等差数列等比数列知识点梳理.docx

1、等差数列等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项 的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：an an 1 d （d为公 差）（n2, nN* ）2、等差数列通项公anai （口 l）d ai为首项，d为公差 式：推导过程：叠加法 推广公式：3nam (nm)d变形推广：dann m3等差中项（1）如果Ab成等差数列，那么A叫做a与b的等差中估 口口 或 2Aa b(2)等差中数列an是等差数列2a n an-l an i(n 2) 2an 1 an an 24、等差数列的前n项和公式:dn2 (

2、ai idn An2 Bn22前N相和的推导：当m np q时侧有 am an ap aq , 特别地，当m n 2p时，则 右 3m 3n 23p o （丫王： 31 3n 32 3nl 33 3n 2 ,）当然扩充到3项、4项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相 等。5、等差数列的判定方法1）定义法：若an an id或aniand （常数nN） an是等差数列.2）等差中项：数列an是等差数列3 ）数列an是等差数列ankn b （其屮k, b是常数）。6、 等差数列的证明 方法定义法或者等差中项 an是等差数列.发7、 等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n和

3、公式中，涉及到5个元素：ai、d、n、an及Sn,其中ai、d称作为基本元素。只要已知这5个元 素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：1一般可设通项 anai （n 1） d2奇数个数成等差，可设为，a 2d,a d,a,a d,a 2d（公差为d）；3偶数个数成等差，可设为，a 3d,ad,ad,a 3d,（注意；公差为 2d ）8、等差数列的性质：（1）当公差dO时，等差数列的通项公式弘皿（n 1） d dn aid是关丁“n 的一次函数，且斜率为公差d；前n和Snnain nPdm2 （a） n是关于n2 2 2的二次函数且常数项为Oo(2)若公差dO,则为递增等

4、差数列，若公差dO,则为递减等差数 列，若公差d 0 ,则为常数列。(3 )当mnpq时，则有am an aP aq,特别地,当mn2p时,则有ama】2aP o (注：aiana2ama3an2 ,)当然扩充到3项、4项 都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。(4) an、bn为等差数列,则anb, ian2bn都为等差数列【新数列可以 化为一次函数的形式】(5)若an是等差数列，则Sn$2nSn, S3nS2n ,也成等差数列推导过 程：(6)数列阪为等差数列，每隔k (kN)项取出一项(amamMm 2k,am3k,)仍为等差数列推导过程：(8)等差数列心“中,若 Sm

5、Kl , Snm ,则 Smn才T 3n lTl.Hni Fl 9 3m n 0mn ( 1)(2)推导：SnAn2Bn解出A和B就可以推导出(1) (2)式直接用推广公式即可（9）求Sn的最值法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数, 故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN* o法二： 负项之和n值.（1） “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非aO即当aiO, dO,由“可得Sn达到最大值时的an 10（2）“首负的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和an 0 即当aiO, do,由n 可得Sn达到最小值时的n值.a】1 0或求an中正负分界项法三：

6、直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是 过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或 最小值）若Sp=Sq则其对称轴为n竽等比数列的相关公式和性质推广公式：an n nnm1、等比数列的定“qqn2, q为公比呎 义：2、通项公式： anaiqnl, ai为首项，q为公比n m anqn am3、 等比中项(1)如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项.即：Z ab或A ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它 们的等比中项有两个 (两个等比中项互为相反数)(2)数列an是等比数列 an2 an 1 an 14、 等比数列的前n项和Sn公

7、式：(1)当 q 1 时，Snnai(2)rqm Sn al 1 qn al anqiqiqal al qn A A Bn A A ( A, B, A 为常数)iqiq推导过程:5、等比数列的判定方法1)用定义：对任意的，都有an 1 qan或：q (q为常数，anO) an为 等比数列(2)等比中项：a2 aniani (amamO) an为等比数列(3)通项公式：an A B ABO an为等比数列(4)前n项和公式：SnA A Bn或SnABn A 为常数 an为等比数列6、等比数列的证明方法依据定义：若an q q 0 n 2,且n N*或aniqanan为等比数列-m7、 等比数列相

8、关技巧：(1)等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：ai、q、n、an及Sn,其中ai、q称作为基本元素。只要已知这5个元 素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：anaiqnl如奇数个数成等比，可设为峯,一皆aaq,aq2(公比为q,中间项用a 表不)；qq注意隐含条件公比q的正负8、 等比数列的性质：(1)当ql时等比数列通项公式anaiqn i q A B A B 0是关于n的带有系数的 类指数函数，底数为公比q 前 n 项和 Sn 1 al aiq al al qn A A BnA A系数nlqlqlqlq和常数项

9、是互为相反数的类指数函数，底数为公比q (2)对任何m,nN*, 在等比数列an中，有anamqnm,特别的，当m二1时/更得到等比数列的通项 公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若 m n s t (m, n,s,t N*)，则 an am as at。特别的，当 m n 2k 时，得2an am ak 列an,bn为等比数列，则数列k ,kan,ank,kanbn- (k为非零 曲 常数)均为等比数列。【可以化为anABnABO an为等比数列】数列an为等比数列，每隔k(kN *)项取出一项(am,am k,am 2k,am 3k,)仍为 等比数列如果呵是各项均为正数的等比数列，则数列log a an是等差数列若为等比数列,则数列Sn, S2n Sn , S3n S2n,成等比数列 若an为等比数列，则数列aia2 an,an I an 2 a2n, a2n1 a2n2 a3n 成等比数列备注：和(7)本质上是一样的。当Ovql时,(9)当ql时,f 1 0,则 an 为递 ral 0,则 an为递增数列 lal减数列当)q测时就濾为删常数列(此时数列也为舞则5为递 差数列)减数列， 增数列当qvO时,该数列为摆动数列。(11)若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm