高考数学理科热点题型 30 空间点线面的位置关系.docx

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高考数学理科热点题型30空间点线面的位置关系

专题30空间点、线、面的位置关系

1．给出下列说法：

①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面。

其中正确的序号是（）

A．①B．①④

C．②③D．③④

【答案】A

【解析】因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确，故选A。

2．如图所示的是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是（）

A

B

C

D

【答案】D

【解析】A中PS∥QR，故共面；B中PS与QR相交，故共面；C中四边形PQRS是平行四边形，所以共面，故选D。

3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（）

A．AB∥CD

B．AB与CD异面

C．AB与CD相交

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

【答案】D

4．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（）

A．点AB．点B

C．点C但不过点MD．点C和点M

【答案】D

5．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是（）

A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α

∩β＝MN

C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合

【答案】C

【解析】∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β。

由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A。

故α∩β＝A的写法错误。

6．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1（底面为正方形，侧棱与底面垂直）中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）

A.15B.25

C

.35D.45

【答案】D

【解析】连接BC1，A1C1，则A1B与BC1所成角即为所求。

在△A1BC1中，

设AB＝a，

则A1B＝BC1＝a，A1C1＝a，

∴cos∠A1BC1

＝1＝45。

7．下列命题中，真命题的个数为（）

①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；

②两条直线可以确定一个平面；

③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；

④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.

A．1B．2

C．3D．4

【答案】B

8．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：

A，B，C，D四

点不共面，命题乙：

直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和B

D平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．

9．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

【答案】D

【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．

10．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）

A．64B．63

C．26D．36

【答案】A

【解析】连接AC，AB1（图略），由长方体性质可知AB1∥

DC1，所以∠AB1C就是异面直线B1C和C1D所成的角．由题知AC＝＝2，AB1＝＝，C

B1＝＝2，所以由余弦定理得cos∠AB1C＝－AC22AB1·CB1＝64

，故选A．

11．平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（）

A．32B．22

C．33D．13

【答案】A

12．已知P是△A

BC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点．若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是（）

A．30°B．45°

C．60°D．90°

【答案】A

【解析】取AC中点为O，连接OM，ON，则易证OM═∥12BC，ON═∥12PA，所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝12BC＝2，ON＝12AP＝2，则cos∠ONM＝ON2＋MN2－OM22×ON×MN＝32，

所以∠ONM＝30°，

即异面直线PA与MN所成角的大小是30°，故选A．

13．（已知正六棱锥SABCDEF的底面边长和高均为1，则异面直线SC与DE所成角的大小为________．

【答案】π4

14．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

【答案】1或4

【解析】如果这四

点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．

15．在图737中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________（填上所有正确答案的序号）.

①②③④

图737

【答案】②④

【解析】图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG（图略），GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．

16．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：

①设a⊥b，b⊥c，则a∥c；

②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；

③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相

交；

④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面。

其中真命题的个数是________。

【答案】0

【解析】因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可能相交、平行或异面，所以①错；因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交或平行，所以②错；由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交或平行，所以③错；同理④错，所以真命题的个数为0。

17．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对。

【答案】24

18．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________。

【答案】

【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点

D，连接C1D，AD，

则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，

所以AD∥BC，

所以直线AC1与AD所在角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，

所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，

因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，

所以C1D＝AD，

所以直线AC1与AD所成角的正切值为，

所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为。

19．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°。

（1）求四棱锥的体积。

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值。

（2）取AB的中点F，连接EF，DF，

因为E为PB中点，

所以EF∥PA。

所以∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或补角）。

在Rt△AOB中，

AO＝AB·cos30°＝＝OP，

所

以在Rt△POA中，PA＝，

所以EF＝62。

20．如图所示，已知二面角α－MN－β的大小为60°，菱形ABCD在平面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O。

（1）证明：

AB⊥平面ODE；

（2）求异面直线BC与OD所成角的余弦值。

【解析】

（1）如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB。

连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB。

又DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE。

（2）因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角（或其补角）。

由

（1）知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE。

又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α－MN－β的平面角，从而∠DEO＝60°。

不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝。

在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝32。

连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝DOAD＝2＝34。

故异面直线BC与OD所成角的余弦值为34。

21．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点。

（1）求证：

AE与PB是异面直线；

（2）求异面直线AE和PB所成角的余弦值；

（3）求三棱锥A－EBC的体积。

所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为14。

（3）因为E是PC的中点，所以点E到平面ABC的距离为12PA＝1，

VA－EBC＝VE－ABC＝13×3×1＝33。

22.如图738所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：

图738

（1）AM和CN是否是异面直线？

说明理由；

（2）D1B和CC1是否是异面直线？

说明理由．

23．如图739所示，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC

的中点．已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：

图739

（1）三棱锥PABC的体积；

（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值．

【解析】

（1）S△ABC＝12×2×2＝2，

三棱锥PABC的体积为

V＝13S△ABC·PA＝13×2×2＝43.

24．如图7311，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．

图7311

（1）求四棱

锥OABCD的体积；

（2）求异面直线OC与MD所成角的正切值．

【解析】

（1）由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，

所以四棱锥OABCD的体积V＝13×4×2＝83.