小学数奥思维训练 整除.docx
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小学数奥思维训练整除
小学数奥思维训练整除
一、引例老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数，回校后发现有两个数字已看不清了。
你能帮助补上这两个数字吗？
（□13.7□元，□中为看不清的数字）。
二、基础知识1、整除的定义：
当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作ba.2、数的整除的特征：
（1）1与0的特性：
1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.
（2）奇数，偶数偶数都是2的倍数，表示为2k（k为整数），其末尾数字为0、2、4、6、8；奇数是被2除余1的数，表示为2k+1（k为整数），其末尾数字为1、3、5、7、9。
（3）末尾数字为0的整数必被10整除，表示为10k（k为整数）（4）末尾数字为0或5的整数必被5整除，表示为5k（k为整数）（5）末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除，能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，…96；能被25整除的整数，末两位数只可能是00，25，50，75。
（6）末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必被8（125）整除，能被8整除的整数，末三位数只可能是000，008，016，…，992；能被125整除的整数，末三位数只可能是000，125，250，375，500，625，750，875。
（7）各个数位上数字之和能被3或9整除的整数必能被3或9整除，实际上，一个整数被3或9除所得余数就是这个整数各个数位上数字之和被3或9除所得余数。
（8）一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果是11的倍数，则这个数也能被11整除。
实际上，一个整数被11除所得的余数，即是这个整数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差被11除所得的余数。
（9）一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
3、整除的几条性质：
（1）自反性：
a|a
（2）对称性：
a|b,b|a,则a=b（3）传递性：
若a|b,b|c,则a|c（4）若a|b,a|c,则a|（5）若a|b,m≠0,则am|bm（6）若am|bm,m≠0,则a|b（7）若a|b,c|b,=1,则ac|b三、例题选讲例1：
（1）判断47382能否被3或9整除？
（2）判断42559，7295871能否被11整除？
解：
（1）4+7+3+8+2=243|24，924∴3|47382，947382
（2）（9+5+4）―（5+2）=18―7=11∴11|42559（1+8+9+7）―（7+5+2）=25―14=11∴11|7295871启示：
判断一个整数能否被另一个整数整除，充分考虑整除的特征，这样有利于我们去判断。
例2：
求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。
分析：
由于要求被9整除，可只考虑数字和，又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为9的倍数。
解：
一个以5为首位数的六位数5―――――，要想使它最小，只可能是501234（各位数字均不相同）。
但是501234的数字和5+0+1+2+3+4=15，并不是9的倍数，故只能将末位数字改为7，这时，5+0+1+2+3+7=18是9的倍数，故501237是9的倍数。
即501237是以5为首位，且是9的倍数的最小六位数。
例3：
引例分析：
首先将□13.7□元化成分，这样总钱数就是□137□（整数分）。
由于每本书价格相同，所以72|□137□。
但72=8×9，所以8和9都应整除□137□。
解：
72=8×9，□13.7□元=□137□分∴8|□137□，9|□137□由于8整除□137□，所以8|37□由此可知，当37□=376时才有8|376，故原数为□1376。
又由于9整除□1376，所以其数字和□+1+3+7+6，必是9的倍数。
即9|（□+17），而□只能是1到9中的某个数，所以□只能且1。
因此，原数为11376分，即113.76元。
启示：
此处用到了整除的一条重要性质：
如果a|b,c|b,且a、c没有除1以外的公共约数（即a,c互质），那么bc|a,这里72=8×9，（8，9）=1，因为8|□137□，9|□137□，所以72|□137□，因此同理可得能被6整除的数要求能同时被2、3整除，因为6=2×3，（2，3）=1，能被12整除的数要求能同时被3，4整除，因为12=3×4，（3，4）=1。
例4：
四位数能被2，3，5整除，这样的四位数有几个？
分别是多少？
解：
要使能同时被2，3，5整除，则b为零；又要使能被3整除，a必须满足各位数字的和7+2+0+a能被3整除，又知a只能取0至9这十个数字，所以a只可取0，3，6，9。
故满足条件的四位数有4个，即7020，7320，7620，7920。
启示：
在做有关整除的题目时，应充分考虑一些常见整数的整除特征。
例5：
三个数的和是555，这三个数分别能被3，5，7整除，而且商都相同，求这三个数。
分析：
因为所求三数分别被3，5，7整除，而且商相同，此时这三数可分别设为3m,5m,7m，这样就可利用条件三个数的和是555。
解：
根据题意，设所求三数分别为3m,5m,7m.∴3m+5m+7m=555∴15m=555∴m=37∴3m=3×37=1115m=5×37=1857m=7×37=259∴所求三数分别为111，185，259。
例6：
在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别被3，4，5整除，且使这个数尽可能的小。
解：
不妨设补上三个数字后的六位数为。
由于这个六位数分别被3，4，5整除，故它应满足如下三个条件：
（1）数字和（5+6+8+a+b+c）是3的倍数；
（2）末两位数字组成的两位数是4的倍数；（3）末位c为0或5。
由于4|，故c不能是5，而只能是0，且b只可能是2，4，6，8，0。
又因为3|（5+6+8+a+b+c）即3|（5+6+8+a+b+0），所以当b=2时，3|（5+6+8+a+2）,a可为0，3，6，9当b=4时，3|（5+6+8+a+4）a可为1，4，7当b=6时，3|（5+6+8+a+6）,a可为2，5，8当b=8时，3|（5+6+8+a+8），a可为0，3，6，9当b=0时，3|（5+6+8+a+0），a可为2，5，8要使六位数尽可能小，则a应取0，b应取2，c应取0。
故被3，4，5整除的最小六位数应为568020。
例7：
试证明由同一数字组成的三位数都是37的倍数。
证明：
设这三位数为则=a×100+a×10+a×1=100a+10a+a=111a∵37|111,∴37|111a∴37|启示：
此题关键在于如何表示三位数，可类似：
245=2×100+4×10+5，故=100a+10a+a例8：
已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和8两种，问A最小是几？
分析：
因为15|A，而15=5×3，（5，3）=1所以5|A，3|A故A的末位数字只能是零，从而打开解题的缺口。
解：
当A为两位数时，A只能为80，88，而5|A，所以88不合题意，又3|A，故80不合题意。
当A为三位数时，因为5|A，故A的末位是0，A只可能为880，800，而3|A，故880，800均不符合题意。
当A为四位数时，因5|A，故末位数字为0，又首位数字只能为8，则A=，因为3|A，所以3|（8+a+b）当a,b中一个为8，一个为0时，3A；当a,b均为8时，3|（8+a+b），故a=b=8,此时A=8880符合题意。
故A=8880例9：
已知四位数的个位与千位数字之和为10，个位数字既是偶数又是质数，百位数字与十位数字组成的两位数是个质数，又知这个四位数能被36整除，求所有满足条件的四位数中的最大者。
解：
因为个位数字既是偶数又是质数，所以个位数字为2，又个位与千位数字之和为10，故千位数字为8。
故设这个四位数为∵36=4×9，（4，9）=1∴4|，9|∴9|（8+a+b+2）即9|∴4|∴b=9,7,5,3,1当a=9时，因9|（10+a+b）∴b=8，不符合4|当a=8时，因9|（10+a+b）∴b=9，符合4|∴这个四位数为8892启示：
寻找满足题意的数，应充分利用数的整除的特征及整除的性质。
例10：
求能被26整除的六位数□1993□解：
由于26=2×13，所以所求六位数□1993□应分别被2和13整除，被2整除的数个位只能是0，2，4，6，8；所求六位数被13整除，必有□19与93□的差（93□-□19）是13的倍数。
（1）当原数个位数字为0时，930=71×13+7，故□19，也应满足被13除余7。
□|9=100×□+13+6=7×13×□+9×□+13+6=13（7×□+1）+9×□+6即9×□+6=13k+7∴9×□-1应是13的倍数，故□只能是3，即六位数为319930。
（2）当原数个位数字为2时，932=71×13+9，故□|9也应满足被13除余9由于□|9=（7×□+1）×13+9×□+6∴9×□+6=13k+9，故9×□-3的倍数，□只能是9，即六位数为919932。
（3）当原数个位数字为4时，934=71×13+11，故□|9也应被13除余11。
由于□|9=（7×□+1）×13+9×□+6∴9×□+6=13k+11，即9×□-5应是13的倍数，故□只能是2，即六位数为219934。
（4）当原数个位数字为6时，936=72×13，所以□|9也应被13整除。
由于□|9=（7×□+1）×13+9×□+6∴9×□+6=13k，9×□-7+13=13k，故9×□-7应是13的倍数，□只能是8，即六位数为819936。
（5）当原数个位数字为8时，938=72×13+2，故□|9也应被13除余2。
由于□|9=（7×□+1）×13+9×□+6∴9×□+6=13k+2，即9×□+4应是13的倍数，□只能是1，即六位数为119938。
综合以上情况，满足条件的六位数有：
319930，919932，219934，819936，119938，共五个。
例11：
个位数字为6，且能被3整除的五位数共有多少个？
分析：
此题如果把个位数字为6且被3整除的五位数找出来实属不易，因此应想简便方法求解，由此想到被3整除的数的特征是其各数位数字之和能被3整除，因此将其转化为各位数字之和除以3的倍数有多少个。
解：
设所求五位数为∵3|∴3|（a+b+c+d+6）∴3|（a+b+c+d）∴3|故所求的五位数只需求被3整除的四位数有多少个即可又1～1000能被3整除的数有333个1～10000能被3整除的数有3333个故1000～10000能被3整除的数有3333-333=3000（个）∴所求符合题意的数有3000个。
启示：
两次运用被3整除的数的特征，先将3|转化为3|（a+b+c+d+6）,得3|（a+b+c+d），然后再将其转化为3|。
四、练习1、各位数字为7，并能被63整除的最小自然数是几？
2、使得能被72整除的最大五位数是几？
3、能被11整除，首位数字是4，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？
5、个位数字为9，且能被3整除的四位数有多少个？
6、把一个三位数的百位和个位上的数字互换，得到一个新的三位数，新、旧两个三位数都能被4整除。
这样的三位数共有多少个？
7、小马虎买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字不全，只能认出：
□11.4□元（□表示不明数字）。
你能帮助小马虎找出不明数字吗？
8、从0，3，5，7四个数字中任选三个数，排成同时能被2，3，5整除的三位数，这样的三位数共有几个？
9、将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字编排成三个三位数（九个数字全都用上；每个数字用一次且只用一次），要求每个三位数都能被36整除，是否能够办到？
如果能办到，请你编出这样的三个三位数；如果办不到，请你说明理由。
五、参考答案1、∵63=7×9，（7，9）=1，所以要使一个整数能被63整除，只要此数同时能被7，9整除即可，又∵这个数中各位数字都是7，所以只要它能被9整除即可。
∴该数为7777777772、∵72=8×9，（8，9）=1所以要使能被72整除，只要同时能被8，9整除即可。
先使能被8整除，则b=1，5，9现在要寻找最大的五位数，还要满足9|（a+1+4+b+6）当b=1时，a=6当b=5时，a=2当b=9时，a=7根据数的大小比较原则，此五位数为714963、要使首位数字是4，且被11整除，这样的最大六位数，还要满足其余各位数字均不相同，所以，只能先猜想是498765，然后，再考虑能被11整除，这时，只需调整个位数字，就能找到满足条件的最大六位数498762，同理，可求出最小六位数为401236。
4、能对于较大的数，采用试验的方法，不难发现：
7|331331，即两个331连续被7整除。
∵100个连续的331是7的整数倍，∴7|5、300个（解答可参考例11）6、当十位数字是1，3，5，7，9时，个位和百位数字可以是2或6，共有5×22=20（个）；当十位数字为0，2，4，6，8时，个位与百位数字可以是4或8，也有20个，所以共40个。
7、811.44（解答可参考例3）8、所求的三位数要符合两个条件：
①这个三位数的各数位上的数字只能在规定的0，3，5，7四个数字中选；②这个三位数能同时被2，3，5整除，因此解答本题的思想方法是先确定被2，5同时整除的三位数，再在此基础上确定被3整除的三位数，能同时被2，5整除的三位数的个位数字为0，还得使十位上的数字与百位上的数字之和为3的倍数，这样的三位数才能被3整除，在剩下的3，5，7中，只有5+7和7+5是3的倍数，所以570和750两个数为所求。
9、一个数要能被36整除，它必须同时能被4和9整除。
一个能被4整除的整数，它的未两位数也应能被4整除，特别是它的最后一位数必须是偶数，在1—9中，只有2，4，6，8是偶数，当4和8中的一个被用来作末位数，它的十位数也必须是偶数，如果4与8同时用来作末位数，它们的前面又各自用去了一个偶数，即2与6，那么第三个数的末位不可能是偶数，因而不能被4整除，因此，如果要想编出三个都能被36整除的三位数来，它的三个末三位数必须是2，6，4与8这四个数中的一个。
当4或8被用来作末位数时，要保证末二位数能被4整除，还必须十位数上是个偶数。
由于2，6都已经被用来作末位数，所以十位数上只有是8或4，或又能被9整除，所以a=6，而6正用过，因此，不可能编出三个三位数都能被36整除。
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