《直线和平面垂直的判定和性质》优秀教案8.docx

1、直线和平面垂直的判定和性质优秀教案8 直线、平面垂直的判定和性质直线和平面垂直的判定和性质第2课时王吉勇教学目标一核心素养1掌握直线和平面垂直的性质定理，并能应用它们灵活解题2进一步掌握线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决的数学转化思想二学习目标1直线和平面垂直的性质定理2点到平面的距离3直线和平面的距离三学习重点1掌握直线和平面垂直的性质定理2掌握点到平面的距离及一条直线和一个平面平行时这条直线和平面的距离的定义四学习难点线、面垂直定义的性质定理的证明中反证法的学习，应让学生明确，对于一些条件简单而结论复杂的命题，可考虑使用反证法二、教学设计一课前设计1预习任务1读一读：阅读教材第70页

2、到第75页，填空：性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab2预习自测1以下命题：假设一直线垂直于一个平面的一条斜线，那么该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；假设平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，那么这两条直线互相垂直；假设两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，那么这两条直线在这个平面上的射影互相垂直上述命题正确的选项是 A B C D【解题过程】此题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用应用这两个定理时要特别注意“平面内这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的根本图形及其变式图形直线

3、不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，【答案】D2在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面的距离分别是，那么到的距离是 【解题过程】到的距离相当于以到三个面的距离为长宽高的长方体的体对角线长，应选【答案】A3如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线A1C和AC1的交点，E为棱BB1的中点，那么空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能是 【解题过程】

4、依题意，注意到题中的空间四边形OEC1D1在平面CC1D1D、平面DD1A1A、平面ABCD上的正投影图形分别是选项B、C、D，应选A【答案】A二课堂设计1知识回忆1直线和平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直2判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直3一个重要的结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面符号语言：，求证：2问题探究探究一 直线和平面垂直的性质定理活动 类比推理，导出直线和平面垂直的性质定理同学们，通过初中的学习我们知道在同一个平面

5、内，两条不同直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行那么通过类比推广到平面得到的结论：“两条不同直线都垂直于一个平面，那么这两条直线平行是否是真命题呢？答案是肯定的，而且生活中的实例很多如：“教室中前面的交线均和地面垂直，并且都和地面平行等【设计意图】通过类比推理，引导学生将平面内概念往空间拓展，并辨析正误活动 逐步引导，证明定理提问：写出条件和结论，并在黑板上画出图形如下：b，a求证：ab如以下图【解题过程】a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比拟简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行我们能否从

6、另一个角度来证明，比方a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法老师：你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？学生：否认结论推出矛盾肯定结论老师：第一步，我们做一个反面的假设，假定a、b不平行，现在应该要推出矛盾，从条件中的垂直关系，让我们想起例题1线线平行定理，在这个定理的条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线活动 层层推进，证明定理证明：假定a、b不平行设，是经过点O与直线a平行的直线，a，a，经过同一点O的两条直线b、都垂直于平面是不可能的因此，ab由此，我们得到：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行师：这就是直线和平面垂直的性质定理【设计意图】

7、通过定理的证明，加深对定理内涵与外延的理解，突破重点探究二 阐释距离，举一反三活动 互动交流，初步实践学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离那么如何定义直线到平面的距离呢？为了弄清这个概念，先看下面这个例子例1 ：一条直线和一个平面平行求证：直线上各点到平面的距离相等【知识点】直线和平面距离的概念辨析【解题过程】首先，我们应该明确，点到平面的距离定义，在直线上任意取两点A、B，并过这两点作平面的垂线段，现在只要证明这两条垂线段长相等即可证明：过直线上任意两点A、B分别引平面的垂线，

8、垂足分别为，直线与平面垂直的性质定理设经过直线的平面为，直线与平面平行的性质定理即直线上各点到平面的距离相等【思路点拨】本例题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行直线的距离问题这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法，是解决立体几何问题时常常用到的方法因此，我们得到直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离【答案】见解题过程活动 稳固根底，检查反应例2 在空间，以下哪些命题是正确的 平行于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一个平面的两条直线互相平行垂

9、直于同一个平面的两条直线互相平行A仅不正确 B仅、正确C仅正确 D四个命题都正确【知识点】直线和平面垂直的概念辨析【解题过程】该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；如图，直线平面，且，那么ab，ac，即平面内两条相交直线b、c都垂直于同一条直线a，但b、c的位置关系并不是平行另外，b、c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面外，此时与a的位置关系仍是垂直，但此时b、c的位置关系是异面如图，在正方体中，易知，但，因此该命题是错误的该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的综上可知、正确，应选B【思路点拨】此题要求的是两直线之间的关系，根据题中所给条件，利用线线平行、线面

10、平行和线面垂直的性质，即可得出两直线之间的关系【答案】B例3如图，在正方体中，EF为异面直线与AC的公垂线，求证：【知识点】性质定理，公垂线的概念【解题过程】证明 连结，由于，又，四边形为正方形，而，同理，由可知：【思路点拨】证明，构造与EF、和的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用【答案】见解题过程例4 如图，在ABC中，B=90，SA平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为N、M，求证：MNSC【知识点】线面垂直，线线垂直【解题过程】证明 SA面ABC，平面ABC，SABCB=90，即ABBC，BC平面SAB平面SABBCAN又ANSB，AN平面SBC平面SBC，ANSC，又AMSC，

11、SC平面AMN平面AMNSCMN另证：由上面可证AN平面SBCMN为AM在平面SBC内的射影AMSC，MNSC【思路点拨】在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的此题假设改为下题，想想如何证：SAO所在平面，AB为O的直径，C为O上任意一点C与A、B不重合过点A作SB的垂面交SB、SC于点M、N，求证：ANSC【答案】见解题过程活动 强化提升，灵活应用例5 如图，正方形ABCD边长为4，CG平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD中点，求点B到平面GEF的距离【知识点】距离，线面

12、平行【解题过程】证明 连结BD、AC，EF和BD分别交AC于H、O，连GH，作OKGH于KABCD为正方形，E、F分别为AB、AD的中点，EFBD，H为AO中点BDEF，平面GFE，BD平面GFEBD与平面GFE的距离就是O点到平面EFG的距离BDAC，EFACGC面ABCD，GCEF，EF平面GCH平面GCH，EFOK又OKGH，OK平面GEF即OK长就是点B到平面GEF的距离正方形边长为4，CG=2，在RtHCG中，在RtGCH中，【思路点拨】求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长用此法的关键在于准确找到垂足位置如此题可用以下证法：延长CB交FE的延

13、长线于M，连结GM，作B 是两条不同的直线，m垂直于平面，那么“m是“的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】空间直线和平面、直线和直线的位置关系【解题过程】假设，因为垂直于平面，那么或；假设，又垂直于平面，那么，所以“ 是“ 的必要不充分条件，应选B【思路点拨】此题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题复原到长方体中研究【答案】B3设是空间三条直线，、是空间

14、两个平面，那么以下命题中，命题不成立的是 A当时，假设，那么B当，假设，那么C当，且是在内的射影时，假设，那么D当，且时，假设，那么【知识点】空间中的线面关系【解题过程】当时，假设，那么由平面与平行的判定定理知，故A正确；当，假设，由直线与平面垂直的判定定理知；当时，且c是a在内的射影时，假设，那么由三垂线定理知，故C正确；当，且事，假设，那么b与c平行或异面，故D错误【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【答案】D4如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，那么C1在底面ABC上的射影H必在 上上上DABC内部解析：【知识点】直线和平面垂直的概念辨析【解题

15、过程】由BC1AC，又BAAC，那么AC平面ABC1，因此平面ABC平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上【思路点拨】由题意结合线面垂直的判定可得平面平面，再由线面垂直的性质可得在底面的射影H的位置【答案】A5垂直平行四边形所在平面，假设，平行那么四边形一定是 【知识点】空间中的线面关系【解题过程】根据题意，画出图形如图能力型 师生共研ABC，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且SDDASEEBCFFS21，假设仍用这个容器盛水，那么最多可盛原来水的_倍【知识点】空间中的线面关系【解题过程】设点F到平面SDE的距离为h1，点C到平面SAB的距离为h2，当平面EFD处于

16、水平位置时，容器盛水最多故最多可盛原来水的1【思路点拨】由实际情况可以得到，当DEF面与地面平行时盛水最多，由图了利用相似比求得，从而求得最大值【答案】探究型 多维突破11如果平面与外一条直线都垂直，那么：直线，求证：【知识点】空间中的线面关系【解题过程】证明：1如图，假设与相交，那么由、确定平面，设2如图，假设与不相交，那么在上任取一点，过作，、确定平面，设【思路点拨】假设证线面平行，只须设法在平面内找到一条直线，使得，由线面平行判定定理得证【答案】见解题过程自助餐12如下图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC12021E，F，G分别为AC，DC，AD的中点1求证

17、：EF平面BCG；2求三棱锥D BCG的体积附：锥体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高【知识点】空间中的线面关系【解题过程】1证明：由得ABCDBC，因此AC的中点，所以CGAD，同理BGCGG，所以AD平面BGC又EFAD，所以EF平面BCG2在平面ABC内，作AOCB，交CB延长线于点O由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC又G为AD的中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AOABin 60，所以VDBCGVGBCDSDBChBDBCin 12021【思路点拨】1利用等腰三角形的三线合一性质是突破点；2利用比例转化体积的标准之一是方便求高【答案】1见解题过程；2