平行四边形的变形.docx

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平行四边形的变形

课堂：

呼唤生活经验的数学化

——小议“平行四边形容易变形”的教学

南京市北京东路小学陈静

前两天，学校举行了青年教师“青春风采杯”的数学课堂教学竞赛活动，四年级的几位年轻教师共同执教了一节几何图形的概念教学课——《平行四边形的认识》，在听课的过程中，几位教师对于平行四边形容易变形的这个教学环节的处理不尽相同，但我在听课的过程中却对这个问题产生了一些思考，课后，我与几位青年教师探讨了关于平行四边形的容易变形的特点，并就如何就行教学进行了进一步的构思。

课例一：

某老师执教的《平行四边形的认识》片断

（教师课前要求学生用吸管制作了平行四边形的学具）

师：

同学们，课前咱们已经亲自动手制作了平行四边形的学具，在用吸管做学具的过程中，要注意些什么？

生：

要注意所使用的四根吸管中，有两根长度一样可以稍微长一些，另外的两根长度也一样可以短一些。

师：

对，平行四边形对边相等。

那么，咱们轻轻拉动这个平行四边形学具的一组对边，你发现了什么？

生：

我发现平行四边形一拉就变成了其它的平行四边形，再一拉就变成了长方形，再拉又会变成平行四边形。

生：

老师，我发现了这个平行四边形变得又扁又斜，又形成了一个新的平行四边形了。

师：

你观察的真仔细，同学们，请你们想象一下，如果我们继续拉动这个平行四边形，那会形成多少不同的平行四边形呢？

请你们用自己的学具尝试着拉一拉，看能得到什么结论？

生（每人拿出已经准备好的平行四边形的学具，不断拉动，进行观察）

师：

大家有结论了么？

生（齐声回答）：

有了！

师：

谁能发表一下自己的意见？

生：

我拉动学具，发现了这个学具可以组成很多的平行四边形，还能摆成长方形。

师：

大家同意他的意见吗？

生（齐声回答）：

同意！

师：

你们的发现很了不起！

这也就说明了平行四边形具有一个特征——你们知道是什么吗？

生：

平行四边形比较容易变形。

师：

对，平行四边形的确容易变形，平行四边形的这个特点正好和哪一种图形的特征相反？

生（齐声回答）：

三角形！

师：

用同样的材料做成的学具，为什么会组成不同的图形呢？

生：

因为平行四边形不像三角形那样具有稳定性，平行四边形容易变形。

师：

对！

三角形具有稳定性，而平行四边形却容易变形。

三角形的稳定性在日常生活中的应用我们已经讲过了，那么你还能发现平行四边形的这个特点在生活中有哪些应用吗？

生：

老师，我看到了在电动门上就有平行四边形。

师：

电动门上为什么不用三角形而用平行四边形呢？

生：

因为平行四边形容易变形，而三角形具有稳定性，用平行四边形电动门容易开关。

师：

你说得很好，同学们还在那里看到了平行四边形容易变形的特点在生活中的运用呢？

生：

电动门上有平行四边形.

生：

我家里墙上有挂衣架，也是平行四边形的。

生：

老师，我看到了你刚才给我们看的一幅图片上也有，就是在楼梯扶手上也有平行四边形，但是，为什么，在楼梯扶上要用平行四边形呢？

那不是容易变形的吗？

师：

喔，楼梯扶手上的平行四边形是固定的，因此它并不容易变形。

……

思考：

“拉得动”=容易变形？

平行四边形容易变形的特点是人所皆知的，也是在进行平行四边形概念教学的过程中所有教师都会教授的一个知识点，回顾以上这位教师的教学过程，似乎都在深刻的挖掘平行四边形容易变形的特点，并结合生活中的实际例子来充分的说明平行四边形的这个特点。

应该说以平常的教学评价标准来看，这位教师的教学目标已经达到了，在他的教学过程中，是运用了平行四边形的教具或者学具，让学生进行拉动，来帮助学生理解平行四边形容易变形的特点。

学生在拉动平行四边形的过程中，感受到平行四边形非常容易改变形状，从而认识到平行四边形容易变形的特点，并且还在生活中寻找到若干实例来映证平行四边形容易变形这个特点在生活实践中的运用。

但是学生为什么会产生这样的疑问：

“在楼梯扶上要用平行四边形吗？

那不是容易变形的吗？

”对呀，平行四边形在楼梯扶手上时，为什么就固定了，不容易变形了呢？

其实平行四边形容易变形的特征和三角形具有稳定性的特征相反，许多教师在教授三角形的稳定性时，也经常运用三角形的学具让学生去用力拉扯，然后发现怎样拉都不变形，甚至有的学生把学具拉断了以后，学具也没有没有变形。

但学生形成的“深刻印象”只是停留使劲“拉”上，在表面的热闹背后，是否“拉不动”就表示图形具有“稳定性”？

“拉得动”就表示图形不具有“稳定性”？

其实深究三角形稳定性的概念内涵，应该定义为“只要三角形的三条边长度固定，这个三角形的大小和形状也完全固定”。

由此可知，三角形的稳定性和平行四边形的容易变形的特点都不应该仅仅落脚在能否拉动学具的浅显认识上，而是应该深入挖掘“图形边长固定，其形状和大小是否能完全固定”的概念内涵，并由此展开教学。

①造成理解上的歧义的一个重要原因就是：

数学中的不少词语（如稳定性）都是由日常语言中直接借鉴过来的，因此，如果对这一过程缺乏清楚的认识的话，就容易造成意义的混淆，包括日常意义对于学生数学学习的干扰。

由此可见，那位学生问及“在楼梯扶上要用平行四边形呢？

那不是容易变形的吗？

”这个问题时，其实对平行四边形容易变形的特征理解已经偏离了，当平行四边形被铸成扶手上的固定装饰时，其四边长度确定，两边夹角也就相应确定了，那这个平行四边形的性状和大小也就具有唯一性了。

由此说明，在教师进行概念教学的过程中，要特别注意数学概念由生活积累走向抽象的模式化过程。

②即使我们是由生活中的相关对象或现象去直接引出数学概念，仍然要有一个重新定义（建构）的过程。

那么，怎样进行平行四边形容易变形的特点的教学呢？

经过思考，我决定这样去尝试：

课例二：

尝试执教的《平行四边形的认识》片断

师：

同学们，如果有三根小棒，我们能把它们围成一个三角形，而且只要小棒的长度固定，这个三角形的形状和大小也会完全固定，这就是三角形的稳定性。

假如我们增加一根小棒，用四根小棒围成一个平行四边形，会出现什么情况呢？

（教师提供四根固定长度的小棒，生纷纷尝试用四根小棒围成平行四边形，探究其中的规律。

）

生：

老师，我们发现，用四根小棒围成平行四边形，可以围成好几种，每一种的形状都不一样。

师：

你上来展示一下你围的方法好吗？

生：

师：

有没有其他的围法？

生（纷纷举手）

师：

围法很多，对吗？

也就是说，当平行四边形的四条边的长度确定以后，它的形状和大小是否能完全确定呢？

生：

不能。

师：

你们想一想，为什么会出现这样的情况呢？

这说明了什么？

生：

这可能说明四边形不太稳定，不像三角形那样具有稳定性。

即使四条边的长度固定了，形状或大小也不可能完全确定。

师：

你说得很好，其实，除了四边形不具有这样稳定性，通过实践，大家也会发现其它的多边形也不具有稳定性。

你们有没有深入的想一想，为什么只有三角形具有这样的稳定性呢？

（生轻声讨论）

生：

我们想到了一个原因，但不知道是不是这样。

可能是因为三角形的三条边长度固定后，三个角的度数也就相对固定了，因此它的形状和大小也就完全固定了；而平行四边形或者多边形的几条边的长度即使固定下来，可是其中的角度大小不可能完全固定，因此就会形成各种形状的四边形。

师：

你们的思考很有价值，也就是说，假如我们用四根小棒围成一个平行四边形，就可能会有不同的围法；假如我们不仅固定小棒的长度，同时规定四边形中角的大小，那四边形的形状就会完全确定了，是吗?

师：

其实当平行四边形的夹角度数确定时，如∠a已定，也就说明平行四边形相邻两边BC到BE的距离被确定了，那CE的长度也就一定了，图形BCE正好构成一个三角形，也就再一次说明三角形具有稳定性，不易变形。

E

B

a

D

C

师:

你们再用自己的学具验证一下我们刚才的发现，好吗？

看看你们还有什么新的发现！

生（利用学具进行实验验证并汇报自己的发现）：

我们发现平行四边形四条边长度已定，但其角度变化时，就可以形成很多不同的形状。

生：

我发现，只要捏紧这个平行四边形的两个角，这个平行四边形的性状就不会变了，我知道其中的原因，其实，这个平行四边形也就变成两个三角形了，所以就不会变形了。

……

师：

经过验证同学们发现平行四边形边的长度确定时其形状和大小并不确定，也就是说平行四边形不具有稳定性，容易变形。

……

再次思考：

在这样的教学设计中，教师始终紧紧把握“稳定性”的概念内涵，把“稳定”与“容易变形”加以比较，从“围成图形的边的长度确定，图形的形状和大小是否完全确定”这一点出发，帮助学生把生活中积累的“稳定”的认识引导到数学概念的“稳定性”建构上。

在教学的过程中教师没有把容易变形简单定义为“能不能拉动”，而是从图形边的长度相对固定后，是否图形的性状和大小就完全固定的角度出发，让学生在实践操作中首先感受用长度固定的四根小棒能够围成形状和大小不完全相同的平行四边形，让学生形成初步认识——四边形四条边的长度固定了，其形状和大小也会发生变化；然后让学生共同探究其中蕴含的规律，学生很快发现，在边的长度固定的情况下，平行四边形的性状不能完全确定。

然后教师再让学生深入思考，究竟为什么平行四边形边的长度固定，形状却会发生变化呢？

深究其中的原因是因为平行四边形的角度不确定而导致平行四边形容易变形。

通过拉动自己制作的平行四边形的学具让学生进一步理解并巩固其已经形成的认识，强化平行四边形不具有稳定性且容易变形的特点。

长期以来，我们的数学教师们在教学平行四边形容易变形的特点时，一直所采用的方法就是或者教师或者学生制作平行四边形的学具，进行拉一拉的实验，并简单的把能拉得的动的情况就称作容易变形，这其实已经把图形“容易变形”也就是其不具有“稳定性”特点简单化，生活化，偏面化了，应该说，容易变形并不能简单等同于能否拉动，就如同三角形的“稳定性”不能简单等同于“牢固性”和“确定性”一样。

我们的课堂需要呼唤生活经验的数学化，学校数学应该注重避免学生的思维走向“浅表化”，“卡通化”，数学概念的建构应注重对概念内涵的把握，应该有必要的模式化过程。

正如上述课例中的描述一样，对于平行四边形容易变形的特点的教学应建立在突出其数学本质与内涵的基础上，如果偏离了这个中心，我们的教学就容易走向形式主义，走向肤浅，愿我们每一位教师都能认真思考教学过程中遇到的每一个问题，准确把握数学概念的内涵，让数学课走向深入。

参考文献：

①②郑毓信.《学校数学：

必要的抽象》.人民教育.2006.3-4

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