破解高考数学客观题的方法策略.docx

破解高考数学客观题的方法策略.docx

《破解高考数学客观题的方法策略.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《破解高考数学客观题的方法策略.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

破解高考数学客观题的方法策略

第1讲　“六招”秒杀选择题——快得分

题型概述　选择题解法的特殊性在于可以“不讲道理”.常用方法分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，时间可能不允许，因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧.其基本解答策略是：

充分利用题干和选项所提供的信息作出判断.先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，总的来说，选择题属于小题，尽量避免“小题大做”.在考场上，提高了解题速度，也是一种制胜的法宝.

方法一　直接法

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.

【例1】

（1）（2016·全国Ⅱ卷）已知向量a＝（1，m），b＝（3，－2），且（a＋b）⊥b，则m＝（　　）

A.－8B.－6C.6D.8

（2）（2016·全国Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝（　　）

A.B.C.2D.3

解析　

（1）由题知a＋b＝（4，m－2），因为（a＋b）⊥b，所以（a＋b）·b＝0，

即4×3＋（－2）×（m－2）＝0，解之得m＝8，故选D.

（2）由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，

解得b＝3或b＝－（舍去）.

答案　

（1）D　

（2）D

探究提高　1.直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案，解题时要多角度思考问题，善于简化计算过程，快速准确得到结果.

2.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.

【训练1】

（1）（2017·全国Ⅲ卷改编）设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝（　　）

A.8B.－8C.4D.－4

（2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）

A.34B.55C.78D.89

解析　

（1）由{an}为等比数列，设公比为q.

即

显然q≠－1，a1≠0，

得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，

所以a4＝a1q3＝1×（－2）3＝－8.

（2）第一次循环：

z＝2，x＝1，y＝2；

第二次循环：

z＝3，x＝2，y＝3；

第三次循环：

z＝5，x＝3，y＝5；

第四次循环：

z＝8，x＝5，y＝8；

第五次循环：

z＝13，x＝8，y＝13；

第六次循环：

z＝21，x＝13，y＝21；

第七次循环：

z＝34，x＝21，y＝34，z＝55.

当z＝55时，退出循环，输出z＝55.

答案　

（1）B　

（2）B

方法二　特例法

从题干（或选项）出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：

特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.

【例2】（2017·山东卷）若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是（　　）

A.a＋＜＜log2（a＋b）B.＜log2（a＋b）＜a＋

C.a＋＜log2（a＋b）＜D.log2（a＋b）＜a＋＜

解析　令a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2（a＋b）＝log2∈（1，2），则＜log2（a＋b）＜a＋.

答案　B

探究提高　1.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题.

2.特例法解选择题时，要注意以下两点：

第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.

【训练2】如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（　　）

A.3∶1B.2∶1

C.4∶1D.∶1

解析　将P，Q置于特殊位置：

P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ（＝0），则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝.

＝，所以截后两部分的体积比为2∶1.

答案　B

方法三　排除（淘汰）法

排除法（淘汰法）是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法.

【例3】（2016·全国Ⅰ卷）函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为（　　）

（2）（2015·湖北卷）设x∈R，定义符号函数sgnx＝则下面正确的是（　　）

A.|x|＝x|sgnx|　　B.|x|＝xsgn|x|

C.|x|＝|x|sgnx　　D.|x|＝xsgnx

解析　

（1）令f（x）＝2x2－e|x|（－2≤x≤2），则f（x）是偶函数，又f

（2）＝8－e2∈（0，1），故排除A，B；当x>0时，令g（x）＝2x2－ex，则g′（x）＝4x－ex，

又g′（0）<0，g′

（2）>0，所以g（x）在（0，2）内至少存在一个极值点，故f（x）＝2x2－e|x|在（0，2）内至少存在一个极值点，排除C.

（2）当x<0时，|x|＝－x，sgnx＝－1.

则x·|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝x.

因此，选项A，B，C均不成立.

答案　

（1）D　

（2）D

探究提高　1.排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.

2.

（1）排除法常与特例法，数形结合法联合使用，在高考题求解中更有效发挥功能.

（2）如果选项之间存在包含关系，必须根据题意才能判定.

【训练3】（2015·浙江卷）函数f（x）＝cosx（－π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　）

解析　因为f（－x）＝cos（－x）＝－cosx＝－f（x），故函数是奇函数，所以排除A，B；取x＝π，则f（π）＝cosπ＝－<0，所以排除C.

答案　D

方法四　数形结合法

有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论.

【例4】　（2015·北京卷）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是（　　）

A.{x|－1

C.{x|－1

解析　令g（x）＝y＝log2（x＋1），作出函数g（x）图象如图，由得

∴结合图象知不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集为{x|－1

答案　C

探究提高　1.该题将不等式的求解转化为研究函数图象的位置关系，利用几何直观，再辅以简单的计算，可有效提高解题速度和准确性.

2.数形结合是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而导致错误的选择.

【训练4】设函数f（x）＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f（x）＝k（x＋1）（k>0）恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析　直线y＝kx＋k（k>0）恒过定点（－1，0），在同一直角坐标系中作出函数y＝f（x）的图象和直线y＝kx＋k（k>0）的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以≤k<.

答案　B

方法五　估算法

选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.

【例5】　

（1）已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是（　　）

A.πB.πC.4πD.π

（2）（2015·湖北卷）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则（　　）

A.p1

C.p3

解析　

（1）球的半径R不小于△ABC的外接圆的半径r，又△ABC是边长为2的等边三角形，

∴r＝×2×＝，

故S球＝4πR2≥4πr2＝>5π，只有D满足.

（2）满足条件的x，y构成的点（x，y）在正方形OBCA及其边界上.事件“x＋y≥”对应的图形如图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤”对应的图形为图③所示的阴影部分.对三者的面积进行比较，可得p2

答案　

（1）D　

（2）B

探究提高　1.“估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义.

2.在选择题中作精确计算不易时，可根据题干提供的信息，估算出结果的大致取值范围，排除错误的选项.对于客观性试题，合理的估算往往比盲目的精确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”.

【训练5】设M为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为（　　）

A.B.1

C.D.2

解析　如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比1大，比S△OAB＝×2×2＝2小，故C项满足.

答案　C

方法六　概念辨析法

概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选出正确结论的方法.这类题目一般是给出的一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心.

【例6】　若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x＋λ）＋λf（x）＝0对任意实数都成立，则称f（x）是一个“λ伴随函数”.下列是关于“λ伴随函数”的结论：

①f（x）＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；

②f（x）＝x是“λ伴随函数”；③f（x）＝x2是“λ伴随函数”；④“伴随函数”至少有一个零点.其中正确的结论个数是（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　由题意得，①正确，如f（x）＝c≠0，取λ＝－1，则f（x－1）－f（x）＝c－c＝0，即f（x）＝c≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f（x）＝x是一个“λ伴随函数”，则x＋λ＋λx＝x（1＋λ）＋λ＝0，对任意实数x成立，所以1＋λ＝λ＝0，而找不到λ使此式成立，所以f（x）＝x不是一个“λ伴随函数”；③不正确，若f（x）＝x2是一个“λ伴随函数”，则（x＋λ）2＋λx2＝（1＋λ）x2＋2λx＋λ2＝0对任意实数x成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而找不到λ使此式成立，所以f（x）＝x2不是一个“λ伴随函数”；④正确，若f（x）是“伴随函数”，则f＋f（x）＝0，取x＝0，则f＋f（0）＝0，若f（0），f任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0），f均不为0，则f（0），f异号，由零点存在性定理知，在区间内存在零点.因此①，④的结论正确.

答案　B

探究提高　1.创新命题是新课标高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出