△AOB中，AO＝AB·in60°＝
，所以
VDBCG＝VGBCD＝
·S△DBC·h＝
×
·BD·BC·in12021
＝
【思路点拨】1利用等腰三角形的三线合一性质是突破点；2利用比例转化体积的标准之一是方便求高
【答案】〔1〕见解题过程；〔2〕
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