锐角三角函数与特殊角的押轴题解析汇编二.docx

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锐角三角函数与特殊角的押轴题解析汇编二

中考数学锐角三角函数与特殊角的押轴题解析汇编二

锐角三角函数与特殊角

一、选择题

1．（2011湖北随州，9，3分）cos30°=（）

A．B．C．D．

【思路分析】因为cos30°=，所以C正确．故选C．

【答案】C

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．难度较小.

1.（2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△则tan的值为（　　　）

A.B.C.D.

【解题思路】由旋转的性质可知，∠=∠B，利用网格构建一个直角三角形，通过观察可以看出∠B的对边为1，相邻的直角边等于3，所以tan=tanB=，故选B，其余选项显然不正确.

【答案】B．

【点评】本题考查了旋转的性质和直角三角形三角函数的定义，旋转不改变图形的形状和大小，利用图形的初始位置进行思考是解决本题的重要方法，另△ABC显然不是一个直角三角形，巧妙的利用网格构建直角三角形也是一个非常重要的方法．难度中等．

2.（2011江苏镇江，6，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（）

A．B．C．D．

【解题思路】∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝．

【答案】A

【点评】此题主要考查三角形函数的定义．直角三角形中，一个锐角的正弦是指对边与斜边的比．具体求值时，可进行转化，使问题变得简单，难度较小．

2、（2011四川乐山，2，3分）如图

（1），在4×4的正方形网格中，tanα=

（A）1（B）2（C）（D）

【解题思路】根据网格的特点：

设每一小正方形的边长为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的定义tanα=∠α的对边/∠α的邻边=2.故A、C、D不正确。

【答案】B。

【点评】网格问题是近几年来中考的热点，它考查了学生的读图、析图的能力，充分利用网格的特点，构建适当的图形，确定图形相应的边长或角的度数，根据题目条件要求列式计算。

难度中等．

10．（2011年四川省南充市，10，3分）如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：

①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

【解题思路】此题易得∠ACE=90°，∴tan∠AEC=∴①成立;设AC=a,CE=b，则而故

∴，，即：

∴②成立；延长DM交直线AB于N,易证△AMN≌△EMD，进而得到MD=MN,BD=BN,由等腰三角形三线合一，可得③④成立。

【答案】D

【点评】本题是一个综合性题目，有一定难度。

9.（2011四川乐山，9，3分）如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。

下列结论：

①tan∠HBE=cot∠HEB②③BH=FG④.其中正确的序号是

（A）①②③（B）②③④（C）①③④（D）①②④

【解题思路】：

根据题意：

∵E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，∴△ABE≌△BCF,∴∠BAE=∠CBF,又∵∠BEA与∠BAE互余，∴∠BEA与∠EBH互余，即AE⊥BF,△BHE是直角三角形，∴①tan∠HBE=cot∠HEB正确；又∵CG∥AE，∴△GFC是直角三角形，即△BCF∽△CDF,∴②成立；又∵BE=CF,∠GFC=∠BEH,∠BHE=∠CGF,∴△BHE≌△CGF,故BH=CG,∴③BH=FG不成立；∵E、F分别是边BC、CD的中点，设正方形ABCD的边长为2，则BE=1，根据勾股定理可得：

BF=,GF=,即=4，成立。

故D正确。

【答案】D。

【点评】本题是对三角形的全等、相似、勾股定理以及三角函数的应用的综合考查，解题的关键是先根据正方形的特点，确定边、角关系，判定三角形的形状，证得三角形全等、相似；并应用勾股定理求得边长，利用全等、相似关系，从而判定四个结论的正误。

本题难度较大。

（2011常州市第6题,2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。

若AC=，BC=2,则sin∠ACD的值为〖〗

A．B．

C．D．

【解题思路】在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=，再根据等角的转化，Sin∠ACD=sin∠B=,故选A.

【答案】选A.

【点评】本题考查了三角函数的相关知识，解答本题的关键是实现等角∠ACD与∠B之间的转化.

（2011江苏苏州，9，3分）在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）

A.B.C.D.

【解题思路】连结BD，根据中位线EF知BDF=4，在△DBC中，因为

BD2﹢DC2=42﹢32=25，BC2=52=25，所以BD2﹢DC2=BC2，所以∠BDC=90°，

所以tanC==，故选B．

【答案】B．

【点评】本题综合考查了中位线、勾股定理和锐角三角函数，求tanC，就要把∠C构成在一个直角三角形中.

二、填空题

1.（2011年湖北省武汉市3分）sin30°的值为_____.

分析：

特殊角的三角函数值。

答案：

点评：

本题主要考察特殊角的三角函数值，属于基础题。

1.（2011福建泉州，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则AB=，=.

【解题思路】由勾股定理可得AB=5，由三角函数的定义可知：

【答案】5，；

【点评】本题侧重对勾股定理，及三角函数定义的考查，难度较小。

2.（2011江苏镇江，11，2分）若∠α的补角是120°，则∠α＝__▲__，sinα＝__▲__．

【解题思路】∠α的补角是180°－∠α．sin60°＝．

【答案】60°，

【点评】此题考查补角的概念，特殊角的三角函数值，难度较小．

（2011常州市第11题,2分）若∠的补角为120°，则∠=，Sin=。

【解题思路】由∠的补角为120°建立方程180-∠=120，解得∠=600，sin600=.

答案：

600，。

【点评】解答本题的关键是根据条件建立方程，熟记特殊角的三角函数值。

（2011江苏连云港，14，3分）△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝_▲．

【解题思路】用勾股定理可以求得AC=，AB边上的高为2，即

【答案】

【点评】本题考查勾股定理、三角函数等知识及构造思想。

难度较小。

1．（2011湖南株洲，11，3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚出发，沿与地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（处），米，则孔明从到上升的高度是米．

【解题思路】由图形，结合含有30°角的直角三角形性质，或锐角函数的知识求得BC＝40米.

【答案】40.

【点评】直角三角形是研究图形性质的基础，也是中考的常考知识.难度较小．

3.（2011江西南昌，16，3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：

①AF⊥BC②△ADG≌△ACF③O为BC的中点④AG：

DE=：

4，其中正确结论的序号是．（错填得0分，少填酌情给分）

【解题思路】由∠DAB=30°得∠BAE=60°，所以∠CAF=30°而∠C=60°所以∠CAF=90°即AF⊥BC,因为∠DAB=∠CAF,∠D=∠C=60°AD=AC,所以△ADG≌△ACF，连接OA,易得OB=OA=OC，即O为BC的中点,在直角△ADG中，设DG=a，则AD=2a,AG=a,在直角△ADE中可得DE=4a,所以AG：

DE=：

4.

【答案】①②③④

【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定、锐角三角函数的意义和学生综合分析的能力，难度较大.

三、解答题

17．（2011四川乐山，17，9分）计算：

【解题思路】：

根据绝对值的意义、锐角三角函数、负指数的运算和最简二次根式的化简，进行计算：

|-2|=2；cos300=;（）-1=3;=2.

【答案】

=2-+3+2

=2-2+3+2

=5.

【点评】本题是对数与式的运算的考查，特别是对绝对值的意义、锐角三角函数、负指数的运算和最简二次根式的化简的理解，综合性强。

本题难度中等。

21．（2011四川广安，21，7分）计算：

【解题思路】本题为基本计算题，主要考察负指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值和绝对值的运算．

【答案】解：

原式==．

【点评】本题为基本计算题，主要考察负指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值和绝对值的运算．难度中等．

20．（2011内蒙古乌兰察布，19，7分）计算：

【解题思路】原式=

【答案】

【点评】本题主要考查了二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值的意义、零指数.难度较小.

1．（2011四川内江，17，7分）计算：

tan30°-（π-2011）0＋-

【思路分析】分别计算三角函数值、化简二次根式、求零次幂及去绝对值，然后合并同类项或同类二次根式.

【答案】解：

原式=×-1+2+1-

=1+

【点评】对于二次根式化应化为最简二次根式，绝对值的化简应注意绝对号内的数的正负，任何不等于零的数（或式）的零次幂都等于1．本题易出现（π-2011）0=0、这样的错误．

1.（2011甘肃兰州，21，7分）已知a是锐角，且sin（a+15°）=.

计算4cosα+tanα+的值.

【解题思路】将a+15°看成一个角，考虑特殊角的三角函数值sin60°=，求出α=45°，代入式子即可.

【答案】∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°

∴4cosα+tanα+

=－4cos45°1+tan45°+3

=－4×－1+1+3=3.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂的乘方、负指数幂的乘方等知识点.这三个知识点也是最容易出错的地方，计算时只要注意即可.难度较小.

2.（2011广东河源，11，6分）

计算：

．

【解题思路】分别求出每个式子的值,再分别加减.，一个负数的允绝对值是这个数相反数，，，。

【答案】原式=3+1-3-=1-=-

【点评】此题综合考查绝对值、二次根式、三角函数、零指数幂及负整数指数幂的运算，是一道综合多个简单知识点的常规计算题，计算时要认真仔细，难度中等．

3.（2011江苏镇江，18

（1），4分）

计算：

sin45°－＋；

【解题思路】

（1）将sin45°和进行转化，然后再加减．

【答案】解：

（1）原式＝－＋2＝2．

【点评】本小题考查实数的运算，难度较小.

22．（2011四川眉山，22，8分）在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为15cm．求旗杆的高度．

【解题思路】过A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，然后利用解直角三角形的知识解答．

【答案】过A作AE⊥BC，垂足为E，由题意可知，四边形ADCE为矩形，

∴EC=AD=15，

在Rt△AEC中，tan∠EAC=，

∴AE=（米），

在Rt△AEB中，tan∠BAE=，

∴BE=AE•tan∠EAB=•tan30°=5（米），

∴BC=CE+BE=20（米）．

故旗杆高度为20米．

【点评】此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．难度中等．

（2011江苏南京，