北师大版高中数学必修二学案第一章 52 平行关系的性质.docx

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北师大版高中数学必修二学案第一章52平行关系的性质

5．2　平行关系的性质

学习目标

　1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．

知识点一　直线与平面平行的性质

思考1　如图，直线l∥平面α，直线a平面α，直线l与直线a一定平行吗？

为什么？

思考2　如图，直线a∥平面α，直线a平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？

直线a，b有什么位置关系？

梳理　性质定理

文字语言

如果一条直线与一个平面______，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的______与该直线________

符号语言

a∥α，________________⇒a∥b

图形语言

知识点二　平面与平面平行的性质

观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：

平面ABCD及平面A1B1C1D1.

思考1　平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？

思考2　若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则m∥n吗？

思考3　过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？

梳理　性质定理

文字语言

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线________

符号语言

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒________

图形语言

类型一　线面平行的性质定理的应用

例1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，

求证：

AP∥GH.

引申探究

如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD∩平面QEF＝GH.求证：

AB∥GH.

反思与感悟　线∥面

线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．

跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度等于________．

类型二　面面平行的性质定理的应用

例2　如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．

引申探究

若将本例改为：

点S在平面α，β之间（如图），其他条件不变，求CS的长．

反思与感悟　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

跟踪训练2　已知：

平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，如右图所示，求证：

＝

.

类型三　平行关系的综合应用

例3　设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：

MP∥平面β.

反思与感悟　线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：

跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.

例4　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？

如果能，求出截面的面积．

反思与感悟　在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面．

跟踪训练4　如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.

（1）求证：

l∥BC；

（2）MN与平面PAD是否平行？

试证明你的结论．

1．如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　）

A．EF与BC相交

B．EF∥BC

C．EF与BC异面

D．以上均有可能

2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（　　）