人教版八年级下册第十八章1822 菱形的定义性质重难点突破.docx

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人教版八年级下册第十八章1822菱形的定义性质重难点突破

《菱形的定义、性质》教学重难点突破

一、教学内容：

《菱形的定义、性质》是人教版八年级下册第十八章第18.2.2菱形

（1）的内容。

学生已学了平行四边形及矩形。

二、教学目标

1、理解菱形的定义，让学生在通过折叠活动，在操作、观察、分析的探究过程中得到菱形的性质，用轴对称性质证明菱形的特殊性质；

2、掌握菱形的性质，会根据菱形的性质进行相关的证明和计算。

三、课前准备

1、学生自己准备小剪刀，统一发放学生每人一张邻边不相等的平行四边形白纸，每人一张提前印刷好的课堂作业纸。

2、多媒体课件，三角板，圆规。

四、教学重难点

重点

菱形定义、特殊性质的探究及运用。

难点

菱形特殊性质的探究和灵活运用。

重难点突破过程与教学方法

1、利用折纸活动增强对菱形定义的理解。

如图，发给学生每人一张邻边不相等的平行四边形白纸。

类比矩形，把平行四边形的角特殊化得到矩形，把平行四边形边特殊化，构造“一组邻边相等”的特殊平行四边形，可以利用对折让两邻边AB与BC重合（A点落在C点，重合的边得到相等的线段），沿着CD裁去长出的一部分平行四边形CDEF，即可得到菱形ABCD。

2、利用折纸探究菱形的轴对称性；再用轴对称的方法证明菱形的特殊性质。

学生对平行四边形和矩形的性质和判定已经有所了解，在本节课中，重在经历探索菱形的特殊性质，用“问题：

2、把菱形纸片沿着另一条对角线AC对折，两边图形还重合吗？

3、菱形是轴对称图形吗？

4、菱形有几条对称轴？

”引出折纸探究菱形特殊性质的活动，帮助学生学会运用观察、分析、比较、归纳、概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，感受直观操作得出猜想的便捷性，进一步增进主动探究的意识。

用作业纸填空的方式降低证明特殊性质的难度，练习特殊性质的推理格式，体会说理的基本方法。

通过小组内交流，使学生认识到可以通过多种途径来验证，让学生在小组内完成从特殊到一般的研究过程。

然后再小组汇报研究结果以及存在问题。

数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。

小组合作真正体现了学生是学习的主人，是学习的主体。

3、应用例题的选择，让学生体验数学活动来源于生活又服务于生活，体会菱形的图形美，提高学生的学习兴趣。

在教学过程中引导学生经过观察、思考、探索、交流获得知识，形成能力。

在教学过程中注意创设思维情境，借助多媒体进行演示，以增加课堂容量和教学的直观性，更好的理解菱形的性质，解决教学难点

五、教学过程

（一）导入：

前面我们学习了平行四边形，通过平行四边形角的特殊化（把一个角变成直角），变成了特殊的平行四边形——矩形。

那么把平行四边形的边特殊化——把它的邻边变成等长的，又是什么特殊的平行四边形呢？

演示课本55页图18.2—6由平行四边形变成菱形的的动画过程及生活中各种菱形的应用图片。

定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（板书课题及定义）

推理格式：

（1）判定格式

∵在

ABCD中，AB=BC

∴

ABCD是菱形（菱形定义）

（2）性质格式

∵在菱形ABCD中

∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC（菱形定义）（板书）

注：

板书画菱形的图案一定要用圆规作四边相等的四边形

（二）探究菱形的性质

1、菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。

（板书）

平行四边形性质列表：

（多媒体演示）

平行四边形

性质

边

对边平行且相等

周长

二倍两邻边长的和

角

对角相等，邻角互补

对角线

互相平分

面积

底×底边上的高

对称性

不一定是轴对称图形，矩形是轴对称图形

稳定性

不稳定性

2、利用轴对称探究菱形的特殊性质。

（板书）：

菱形的特殊性质

问题：

1、如何把手上邻边不等的平行四边形纸片变成菱形呢？

课件及实物示范：

按定义“一组邻边相等”，如图可以利用对折让两邻边AB与BC重合（A点落在C点，重合的边得到相等的线段），沿着CD裁去长出的一部分平行四边形CDEF，即可得到菱形ABCD。

问题：

2、把菱形纸片沿着另一条对角线AC对折，两边图形还重合吗？

3、菱形是轴对称图形吗？

4、菱形有几条对称轴？

（板书）：

（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，在它的对角线（折痕）所在的直线上。

探究1：

在你的菱形纸上写出图中菱形ABCD内所有的全等三角形，与小组内的同学交流完成课堂作业纸中“探究部分”第1题证明的填写。

（课堂作业纸）探究部分

已知：

菱形ABCD中，AC、BD交于O点

求证：

，

，

。

证明：

∵菱形ABCD是轴对称图形，对角线AC,BD所在的是它的对称轴

∴△ABC≌（图中其他的全等三角形还有）

∴AB=AD,AB=BC（其它相等的线段）

∠1=∠2,∠5=∠,（其它相等的角）

∠9=∠10=∠11=∠12=

×

=

∴AB=BC=CD=AD,ACBD,AO=AC,BO=BD,

∴菱形ABCD的面积=4×

=4×

AO×BO=

.

学生合作探究，完成小组代表上台展示讨论结果。

归纳：

（板书）

（2）菱形四条边都相等。

（3）菱形两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（4）菱形的面积=底×底上的高=对角线乘积的一半。

探究2：

填写课堂作业纸“探究部分”第2、3、4题，展示正确答案。

（课堂作业纸）

2、上题图中等腰三角形有

直角三角形有全等三角形有对

3、由菱形的两条对角线的长，能计算它的面积吗？

计算方法与平行四边形面积的计算方法相比有什么异同？

4、填写下表：

菱形

性质

边

周长

角

对角线

面积

对称性

通过以上探究活动归纳出菱形的性质列表（多媒体演示）

菱形

性质

边

对边平行、四条边都相等

周长

四倍边长

角

对角相等，邻角互补

对角线

互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

面积

底×高或者对角线乘积的一半

对称性

轴对称图形

探究3：

小组交流课堂作业纸“探究部分”第5题菱形性质的推理格式。

（课堂作业纸）5、菱形性质的推理格式填空

（1）∵在菱形ABCD中

∴AB=BC==（菱形的）

（2）∵在菱形ABCD中

∴四边形ABCD是平行四边形（）

（3）∵在菱形ABCD中

∴AO=CO=AC，BO=,ACBD（菱形的）

（4）∵在菱形ABCD中

∴∠BAC=∠DAC=∠DAB,∠ABO=∠CBO

∠DAB=∠（）

（5）如图，∵DE⊥AB于E

∴菱形ABCD的面积==

3、应用

（PPT展示生活中美丽实用的菱形图案，用这些来源于生活的美丽图片吸引学生的注意力，激发他们的好奇心，诱发学生对新知识的需求。

）

课本56页例3如图，菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC＝60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长（结果保留小数点后2位）

和花坛的面积（结果保留小数点后1位）。

（多媒体演示，强调推理格式）

解：

∵花坛ABCD的形状是菱形

∴AC⊥BD,∠ABO=

∠ABC=

×600=300

在Rt△OAB中，

AO=

AB=

×20=10（m）BO=

（m）

∴花坛的两条小路长

AC=2AO=20（m）

BD=2BO=20

≈34.64（m）

花坛的面积

=

AC·BD=

×20×20

=200

≈346.4（

）

归纳解题方法：

有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决

练习1：

课堂作业纸的“过关练习”，组长统计组员做题情况，展示点评，教师赋分。

小组合作，帮扶出错的同学，反思存在问题。

（课堂作业纸）过关练习

1、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8

（1）OA的长为

（2）AB的长为

（3）菱形ABCD的周长为

（4）菱形ABCD的面积为

2、已知菱形的两个邻角的比是1：

5，高是8cm，则菱形的周长为__________。

3、菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，且AB＝5,BO=4，则对角线AC的长为____,BD的长为_____。

（三）总结提升

1、怎样从平行四边形得到菱形的？

菱形的性质。

2、菱形的性质中哪些是一般平行四边形没有的。

3、请用图表示平行四边形、矩形、菱形之间的从属关系。

4、有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。

练习2：

做课堂作业纸的“提升练习”

（课堂作业纸）提升练习

1、如图1，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一动点，若PM+PB的最小值是3，则AB的长是___________。

2、如图2，已知菱形ABCD的周长是52cm，对角线AC,BD交于点O，且AC=10，试求菱形的边长、面积、AB边上的高DE。

（此题点评可以再引伸到BC边上的高的计算，两高相等，比对邻边不等的平行四边形的两条高，加深对对称性的理解）

（四）课后作业

课本60页习题第5题,61页第11题

选做：

用其他方法证明菱形的四边相等，对角线互相垂直且每一条对角线平

分一组对角（提示：

用菱形定义及平行四边形性质）。

（五）板书设计

18.2.2菱形的定义与性质

（1）

1、定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

推理格式：

（1）判定格式

∵在

ABCD中，AB=BC

∴

ABCD是菱形（菱形定义）

（2）性质格式

∵在菱形ABCD中

∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC（菱形定义）

二、菱形的性质：

1、菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。

2、菱形的特殊性质：

（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，在它的对角线（折痕）所在的直线上。

（对称性）

（2）菱形的四条边都相等（边）

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（对角线）

（4）菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。

（面积）

三、练习

六、反思

教学活动探索过程中，小组活动展示对于时间的安排上没有把握太好，容易导致后部分内容处理起来，在时间上有点紧。

附：

课堂作业纸

探究部分

1、写出图中菱形ABCD内所有的全等三角形，与小组内的同学交流并填写证明菱形特殊性质的过程。

已知：

菱形ABCD，AC、BD交于O点

求证：

，

，

。

证明：

∵菱形ABCD是轴对称图形，对角线AC,BD所在的是它的对称轴

∴△ABC≌（图中其他的全等三角形还有）

∴AB=AD,AB=BC（其它相等的线段）

∠1=∠2,∠5=∠,（其它相等的角）

∠9=∠10=∠11=∠12=

×

=

∴AB=BC=CD=AD,ACBD,AO=AC,BO=BD,

∴菱形ABCD的面积=4×

=4×

AO×BO=

.

2、上题图中等腰三角形有

直角三角形有

全等三角形有对

3、由菱形的两条对角线的长，能计算它的面积吗？

计算方法与平行四边形面积的计算方法相比有什么异同？

4、填写下表：

菱形

性质

边

周长

角

对角线

面积

对称性

5、菱形性质的推理格式填空

（1）∵在菱形ABCD中

∴AB=BC==（菱形的）

（2）∵在菱形ABCD中

∴四边形ABCD是平行四边形（）

（3）∵在菱形ABCD中

∴AO=CO=AC，BO=,ACBD（菱形的）

（4）∵在菱形ABCD中

∴∠BAC=∠DAC=∠DAB,∠ABO=∠CBO

∠DAB=∠（）

（5）如图，∵DE⊥AB于E

∴菱形ABCD的面积==

过关练习

1、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8

（1）OA的长为

（2）AB的长为

（3）菱形ABCD的周长为

（4）菱形ABCD的面积为

2、已知菱形的两个邻角的比是1：

5，高是8cm，则菱形的周长为__________。

3、菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，且AB＝5,BO=4，则对角线AC的长为____,BD的长为_____。

提升练习

1、如图1，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一动点，若PM+PB的最小值是3，则AB的长是___________。

2、如图2，已知菱形ABCD的周长是52cm，对角线AC,BD交于点O，且AC=10，试求菱形的边长、面积、AB边上的高DE。