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数值分析作业答案

第2章插值法

1、当x=1,-1,2时，f（x）=0,-3,4,求f（x）的二次插值多项式

（1）用单项式基底。

2）用Lagrange插值基底。

3）用Newton基底。

证明三种方法得到的多项式是相同的。

解：

（1）用单项式基底

所以：

设多项式为：

P（x）=a。

aiX•a?

x，

111

1-11

124

a。

f（Xo）X。

f（X1）X!

f（X2）X2

-3

-1

-6

f（Xo）

f（X1）

f（X2）

—3

-11

f（X0）

1X。

a2—

f（X1）

1X1

f（X2）

1x2

—9

—62

-1

-3

-1

-66

lo（x）

（X1）（x-2）

（11）（1-2）

7352

所以f（X）的二次插值多项式为：

P（x）xx

326

（2）用Lagrange插值基底

（x-xj（x-X2）

（X0一X1）（X0-X2）

h（x）

（X-X°）（X-X2）

区—x°）（x1—X2）

（X-1）（x-2）

（-1-1）（-1-2）

l2（x）

（x—x°）（x—xj

（X2

-X°）（X2-xj

（x-1）（x1）

（2-1）（21）

Lagrange插值多项式为：

L2（X）二f（Xo）lo（X）f（x）i（x）f（X2）l2（X）

=0（-3）（x_1）（x-2）4（x-1）（x1）

5237

=—XX

623

735

所以f（x）的二次插值多项式为：

L2（x）二——•—x-x2

326

⑶用Newton基底：

均差表如下：

f（Xk）

一阶均差

二阶均差

-1

-3

3/2

7/3

5/6

Newton插值多项式为：

N2（x）=f（x°）f[x°,xj（x-x°）f[x°,人xKx-x°）（x-xj

=0（x-1）

（x-1）（x1）

=—XX-

•一

7352

所以f（x）的二次插值多项式为：

N2（x）Xx

326

由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。

6、在-4乞x岂4上给出f（x）=ex的等距节点函数表，若用二次插值求值，要使截断误差不超过IO'6，问使用函数表的步长解：

以Xi-1,Xi,Xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有

h应取多少?

ex的近似

R2（x）二

—f（）（x—x*）（x—Xi）（x—Xi1）,（Xi」，Xi1）3!

式中Xj丄二x「h,Xj彳=xh.

R2（x）=

6xi丄

142max（x—x*）（x—xj（x—人十）兰e-童童「+63

令eh3<10-得h_0.00658

9*3-

插值点个数

4—（—4）

11216.8乞1217

N-1

是奇数，故实际可采用的函数值表步长

4_（_4）8

h0.006579

N-11216

8、f（x）=X7X43x-1，求f[20,21,…，27]及f[2°,21,…，28]。

解：

由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：

f（n）（©

f[x°,X1,,Xn]，-;：

=[a,b]

（7）.

017f（）7!

所以有：

f[2,2，…,2]1

8f（8）（）0

f[2,2,*"丁廿0

15、证明两点三次Hermite插值余项是

R3（x）二f⑷（J（x—Xk）2（x—Xk1）2/4!

1三（Xk,Xk.1）并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。

证明：

利用[xk，Xk+1]上两点三次Hermite插值条件

H3（xQ二f（Xk）,H3（XkJ=f（XkJ

H3（Xk）二f（Xk）,H3（Xk1）=f（Xk1）

知R3（x）=f（x）-H3（X）有二重零点Xk和k+1。

设

Rs（x）=k（x）（x—Xk）（x—XkJ

确定函数k（x）:

当X

二Xk或Xk+1时k（x）取任何有限值均可;

-Xk,Xk1时，x，（Xk,x「），构造关于变量t的函数

g（t）

二f（t）—H3（t）-k（x）（x-Xk）（X-Xk1）

显然有

（4）

f（4）（x）XkmaXxl1（x—Xk）2（x—xk1）

而最值max（x-xk）2（x-xk1）2

xk爸兰+

224

=maxs（s-1）h

0兰•丄

=—h,（x=xk亠sh）

g（Xk）二0,g（x）=0,g（Xk.J=0g（xQ=0,gg*）=0

在［Xk,x］［x,Xk+i］上对g（x）使用Rolle定理，存在.•（x「x）及（x’x」）使得

g（i）=o,g

（2）=o

在（Xk，1）,（1,2）,（2，xk.）上对g（x）使用Rolle定理，存在ki•（Xk,1）,

k2*（1，2）和k3.（2，Xk1）使得

g（⑴=g（k2）=g'（k3）=0

再依次对g（t）和g'（t）使用Rolle定理，知至少存在-■（Xk,XkJ使得

g（4）（）=0

而g⑷（t）=f（4）（t）-k⑷（t）4!

，将•代入，得到

k（t）4宀八"1）

推导过程表明•依赖于Xk,Xk1及X

综合以上过程有：

R3（x）=f（4）（J（x—Xk）2（x—Xk.1）2/4!

确定误差限:

记Ih（x）为f（x）在［a,b］上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数

b—a

Xk二a■kh,（k二0,1…，n）,h二

在区间［Xk，Xk+1］上有

（4）社221

3（一x—k）（x-xk+）/4丄万丁嶷

进而得误差估计：

f（x）-lh（x）兰1h4maxf（4）（x）

384a童直

16、求一个次数不高于4次的多项式p（x），使它满足p（0）=p2）=0，

（1）=p

（1）=0，p

（2）=1。

（xo二O,X1=1）

H3（x）八[H3（Xj）aj（x）H3（Xj）1j（x）]

jzO

（x

设P（x）=H3（x）Ax2（x-1）2，令P

（2）=1得Au1

于是

23122122

P（x）=2x-x—x（x-1）=—x（x-3）

第3章曲线拟合的最小二乘法

16、观测物体的直线运动，得出以下数据:

「3

5「

时间t/s

0.9

1.9

3.0

3.9

5.0

距离s/m

110

求运动方程。

解:

经描图发现t和s近似服从线性规律。

故做线性模型s=abt^=spa门：

1,匕，计算离散内积有：

1,1=71=6，1,t='tj=0亠0.9T.9亠3.0亠3.9亠5.0=14.7

j=0j=0

2222222

t,t八t；00.91.93.03.95.0=53.63

j=0

1,s為Sj=010305080110=280

j=0

t,stjSj=000.9101.9303.0503.9805.0110=1078

j=0

求解方程组得：

，Z614.7，Z280'

*4.753.63人b丿11078/

a=-7.855048，b=22.253761

平方误差：

、：

2二＜：

Sj_s（tj）1：

2.1102

仃、已知实验数据如下:

19.0

32.3

49.0

73.3

97.8

用最小二乘法求形如y=abx2的经验公式，并计算均方差

解：

门-span1,x2/，计算离散内积有：

2.2222222

1,1八1=5，1,x「Xj=1925313844=5327

j=0j=0

22444444

x,x|＞\xj=1925313844=7277699

j兰

1,y為yj=19.032.349.073.397.8=271.4

j=0

-QQQQQQQ

x,y^-\xjyj^1919.02532.33149.03873.34497.8=369321.5

j鱼

求解方程组得:

f55327述a、

271.4

（53277277699\b/

^369321.5‘

a-0.972579，b=0.05035

所求公式为：

y=0.9725790.05035x

均方误差:

§=任0Xj）—yj】＞-0.1226

第4章数值积分与数值微分

1确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

（1）.f（x）dx:

A」（-h）A°f（0）Af（h）；

（2）f（x）dx：

A1f^h）A0f（0）A1f（h）；

—

（3）f（x）dx：

[f（-1）2f（x1）3f（x2）]/3；

-1

（4）of（x）dx:

h[f（0）f（h）]/2ah[f（0）_f（h）]

解：

（1）f（x）dx：

Aif（_h）A°f（0）Aif（h）；

—

将f（x）=1,x,x2分别代入公式两端并令其左右相等，得

At亠代亠A1dx=2h

-hA1亠0A0亠hAtxdx=0

23dx=—h

hA」A00hA1

所求公式至少具有2次代数精确度。

又由于

f（0）■-f（h）具有3次代数精确度。

（2）

f（x）dx:

A」f（—h）A0f（0）Af（h）

■-2h

f（x）=1,x,x2分别代入公式两端并令其左右相等，得

A」A0A二1dx=4h

L_2h

一hA」0A。

hA1=.jdx=0

（-h）A。

=xdx

-2h

163=—h

解得:

—,A0

令f（x）=x3

，得x3dx=0=吵（_*•竺.h3=0

令f（x）=X4，得

xdx

64h8h48h4（-h）h

533

16h

故求积分公式具有3次精确度。

（3）if（x）dx:

[f（—1）2f（x1）3f（X2）]/3

当f（x）=1时，易知有

f（x）dx：

[f（-1）2f（xj3f（x2）]/3）1

令求积分公式对f（X）=X,X2准确成立，即

1xdx=0=_12x「3x2

—1纠2皿*

洛=0.6898979

x2--0.1265986

丄33

=—0.2898979亠则解得1或

x2=0.5265986

i厶

将f（x）=x3代入已确定的积分公式，则

f（x）dx-[f（-1）2f（x1）3f（x2）]/3

故所求积分式具有2次代数精确度。

（4）f（x）dx:

h[f（0）f（h）]/2ah[f（0^f（h）]

当f（x）=1,x时，有

1dx:

h[11]/2ah2[0-0]

xdx:

h[0h]/2ah2[1-1]

故令f（x）=x2时求积公式准确成立，即

-2.2.2

xdx:

h[0h]/2ah[0-2h]

解得a-将f（x）=x3,x4代入上述确定的求积分公式，有

312

=h[0■h]/2h[0

-3h]

-Io

-h[0•h4]/2•丄h2[0_4h4]

故所求积公式具有3次代数精确度

2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:

（1）

（2）

1'一Xdx,n=4;

（3）

f6J4—sin2日d8,n=6

解

（1）复化梯形公式，h二―

Jf（0）

f（xQ•f

（1）二0.1114024

复化辛普森公式,

S8&f（0）

f（xk—

）+4送f（Xk）+f（J

k±

=0.1115718

（2）h=2

-f

（1）f（xk）-f（9）

k土

=17.3060005

f（x」4、f（Xk）f（9）

（3）h=

hf（0）

f（0）

=16.7237505

2f（xk）2=1.0356841

心6

f（x羊）+4送f（xj+f匸）

k2心6

L.0357639

5、

推导下列三种矩形求积公式：

fQ）2

=（b-a）f（a）（b-a）2;

f0）2

=（b-a）f（a）（b-a）；

a+bf”（□）3

—（b-a）f（）（b_a）。

f（x）dx

解：

（1）左矩形公式，将f（x）在a处展开，得

f（X）二f（a）-f（）（^a）<（a,x）

两边在［a,b］上积分，得

bbb

f（x）dx=f（a）dx亠|f（）（x「a）dx

=（b-a）f（a）亠|f（）（x-a）dx

由于x-a在［a,b］上不变号，故由积分第二中值定理，有厂e（a,b）

f（x）dx=（^-a）f（a）f（）（x—a）dx

从而有

b12

f（x）dx=（b_a）f（a）f（）（b_a）J三（a,b）

（2）右矩形公式，同

（1），将f（x）在b点处展开并积分，得

b12

f（x）dx=（b—a）f（a）f（）（b_a）厂三（a,b）

（3）中矩形分式，将f（x）在—处展开，得

a+b”a+ba+b

f（x）=f（）■f（）（x-

两边积分并用积分中值定理，

ba亠b

f（x）=f（）（b-a）-f

）-f「）（x—ab

得

.a亠bba亠b（）（x）dx

2「（a，b）

“艮a+b2

f（）（x）dx

=f（）（b_a）

）dx

=f（）（b-a）

f（）（b「a）,-（a,b）

6、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分

iedx，冋区间i-0,11

-0

应分多少等份才能使截断误差不超过110"0

解：

由于f（x）二ex=f（x）

f（4）（x）,b—a=1

由复合梯形公式的余项有:

Rn［f」=

b—ah2f牡）<

eJ10°

解得n_212.85可取n=213

由辛普森公公式的余项有：

h4f⑷（◎兰^^（丄）4兰丄"0玉

2880n2

解得n_3.707可取n=4

8、用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10-

（1）

a/jT

（2）

2二

（3）

xdx

edx；

■0

xdx；

解：

（1）Tk（k）

h心

f（x。

）f（Xn）2、f（Xi）,k=0

k（k」）（kJ）

4I2n—Tn

一77——,k=1,2,3,4k-

T（k）

h_门-1I

「=一'MX。

）+f（人）+2瓦f（Xj'

217」

0.7717433

AT（0）T（0）

（1）412n—In

Tn-'

4—1

0.7280699

0.7135121

（1）丁

（1）

—

（2）412n一儿

Tn—2

4-1

0.7169828

0.7132870

0.7132720

（2）

―（3）4丨2n一Tn

Tn-3

4-1

0.7142002

0.7132726

0.7132717

T（k）

3.4513132*10-6

8.6282830*10-7

-4.4469230*10-21

18、用三点公式求f（x）=」=在x=1.0,1.1,1.2处的导数值，并估计误差。

的

（1+x）

值由下表给出:

1.o

1.1

1.2

f（X）

o.25oo

o.2268

o.2o66

解：

三点求导公式为

f（Xo）=丄l_3f（Xo）4f（xJ一f（X2^—f（；o）

2h3

1h2

f（X1）f（xo）f（xjf（；1）

2h6

1rnh

f（X2）f（Xo）-4f（xj3f（X2）f（；2）

2h3

-iJ（Xo,x2）,i=o,1j2

取表中x=1.0,1.1,1.2，分别将有关数值代入上面三式，即可得导数近似值。

由于

（X）

max

5二0.75

从而可求得误差上限与导数值如下:

1.o

1.1

1.2

三点公式

-o.247

-o.217

-o.187

误差

o.oo25

o.oo125

o.oo25

理论解

-o.25

-0.2159594

-o.1878287

数值积分法，令「（x）二f（x）,由

Xk牛

f（Xk+）=f（Xk）+f®（x）dx

对积分采用梯形公式，得

f（x「）=f（Xk）3'l，（Xk）・「（Xk1）l—4XkL;；（k）,（Xk,Xk1）

212

令k=0,1,得

「（X。

）」（xjf（Xj—f（X。

）1

"xj」（X2）、[f（X2）—f（Xj]

同样对

Xk1

f（Xk1）=f（Xk1）亠1-'（X）dx

…Xk1

有

f（Xk1）=

=f（X「）•亠J[「（XkJ•「（Xk1）d^L.Uk）,-（Xk^Xk.J

2…12

从而有

「（X。

）•「（X2）—f（X2）—f（X。

）］

代入数值，解方程，即得「（Xk）,k=0,1,2如下

1.0

1.1

1.21

三点公式

-0.247

-0.217

-0.187

误差

-0.25

-0.2159594

-0.1878287

理论解

-0.25

-0.2159594

-0.1878287

第5章解线性方程的直接方法

7、用列主元消去法解线性方程组

12Xt-3x23x3=15

<—18x<|+3x?

—X3=-15

Xt+x2+x3=6

并求出系数矩阵

A的行列式的值

I.A

-1

151

-18

-1

-15

-18

一1

-15

-1

—

12-33

b]=||-1813-1

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