山东省济南市莱芜凤城高中届高三下学期第一次阶段性测试数学试题word版含答案.docx

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山东省济南市莱芜凤城高中届高三下学期第一次阶段性测试数学试题word版含答案

凤城高中高三线上学习第一次检测

数学试题

6.

在《九章算术》中，将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”。

现有一“阳马”，从5个顶点中任取3个顶点构成一个三角形，则该三角形为直角三角形的概

率为（）

一、单项选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项3749

中，只有一项是符合题目要求的.A.B.C.D.

510510

1．若集合A={-2，-1,0,1,2}，B={xx2>1}，则A⋂B=（）

7.

O为∆ABC内一点，满足OA+2OB+3OC=0，则S∆ABC与S∆AOC的比值为（）

A．{0}B．{2}

C．{-2，2}D．{xx<-1或x>1}

3

A.2B.

2

4

C.3D.

3

2．已知复数z满足3-z=1-i

A．2B．

（i为虚数单位），则复数z的模为（）

C．5D．

8.已知四棱锥P-ABCD的体积是36

，底面ABCD是正方形，∆PAB是等边三角形，平面

PAB⊥平面ABCD，则四棱锥P-ABCD外接球体积为（）

3．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?

意思是：

有一根竹

A．2821πB．

9911π

2

C．637π

2

D．1083π

子原高一丈（一丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（）

二、多项选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

A．2.55尺B．4.55尺C．5.55尺D．6.55尺

0.8

4．三个数70.8,0.87，log7的大小关系为（）

9.若双曲线C的一个焦点

F（5,0）

，且渐近线方程为

y=±4x

3

，则下列结论正确的是（）

A．log7<0.87<70.8

B．log7<70.8<0.87

A．C的方程为x

9

-y2=

16

5

B．C的离心率为4

0.8

C．0.87<70.8

D．70.8<0.87

C．焦点到渐近线的距离为3D．实轴长为6

5．函数f

（x）=2x-4sinx

2x+2-x

0.8

的图象大致是（）

10.已知圆C1

:

x2+y2=r2，圆C

:

（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）交于不同的A（x,y），

B（x2,y2）两点，下列结论正确的有（）

A．a（x-x

）+b（y-y

）=0

B．2ax

+

2by

=a2+b2

数学试题第1页（共5页）

1212

C．x1+x2=a

11

D．y1+y2=2b

数学试题第2页（共5页）

11.关于函数f（x）=cosx+cosx，下列结论正确的是（）

四、解答题：

本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

⎛

A．函数f（x）为周期函数B．函数f（x）在区间ç0,

⎝

π⎫

⎪内单调递减

2⎭

17.（本小题满分10分）在①△ABC面积S

补充在下面问题中，求AC．

∆ABC

=2，②∠ADC=π这两个条件中任选一个，

6

C．函数f（x）在区间[0,π]上有4个零点D．函数f（x）的最小值0

12.对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m,n]⊆D，同时满足下列条件：

①f（x）在

[m,n]上是单调的；②当定义域是[m,n]时，f（x）的值域也是[m,n]，则称[m,n]为该函数的

“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（）

如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=3π,∠BAC=∠DAC，，CD=2AB=4，求AC．

4

注：

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18.（本小题满分12分）己知数列{an}，{bn}满足：

A．f（x）=x3

B．f（x）=3-2

x

C．f（x）=ex-1

D．f（x）=lnx+2

a+1=2a

+n,b

=a+n,b

=2．

三、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.

n+1

nnn1

13.若数列{a}是公差不为0的等差数列，lna、lna、lna成等差数列，则2的值为．

（1）证明：

数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项；

n

⎛1⎫6

125

1

（2）求数列{an}的前n项和Sn．

14.在ç2x2-⎪

⎝⎭

的展开式中，常数项是（用数字作答）．

15．已知椭圆M:

xy

=1（a>b>0），双曲线N:

x2y2

22

=1（m>0,n>0）．若双曲线N

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，

abmn

PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且

PF=1．

的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M

的离心率为；双曲线N的离心率为．

（1）求证：

CD⊥平面PAD；

（2）求二面角F–AE–P的余弦值；

PC3

16．三角函数f（x）=sin⎛ωx+π⎫（ω>0），若f（x）在[0,2π]上恰有3个极值点，则ω的取值

PG2

ç

⎝

范围为.

⎪

4⎭

数学试题第3页（共5页）

（3）设点G在PB上，且

PB

平面AEF内，说明理由．

=．判断直线AG是否在

3

数学试题第4页（共5页）

20.（本小题满分12分）已知抛物线C：

x2=−2py经过点（2，−1）．

（1）求抛物线C的方程及其准线方程；

（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线

y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：

以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=1x3-x2+x．

4

（1）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；

（2）当x∈[-2,4]时，求证：

x-6≤f（x）≤x；

（3）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2,4]上的最大值为M（a）．当M（a）

最小时，求a的值．

22.（本小题满分12分）某厂家为了推广价值50元的新产品，特设立了免费摸球活动。

规则是：

一个袋子中装有10个球，标有5元和10元的球各5个，摸奖者从袋中一次性摸出两个球，记下金额，然后放回，接着摸，共摸6次。

当6次之和为60元、70元、110元、120元时，可得相

应金额；若得其他金额，则必须购买一件新产品。

（1）设摸完一次金额为X，求X的分布列；

（2）求6次结束后中奖的概率；厂家能否达到以最低成本推广新产品的目的？

（结果保留两位小数）

凤城高中2017级高三线上学习第一次检测

数学答案

所以B正确；C.y=ex

⎧em-1=m

-1时单调递增函数,若存在区间m,n，m

⎩en-1=n

一、单项选择题：

1.C2.D3.B4.A5.A6.D7.C8.A

二、多项选择题：

9.AD10.ABC11.ABD12.ABD

ex=x+1有两个不等实数根，但y=ex与y=x+1相切于点（0,1），没有两个不等实数根，所以不正确，C不正确；

10【解析】根据两圆的方程相减，求得公共弦所在直线的方程，代入点A,B的坐标，结合圆的

D.y=lnx+2是单调递增函数,定义域是（0,+∞）

，若存在区间[m,n]，m

性质，即可求解，得到答案.

由题意，由圆C2的方程可化为C2

:

x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0

⎧lnm+2=m

⎩

⎨lnn+2=n

，即lnx+2=x有两个不等实数根，转化为lnx=x-2

即y=lnx与

y=x-2

两圆的方程相减可得直线AB的方程为：

2ax+2by-a2-b2=0，即2ax+2by=a2+b2，

有两个不同的交点，满足条件，所以D正确.故选ABD.

分别把A（x,y），B（x,y

）两点代入可得：

2ax+2by=a2+b2,2ax+2by

=a2+b2

1122

1122

三、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分

两式相减可得2a（x1-x2）+2b（y1-y2）=0，即a（x1-x2）+b（y1-y2）=0，

13.314.6015．

⎛913⎤

216.,

所以选项A、B是正确的；

-1ç

⎝8

8⎥⎦

由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1+x2=a,y1+y2=b，

四、解答题：

本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

所以选项C是正确的，选项D是不正确的.故选：

ABC.

12【解析】A.y=x3是单调递增函数,若存在区间[m,n]，m

⎧m3=m

使⎨

⎩n3

，解得m=-1,0，

n=0,1，所以存在区间[-1,0],[-1,1],[0,1]

满足②，所以A正确，是“和谐区间”；

B.f（x）=3-2在（-∞,0）和（0,+∞）都是单调递增函数，所以设

x

⎧2

⎪3-=m

m

2

，解得m=1,n=2

，所以存在区间[1,2]满足条件，1

⎪3-=n

⎩⎪n

0），P（0，0，2）．

因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）．

所以AE=（0,1,1）,

PC=（2,2,-2）,

AP=（0,0,2）．

1

⎛222⎫

⎛224⎫

所以PF=PC=

3

,-⎪,

AF=AP+PF=ç

,⎪.

⎝333⎭⎝333⎭

设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则

⎧n⋅

⎧y+z=0,

⎪AE=0,⎪

⎨

n⋅

即⎨2x+2y+4z=0.

⎩⎪AF=0,

⎪⎩333

令z=1，则y=-1,x=-1．

于是n=（-1,-1,1）．

n⋅p

又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以cos〈n,p〉==-.

|n‖p|3

19.解：

（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．

又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．………………………4分

由题知，二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为

3

．…………………………8分

（2）过A作AD的垂线交BC于点M．

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．

（3）直线AG在平面AEF内．

PG=2

如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），D（0，2，

因为点G在PB上，且

PB

PB=（2,-1,-2），

3

2

⎛424⎫



⎛422⎫



=x1x2

+（n+1）2

所以PG=PB=,-,-,AG=AP+PG=,-

33333

⎪.

⎛x2⎫⎛x2⎫

⎝⎭⎝

由（Ⅱ）知，平面AEF的法向量n=（-1,-1,1）.

33⎭

ç-1⎪ç-2⎪

⎝4⎭⎝4⎭

422

所以⋅=-++=0

=16

+（n+1）2

AGn

.

333

x1x2

所以直线AG在平面AEF内.…………………………12分

20.解：

（1）由抛物线C:

x2=-2py经过点（2,-1），得p=2.

所以抛物线C的方程为x2=-4y，其准线方程为y=1.…………………………5分

=-4+（n+1）2.

令DA⋅DB=0，即-4+（n+1）2=0，则n=1或n=-3.

综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点（0,1）和（0,-3）.…………………………12分

（2）抛物线C的焦点为F（0,-1）.

设直线l的方程为y=kx-1（k≠0）.

21.解：

（1）由

f（x）=1x3-x2+x得

4

f'（x）=3x2-2x+1.

4

令f'（x）=1，即3x2-2x+1=1，得x=0或x=8.

⎧y=kx-1,

由⎨x2=-4y

得x2

+4kx-4=0.

43

又f（0）=0，f（）=，

327

设M（x1,y1）,N（x2,y2），则x1x2=-4.

所以曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程是y=x与y-8

=x-8，

直线OM的方程为y=y1x.

x1

即y=x与y=x-64.…………………………4分

27

273

令y=-1，得点A的横坐标x

=-x1.

（2）令g（x）=

1

f（x）-x,x∈[-2,4].

3

y1由g（x）=

x3-x2得g'（x）=

4

x2-2x.

4

同理得点B的横坐标B.y

x=-x2

2

令g'（x）=0得x=0或x=8.

3

g'（x）,g（x）的情况如下：

D（0,n）

⎛x1

⎫

⎛x2⎫

设点，则DA=ç-y

-1-n⎪,DB=ç-y

-1-n⎪，

xx

⎝1⎭⎝2⎭

DA⋅DB=

12+（n+1）2

y1y2

所以g（x）的最小值为-6，最大值为0.

故-6≤g（x）≤0，即x-6≤

f（x）≤x.…………………………8分

⎛2⎫52⎛2⎫4⎛5⎫2

P=C5+C4

…………………………8分

26ç9⎪96ç9⎪ç9⎪

（3）由

（2）知，

当a<-3时，M（a）≥F（0）=|g（0）-a|=-a>3；

当a>-3时，M（a）≥F（-2）=|g（-2）-a|=6+a>3；

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

k=2时，6次摸球中可能是1次（5，5），5次（10，10）或4次（10，10），2次（5，10）

当a=-3时，M（a）=3.

综上，当M（a）最小时，a=-3.…………………………12分

225

P=C1

369⎝9⎭

⎛5⎫2⎛2⎫4

+C2ç⎪ç⎪

⎝⎭⎝⎭

⎛2⎫6

22.解：

（1）x的可能取值为10，15，20

k=0时，6次摸球都为（10，10），P=ç⎪

⎝⎭

………………………………10分

C22⎡6524⎤

P（x=10）=5=……………………………………2分

⎛2⎫

12⎛2⎫2⎛5⎫⎛2⎫

C29

所以中奖的概率为P=P1+P2+P3+P4=2⎢ç⎪

+C6ç⎪+C6ç⎪ç⎪

⎥≈0.02

10

C1C15

⎢⎣⎝9⎭9⎝9⎭⎝9⎭⎝9⎭⎥⎦

P（x=15）=55=

109

所以6次结束后能中奖是小概率事件，几乎不可能发生，所以厂家能达到以最低成本推广新

产品的目的。

………………………………12分

P（x=20）=5=2

109

X的分布列为

X

10

15

20

P

2

9

5

9

2

9

…………………………………………4分

（2）摸6次，共摸12个球，设5元的有k个，则10元的有（12-k）个，则最后金额为

5k+10（12-k）=120-5k

…………………………………………6分

当120-5k=60，70，110，120时，k=12,10,2,0

⎛2⎫6

ç⎪

⎝⎭

k=10时，6次摸球中可能是5次（5，5），1次（10，10）或4次（5，5），2次（5，10）

数学试题第5页（共5页）