高考数学总复习第30直线与圆训练练习试题.docx

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高考数学总复习第30直线与圆训练练习试题

第30　直线与圆

[题型分析·高考展望]　直线与圆是解析几何的基础，在高考中，除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查.单独考查时，一般为选择题、填空题，难度不大，属低中档题.直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点.

体验高考

1.（2018·广东）平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是（　　）

A.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0

B.2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0

C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0

D.2x－y＋＝0或2x－y－＝0

答案　A

解析　设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，

依题意有＝，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.

2.（2018·课标全国Ⅱ）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，－7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于（　　）

A.2B.8C.4D.10

答案　C

解析　由已知，得＝（3，－1），＝（－3，－9），则·＝3×（－3）＋（－1）×（－9）＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝25，令x＝0得（y＋2）2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.

3.（2018·山东）一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A.－或－B.－或－C.－或－D.－或－

答案　D

解析　由已知，得点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，

则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），

即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，

则有d＝＝1，

解得k＝－或k＝－，故选D.

4.（2018·上海）已知平行直线l1：

2x＋y－1＝0，l2：

2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离为______.

答案　

解析　d＝＝.

5.（2018·课标全国丙）已知直线l：

mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.

答案　4

解析　设AB的中点为M，由题意知，

圆的半径R＝2，|AB|＝2，

所以|OM|＝3，解得m＝－，

由

解得A（－3，），B（0，2），

则AC的直线方程为y－＝－（x＋3），

BD的直线方程为y－2＝－x，

令y＝0，解得C（－2，0），D（2，0），

所以|CD|＝4.

高考必会题型

题型一　直线方程的求法与应用

例1　

（1）若点P（1，1）为圆（x－3）2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（　　）

A.2x＋y－3＝0B.x－2y＋1＝0

C.x＋2y－3＝0D.2x－y－1＝0

答案　D

解析　由题意知圆心C（3，0），kCP＝－.

由kCP·kMN＝－1，得kMN＝2，

所以弦MN所在直线的方程是2x－y－1＝0.

（2）已知△ABC的顶点A（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程.

解　设B（4y1－10，y1），

由AB中点在6x＋10y－59＝0上，

可得：

6·＋10·－59＝0，y1＝5，

∴B（10，5）.

设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′（x′，y′），

则有⇒A′（1，7），

∵点A′（1，7），B（10，5）在直线BC上，∴＝，

故BC边所在直线的方程是2x＋9y－65＝0.

点评　

（1）两条直线平行与垂直的判定

①若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1；

②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.

（2）求直线方程的常用方法

①直接法：

直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；

②待定系数法：

先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.

变式训练1　已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.

（1）求直线l的方程；

（2）求直线l关于原点O对称的直线方程.

解　

（1）由解得

所以点P的坐标是（－2，2），又因为直线x－2y－1＝0，

即y＝x－的斜率为k′＝，

由直线l与x－2y－1＝0垂直可得kl＝－＝－2，

故直线l的方程为：

y－2＝－2（x＋2），即2x＋y＋2＝0.

（2）直线l的方程2x＋y＋2＝0在x轴、y轴上的截距分别是－1与－2，

则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，

所求直线方程为＋＝1，即2x＋y－2＝0.

题型二　圆的方程

例2　

（1）（2018·湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2.

①圆C的标准方程为________________.

②圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.

答案　①（x－1）2＋（y－）2＝2　②－－1

解析　①由题意，设圆心C（1，r）（r为圆C的半径），则r2＝2＋12＝2，解得r＝.

所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－）2＝2.

②方法一　令x＝0，得y＝±1，所以点B（0，＋1）.又点C（1，），所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－（＋1）＝x－0，即y＝x＋（＋1）.

令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.

方法二　令x＝0，得y＝±1，所以点B（0，＋1）.又点C（1，），设过点B的切线方程为y－（＋1）＝kx，即kx－y＋（＋1）＝0.由题意，得圆心C（1，）到直线kx－y＋（＋1）＝0的距离d＝＝r＝，解得k＝1.故切线方程为x－y＋（＋1）＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.

（2）已知圆C经过点A（2，－1），并且圆心在直线l1：

y＝－2x上，且该圆与直线l2：

y＝－x＋1相切.

①求圆C的方程；

②求以圆C内一点B为中点的弦所在直线l3的方程.

解　①设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，

则　解得

故圆C的方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝2.

②由①知圆心C的坐标为（1，－2），

则kCB＝＝－.

设直线l3的斜率为k3，由k3·kCB＝－1，可得k3＝2.

故直线l3的方程为y＋＝2（x－2），

即4x－2y－13＝0.

点评　求圆的方程的两种方法

（1）几何法：

通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.

（2）代数法：

用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

变式训练2　已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点.

（1）求线段AP中点的轨迹方程；

（2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.

解　

（1）设AP的中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x－2，2y）.

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以（2x－2）2＋（2y）2＝4，

故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.

（2）设PQ的中点为N（x，y），连接BN.

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

题型三　直线与圆的位置关系、弦长问题

例3　

（1）（2018·重庆）已知直线l：

x＋ay－1＝0（a∈R）是圆C：

x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于（　　）

A.2B.4C.6D.2

答案　C

解析　根据直线与圆的位置关系求解.

由于直线x＋ay－1＝0是圆C：

x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C（2，1）在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A（－4，－1）.

∴|AC|2＝36＋4＝40.

又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.

∴|AB|＝6.

（2）已知圆C：

x2＋y2－2x＋4y－4＝0.

①写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；

②是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB（O为坐标原点）.若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.

解　①圆C的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9，

则圆心C的坐标为（1，－2），半径为3.

②假设存在这样的直线m，

根据题意可设直线m：

y＝x＋b.

联立直线与圆的方程

得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0，

因为直线与圆相交，所以Δ>0，

即b2＋6b－9<0，

且满足x1＋x2＝－b－1，x1x2＝，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1＝x1＋b，y2＝x2＋b，

由OA⊥OB得·＝x1x2＋y1y2＝0，

所以x1x2＋（x1＋b）（x2＋b）＝2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，

即b2＋3b－4＝0得b＝－4或b＝1，

且均满足b2＋6b－9<0，

故所求的直线m存在，方程为y＝x－4或y＝x＋1.

点评　研究直线与圆位置关系的方法

（1）研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.

（2）与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.

变式训练3　已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点.

（1）求证：

△OAB的面积为定值；

（2）设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程.

（1）证明　∵圆C过原点O，且|OC|2＝t2＋.

∴圆C的方程是（x－t）2＋（y－）2＝t2＋，

令x＝0，得y1＝0，y2＝；

令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，

∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，

即△OAB的面积为定值.

（2）解　∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，

∴OC垂直平分线段MN.

∵kMN＝－2，∴kOC＝.

∴＝t，解得t＝2或t＝－2.

当t＝2时，圆心C的坐标为（2，1），|OC|＝，

此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，

圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点.

当t＝－2时，圆心C的坐标为（－2，－1），|OC|＝，

此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.

圆C与直线y＝－2x＋4不相交，

∴t＝－2不符合题意，舍去.

∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.

高考题型精练

1.已知x，y满足x＋2y－5＝0，则（x－1）2＋（y－1）2的最小值为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　（x－1）2＋（y－1）2表示点P（x，y）到点Q（1，1）的距离的平方.由已知可得点P在直线l：

x＋2y－5＝0上，

所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，

即d＝＝，

所以（x－1）2＋（y－1）2的最小值为d2＝.故选A.

2.“m＝3”是“直线l1：

2（m＋1）x＋（m－3）y＋7－5m＝0与直线l2：

（m－3）x＋2y－5＝0垂直”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由l1⊥l2得2（m＋1）（m－3）＋2（m－3）＝0，

∴m＝3或m＝－2.∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件.

3.若动点A，B分别在直线l1：

x＋y－7＝0和l2：

x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（　　）

A.3B.2C.3D.4

答案　A

解析　依题意知AB的中点M的集合是与直线l1：

x＋y－7＝0和l2：

x＋y－5＝0的距离都相等的直线，

则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，

设点M所在直线的方程为l：

x＋y＋m＝0，

根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：

x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.

4.（2018·山东）已知圆M：

x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：

（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置关系是（　　）

A.内切B.相交C.外切D.相离

答案　B

解析　∵圆M：

x2＋（y－a）2＝a2，

∴圆心坐标为M（0，a），半径r1＝a，

圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，

由几何知识得2＋（）2＝a2，解得a＝2.

∴M（0，2），r1＝2.

又圆N的圆心坐标N（1，1），半径r2＝1，

∴|MN|＝＝，

r1＋r2＝3，r1－r2＝1.

∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.

5.与圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－8x＋7＝0都相切的圆的圆心轨迹是（　　）

A.椭圆

B.椭圆和双曲线的一支

C.双曲线和一条直线（去掉几个点）

D.双曲线的一支和一条直线（去掉几个点）

答案　D

解析　设所求圆圆心为M（x，y），半径为r，

圆x2＋y2－8x＋7＝0⇒（x－4）2＋y2＝9，

圆心设为C（4，0），由题意得当动圆与两定圆外切时，

即|MO|＝r＋1，|MC|＝r＋3，从而|MC|－|MO|＝2<|OC|，

因此为双曲线的一支，当动圆与两定圆一个外切一个内切时，

必切于两定圆切点，即M必在x轴上，

但需去掉O，C及两定圆切点，因此选D.

6.（2018·课标全国Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　由点B（0，），C（2，），得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①

由点A（1，0），B（0，），得线段AB的垂直平分线方程为

y－＝，②

联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，

其到原点的距离为＝.故选B.

7.（2018·山东）在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆（x－5）2＋y2＝9相交”发生的概率为________.

答案　

解析　由已知得，圆心（5，0）到直线y＝kx的距离小于半径，∴<3，解得－

由几何概型得P＝＝.

8.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________.

答案　

解析　圆C的标准方程为（x－4）2＋y2＝1，圆心为（4，0）.

由题意知（4，0）到kx－y－2＝0的距离应不大于2，

即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.

故k的最大值是.

9.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有三个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的值为________.

答案　±13

解析　因为圆心到直线12x－5y＋c＝0的距离为，

所以由题意得＝1，c＝±13.

10.已知直线l过点（－2，0），当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是________________.

答案　（－，）

解析　因为已知直线过点（－2，0），

那么圆的方程x2＋y2＝2x配方为（x－1）2＋y2＝1，表示的是圆心为（1，0），半径为1的圆，

设过点（－2，0）的直线的斜率为k，

则直线方程为y＝k（x＋2），

则点到直线距离等于圆的半径1，

有d＝＝1，化简得8k2＝1，

所以k＝±，

然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候，

可知斜率的取值范围是（－，），

故答案为（－，）.

11.已知过点A（0，1），且方向向量为a＝（1，k）的直线l与圆C：

（x－2）2＋（y－3）2＝1相交于M，N两点.

（1）求实数k的取值范围；

（2）若O为坐标原点，且·＝12，求k的值.

解　

（1）∵直线l过点A（0，1）且方向向量为a＝（1，k），

∴直线l的方程为y＝kx＋1.

由＜1，

得＜k＜.

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

将y＝kx＋1代入方程（x－2）2＋（y－3）2＝1，

得（1＋k2）x2－4（1＋k）x＋7＝0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

∴·＝x1x2＋y1y2

＝（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1

＝＋8＝12，

∴＝4，解得k＝1.

12.已知圆M∶x2＋（y－2）2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点.

（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；

（2）求四边形QAMB面积的最小值；

（3）若|AB|＝，求直线MQ的方程.

解　

（1）设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，

则圆心M到切线的距离为1，

∴＝1，

∴m＝－或0，

∴切线QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.

（2）∵MA⊥AQ，

∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|

＝＝

≥＝.

∴四边形QAMB面积的最小值为.

（3）设AB与MQ交于点P，则MP⊥AB.

∵MB⊥BQ，

∴|MP|＝＝.

在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP|·|MQ|，

即1＝|MQ|，