天津市第二次高考模拟考试文科数学试题与答案.docx
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天津市第二次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年天津市第二次高考模拟考试
文科数学试题与答案
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合为实数,且,为实数,且,
则的元素个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．若复数满足,则等于（ ）
A．B．C．D．
3.已知直线和平面，且，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.函数的最小正周期为（）
A.B.C.D.2
5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（ ）（参考数据：
sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）
A.12B.24C.48D.96
6.函数的最小正周期和最小值分别是（）
A.，0B.，0C.，D.，
7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）
A.B.C.D.
8.已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（）
A.B.
C.D.
9.若x、y满足约束条件，则z=3x-2y的最小值为（ ）
A.B.C.D.5
10.设，则的大小关系为（）
A.B.
C.D.
11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（）
A.B.C.D.
12.已知函数，若方程有四个不同的解，且
，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，当时，函数的最大值为_______.
14.已知函数是奇函数，当时，，则的值为______
15.已知在等比数列{}中，，，，则的个位数字是____________。
16.已知三棱锥的体积为，各顶点均在以为直径球面上，，则这个球的表面积为_____________。
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）
已知向量
（1）当时，求的值；
（2）已知钝角中，角为钝角，分别为角的对边，且，若函数，求的值．
18.（12分）
随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外+3”新高考的方案，2019年秋季入学的高一新生将面临从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”某市为了顺利地迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种学习模拟选课数据统计如下表：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
组合
学科
物化生
物化政
物化历
物化地
物生政
物生历
物生地
物政历
物政地
物历地
人数
20人
5人
10人
10人
5人
15人
10人
5人
0人
5人
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
合计
化生政
化生历
化生地
化政历
化政地
化历地
生政历
生政地
生历地
政历地
5人
…
…
…
…
…
10人
5人
…
25人
200人
为了解学生成绩与学生模拟选课情况之问的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析
（1）样本中选择组合20号“政历地”的有多少人？
若以样本频率作为概率，求该高中学生不选物理学科的概率？
（2）从样本中选择学习生物且学习政治的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有一人还学习历史的概率？
19.（12分）
如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且平面ABCD⊥平面DCE．AF∥DE，且AF＝DE＝2，BF＝2．
（1）求证：
AC⊥BE；
（2）若点F到平面DCE的距离为，求直线EC与平面BDE所成角的正弦值．
20.（12分）
已知点Q是圆上的动点，点，若线段QN的垂直平分线MQ于点P.
（1）求动点P的轨迹E的方程
（2）若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：
直线AB、AC的斜率之和为定值.
21．（12分）
设函数
（1）若函数在点处的切线方程为，求实数与的值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围。
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：
坐标系与参数方程]（10分）
已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；
（2）若直线与曲线C交于点不同于原点，与直线l交于点B，求的值．
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.B2.A3.A4.D5.B6.C7.C8.C9.C10.B11.C12.A
二、填空题
13.14.15.716.16π
三、解答题
17.
（1）∵,∴，即
（2），
，
由角为钝角知
，
.
18.解：
（1）由分层抽样可得，样本中选择组合20号“政历地”的有人
由表格数据可知，选物理学科的包含1-10号组合，
共人
则不选物理学科有人
所以样本中不选物理学科有人
设事件A表示“该高中学生不选物理学科”，以样本频率作为概率,则
（2）由表格数据可知，选择学习生物且学习政治的组合有2号，11号，17号，18号，共有人，其中还学习历史的组合只有17号，共10人
所以样本中选择学习生物且学习政治的学生共有人，
其中还学习历史的有人，
设既学习生物和政治还学习历史的2人为，其他3人为，
则从中任选3人的基本事件有：
，，共10种，
其中符合题意的基本事件共有9种.
由古典概型可得，这3人中至少有一人还学习历史的概率为
19.
（1）∵，，
∴，
∴，即.
∵，，
∴.
∵平面平面，平面，平面平面，
∴平面，
∴AC⊥DE.①
∵四边形为菱形，
∴.②
由①②，且，
∴平面.
∴.
（2）设，连接.
由
（1）平面，∴是在平面内的射影，
∴与平面所成的角为.
∵，平面，平面，
∴平面，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离.
在平面内作，交延长线于.
∵平面平面，
∴平面，
∴.（或转化为点到平面的距离）
∵，∴，
∴菱形中，，
∴.
在中，，
∴.
∴与平面所成角的正弦值为.
20.解：
（1）由题可知，线段的垂直平分线交于点P，
所以，则，
所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，
设该椭圆方程为，
则，所以，
可得动点P的轨迹E的方程为.
（2）由
（1）可得，过点D的直线斜率存在且不为0，
故可设l的方程为，，
由得，
而
由于直线过点，所以，
所以（即为定值）
21.解：
（1）因为，所以
又因为，所以，即
（2）因为，所以，
令，
则，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，当时，，
画出函数的图象，要使函数的图象与有两个不同的交点，则，
即实数的取值范围为.
22.
（1）∵，∴，
∴曲线C的直角坐标方程为．
∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．
∴直线l的极坐标方程为．
（2）将代入曲线C的极坐标方程得，
∴A点的极坐标为．
将代入直线l的极坐标方程得，解得．
∴B点的极坐标为，
∴．
23.
（1）当时，即，
①当时，得，所以；
②当时，得，即，所以；
③当时，得成立，所以.
故不等式的解集为.
（2）因为，
由题意得，则，
解得，
故的取值范围是.
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