中考数学相似三角形压轴题.docx
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中考数学相似三角形压轴题
相似三角形中考压轴试题
、选择题
1.（2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,
二、填空题
1.（2015贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15,点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠
3
B=∠α,DE交AB于点E,且tan∠α=—•有以下的结论：
①△ADEACD;②当CD=9时，△ACD与
4
2124
（填
△DBE全等；③厶BDE为直角三角形时，BD为12或：
④OVBE≤,其中正确的结论是
45
入正确结论的序号）
三、解答题
2
1.（2014年福建三明14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+4与X轴的一个交点为A（-2，0）,与y轴的交点为C,对称轴是x=3,对称轴与X轴交于点B.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B,C的直线I平移后与抛物线交于点M,与X轴交于点N,当以B,C,M,N为顶点的四边形
是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在X轴上，在抛物线上是否存在点P,使得△PBD◎△PBC?
若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由•
2
2.（2014年湖北十堰12分）已知抛物线Cl：
y=aX1-2的顶点为A,且经过点B（-2,-1）.
（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；
（2）如图1,将抛物线G向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C,D两点，
求S^OAC:
S^OAD的值；
（3）如图2,若过P（-4,0）,Q（0,2）的直线为I,点E在
（2）中抛物线C?
对称轴右侧部分（含顶.点）
运动，直线m过点C和点E.问：
是否存在直线m,使直线I,m与X轴围成的三角形和直线I,m与y轴
3.（2014年湖南郴州10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°BC=16cm,AD是斜边BC上的高，垂足为D,BE=ICm.点M从点B出发沿BC方向以1cm∕s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动•设运动时间为t（s）.
（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时，求出S关
于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围.
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP,当t为何值时，△CPD是等腰三角形？
2
4.二次函数y=ax+bx+c（a≠0的图象与X轴的交点为A（-3,0）、B（1,0）两点，与y轴交于点C（0,-3m）（其中m>0）,顶点为D.
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S,试求出S与点P的横坐标X之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？
5.（2014年湖南益阳12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,AD丄AB,∠B=60°AB=10,BC=4,点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=X.
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？
若存
在，求出X的值；若不存在，请说明理由；
（3）设厶ADP与厶PCB的外接圆的面积分别为Si、S2,若S=Sι+S2,求S的最小值.
BC,延长BC至点D,使DC=BC,过点D作DE丄AB于点E，交AC于点F,在点C运动过程中：
（1）如图1,当点E与点O重合时，连接OC,试判断△COB的形状，并证明你的结论；
（2）如图2,当DE=8时，求线段EF的长；
（3）
当点E在线段OA上时，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？
若存在，请求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由.
2
7.（2014年山东日照14分）如图1在菱形OABC中，已知OA=2、3,∠AOC=60,抛物线y=ax+bx+c（a≠0经过O,C,B三点.
（1）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式.
（2）如图2,点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G,点P在直线AG上.
1当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；
2在①的条件下，连接PE、PF、EF得厶PEF,问在抛物线上是否存在点M,使得以M,B,C为顶点的三
2
8.（2014年山东威海12分）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0经过A（-1,0）,B（4,0）,C（0,
2）三点.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△CoB相似？
若存在，试求出
点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A,且与抛物线相交于点D,连接BD,试求出∠BDA的度数.
9.（2014年宁夏区10分）在Rt△ABC中，∠C=90°P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB,垂足为Q,连接AP.
（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与厶ABC相似；
（2）若AC=3,BC=4,当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=■AC,是否存在一个■的值，使Rt△AOP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等.
4
10.（2014年新疆区、兵团12分）如图，直线yX8与X轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从
3
A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ,设运动时间
为t（S）（0Vt≤3.
（1）写出A,B两点的坐标；
（2）设厶AQP的面积为S,试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？
（3）当t为何值时，以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标.
在X轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E.
（1）求证：
△OAD◎△EAB;
（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；
（3）
P的坐标;
在
（2）中的抛物线上是否存在点P,其关于直线BF的对称点在X轴上？
若有，求出点
（4）连接OE,若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与厶OED相似，求点M的坐标.
12.（2014年云南省9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为
A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）.点D在y轴上，且点D的坐标为（0,-5）,点P是直线AC上的一动点.
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与X轴交于点M.问在X轴的正半轴上是否存在使△DOM与厶ABC相似的点M?
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R>0）为半径长画圆.得到的圆称为动圆P.若设动圆P的半径长为AC,过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F.请探求在动圆P中是否存
2
在面积最小的四边形DEPF?
若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由.
1个单位长度的速度运动,
X轴于点Q,连接QE.在点
P、M、F为顶点的三角形相
与X轴，y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发，沿X轴正方向以每秒连接PF,过点PE⊥PF交y轴于点E,设点F运动的时间是t秒（t>0）
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：
PE=PF;
（2）在点F运动过程中，设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;
（3）作点F关于点M的对称点F',经过M、E和F'三点的抛物线的对称轴交
F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点
似？
若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.
2）,其顶点为D.以AB为直径的ΘM交y轴于点E、F,过点E作ΘM的切线交X轴于点N。
∠ONE=30,
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）
连结AD、BD,在
（1）中的抛物线上是否存在一点P,使得△ABP与厶ADB相似？
若存在，求出P点
（3）
如图（b）,点Q为EBF上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H,问：
AH-AQ是否为定值？
若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
15.（2013年贵州黔西南16分）如图，已知抛物线经过A（-2,0）,B（-3,3）及原点O,顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式.
（2）
设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM丄X轴，垂足为M,是否存在点P,使得以P,M,A
为顶点的三角形与△BOC相似？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
16.（2013年福建南平14分）如图，已知点A（0,4）,B（2,0）.
（1）求直线AB的函数解析式;
（2）
2
+n与线段
已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y（X-m）
OA交于点C.
①求线段AC的长；（用含m的式子表示）②是否存在某一时刻，使得△ACM与厶AMO相似？
若存在，求出此时m的值.
2
过A、B两点的抛物线为y=-X+bx+c.点D为线段AB上一动点，过点D作CD丄X轴于点C,交抛物线
于占
J八、、
连接BE,是否存在点D,使得△DBE和厶DAC相似？
若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由.
2
18.（2013年云南红河9分）如图，抛物线y-X+4与X轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作X轴的垂线，垂足为D,交直线BC于点E.
（1）
求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；
（3）
是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？
若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请
佃.（2013年新疆乌鲁木齐14分）如图.在平面直角坐标系中，边长为.2的正方形ABCD的顶点A、B在X轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E.
（1）求证：
△OAD◎△EAB;
（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；
（3）在
（2）中的抛物线上是否存在点P,其关于直线BF的对称点在X轴上？
若有，求出点P的坐标；
（4）连接OE,若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与厶OED相似，求点M的坐标.
20.（2013年广西百色10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的ΘO交AC于点D,直径AB左侧的半圆上有一点动点E（不与点A、B重合），连结EB、ED。
（1）如果∠CBD=∠E,求证：
BC是ΘO的切线；
（2）当点E运动到什么位置时，△EDB◎△ABD,并给予证明；
（3）若tanE=上3,BC=4^,求阴影部分的面积。
（计算结果精确到0.1）
33
（参考数值：
π≈3.14,2≈1.413≈1.73
2
21.（2013年广西贵港11分）如图，在平面直角坐标系Xoy中，抛物线y=ax+bx+c交y轴于点C（0,4）,对称轴x=2与X轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD.
（1）求该抛物线的解析式；［来源学科网Z.“”
（2）设点P（x,y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S,求S关于X的函数关系式，
并写出自变量X的取值范围;
（3）
在
（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以O、P、E为顶点的三角形与
22.（2015福建漳州）如图，在∙-OABC中，点A在X轴上，∠AOC=60o,OC=4cm.OA=8cm•动
点P从点O出发，以Icm/S的速度沿线段O→B运动；动点Q同时从点O出发，以
时，另一点也随之停止运动.
acm/S的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B
设运动时间为t秒.[来源学_科网z_x_x_k]
⑵当a=1时，设△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大？
（3）当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与厶OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围.
C
B
/
/
Jz
/-■
O
P
AX
2
的点E处.分别以OC,OA所在的直线为X轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax+bx+c经过0,D,C三点.
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动•设运动时间为t秒，当
t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点
的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理
由.
24.如图，已知二次函数y=丄（x+2）（ax+b）的图像过点A（—4,3）,B（4,4）.
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（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：
△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直X轴于点H,是否存在以P、H、D、
为顶点的三角形与△ABC相似？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
25.（2015钦州）如图，在平面直角坐标系中，以点B（0,8）为端点的射线BG//X轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）.在射线AG上取AD=OB,作线段AD的垂直平分线，垂足为E,且与X轴交于点F,过点A作AC丄OA,交射线EF于点C.连接OC、CD,设点A的横坐标为t.…「
（1）用含t的式子表示点E的坐标为;
（2）当t为何值时，∠OCD=180°?
（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S,求S与t之间的函数解析式.
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