全国初中数学联合竞赛初三级组_精品文档.doc

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2014年全国初中数学联合竞赛（初三年级组）试题参考答案及评分标准

说明：

评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：

（本题满分42分，每小题7分）

1．已知为整数，且满足，则的可能的值有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答】C.

由已知等式得，显然均不为0，所以＝0或.

若，则.又为整数，可求得或所以或.

因此，的可能的值有3个.

2．已知非负实数满足，则的最大值为（）

A．B．C．D．

【答】A.

，

易知：

当，时，取得最大值.

3．在△中，，为的中点，于，交于，已知，，则＝（）

A．B．C．D．

【答】B.

因为，，所以四点共圆，所以，又，所以，所以.

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共5页）

又易知△∽△，所以，从而可得.

4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（）

A．B．C．D．

【答】B.

若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.

要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：

（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.

因此，所求概率为.

5．设表示不超过实数的最大整数，令.已知实数满足，则

（）

A．B．C．D．1

【答】D.

设，则，所以，因式分解得，所以.

由解得，显然，所以1.

6．在△中，，，，在上，在上，使得△为等腰直角三角形,,则的长为（）

A．　　　B．　　　C．　　　　D．

【答】A.

过作于，易知△≌△，△∽△.

设，则，，，，故，即.又，故可得.

故.

二、填空题：

（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数满足，，则____．

【答】0.

由题意知，所以

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共5页）

整理得，所以0.

2．使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为．

【答】144.

由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.

当时，由可得，可取唯一整数值127.

故满足条件的正整数的最大值为144.

3．已知为等腰△内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为△的内心，则．

【答】.

由题意可得，

而，

所以，

从而可得.

又，所以，从而.

所以，

，

所以.

4．已知正整数满足:

，，，则．

【答】36.

设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.

又，故，即.

注意到，所以或.

若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.

若，则，验算可知只有满足等式，此时，符合题意.

因此，所求的.

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共5页）

第二试（A）

一、（本题满分20分）设实数满足，，求的值．

解由已知条件可得，.

设，，则有，，……………………5分

联立解得或.……………………10分

若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；……………………15分

若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以

.……………………20分

二．（本题满分25分）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足,的延长线与△的外接圆交于点.证明：

．

证明由是平行四边形及已知条件知.

……………………5分

又A、B、F、D四点共圆，所以，所以△∽△，……………………15分

所以.……………………20分

又，所以△∽△，故

.……………………25分

三．（本题满分25分）设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质，哪些数不具有性质？

并说明理由.

解取，，可得，所以1具有性质.

取，，可得，所以5具有性质.…………………5分

为了一般地判断哪些数具有性质，记，则

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共5页）

＝

.

即①

……………………10分

不妨设，

如果，即，则有；

如果，即，则有；

如果，即，则有；

由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.

因此，1，5和2014都具有性质.……………………20分

若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质.……………………25分