时间序列分析 第五章非平稳序列的随机分析汇总.docx
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时间序列分析第五章非平稳序列的随机分析汇总
应用时间序列分析实验报告
实验名称第五章非平稳序列的随机分析
一、上机练习
5.8.1拟合ARIMA模型
dataexample5_1;
inputx@@;
difx=dif（x）;
t=_n_;
cards;
1.05-0.84-1.420.202.816.725.404.38
5.524.462.89-0.43-4.86-8.54-11.54-16.22
-19.41-21.61-22.51-23.51-24.49-25.54-24.06-23.44
-23.41-24.17-21.58-19.00-14.14-12.69-9.48-10.29
-9.88-8.33-4.67-2.97-2.91-1.86-1.91-0.80
;
procgplot;
plotx*t;
symbolv=starc=blacki=join;
run;
输出时序图显示这是一个典型的非平稳序列。
如图
（1）所示：
图
（1）
考虑对该序列进行1阶差分运算，同时考察差分序列的平稳性，在原程序基础上添加相关命令，程序修改如下：
procgplot;
plotx*tdifx*t;
symbolv=starc=blacki=join;
procarima;
identifyvar=x
（1）;
estimatep=1;
estimatep=1noint;
forecastlead=5id=t;
run;
（1）我们在GPLOT过程中添加绘制了一个时序图“difx*t”，这是为了直观考察1阶差分后序列的平稳性。
所得时序图如图
（2）所示：
图
（2）
时序图显示差分后序列difx没有明显的非平稳特征。
（2）“identifyvar=x
（1）;”，使用该命令可以识别差分后序列的平稳性。
纯随机性和适当的拟合模型阶数。
其中x
（1）表示识别变量x的1阶差分后序列。
识别部分的输出结果显示1阶差分后序列difx为平稳非白噪声序列，而且具有显著的自相关系数不截尾、偏自相关系数1阶截尾的性质。
（3）“estimatep=1;”对1阶差分后序列▽Xt拟合AR
（1）模型。
输出拟合结果显示常数项不显著，添加或修改估计命令如下：
estimatep=1noint;
这就是命令系统不要常数项拟合AR
（1）模型，拟合结果显示模型显著且参数显著。
如图（3）所示：
输出结果显示，序列Xt的拟合模型为ARIMA（1,1,0）模型。
（4）“forecastlead=5id=t;”，利用拟合模型对序列Xt作5期预测。
5.8.2拟合Auto-Regressive模型
在SAS系统中有一个AUTOREG程序，可以进行残差自回归模型拟合。
下面以临时数据example5_2的数据为例，介绍相关命令的使用。
一、建立数据集，绘制时序图
dataexample5_2;
inputx@@;
t=_n_;
lagx=lag（x）;
cards;
3.038.4610.229.8011.962.83
8.4313.7716.1816.8419.5713.26
14.7824.4828.1628.2732.6218.44
25.2538.3643.7044.4650.6633.01
39.9760.1768.1268.8478.1549.84
62.2391.49103.20104.53118.1877.88
94.75138.36155.68157.46177.69117.15
;
procgplotdata=example5_2;
plotx*t=1;
symbol1c=blacki=joinv=start;
run;
输出时序图如图（4）所示：
图（4）
时序图显示，序列x有一个明显的随时间线性递增的趋势，同时又有一定规律性的波动，所以不妨考虑使用误差自回归模型拟合该序列的发展。
二、因变量关于时间的回归模型
procautoregdata=example5_2;
modelx=t/dwprob;
run;
语句说明：
（1）“procautoregdata=example5_2;”指令SAS系统对临时数据集example5_2进行自回归程序分析。
（2）“modelx=t/dwprob;”指令SAS系统以变量t作为自变量，变量x作为因变量，建立线性模型：
Xt=a+bt+Ut
并给出残差序列{Ut}DW检验统计量的分位点。
本例中，序列x关于变量t的线性回归模型最小二乘估计输出结果如图（5）所示。
图（5）序列关于变量t的线性回归模型最小二乘估计结果
本例输出结果显示，DW统计量的值等于0.7628，输出概率显示残差序列显著正相关。
所以考虑对残差序列拟合自相关模型，修改AUTOREG程序如下：
procautoregdata=example5_2;
modelx=t/nlag=5backstepmethod=ml;
run;
model语句是指令系统对线性回归模型Xt=a+bt+Ut的残差序列{Ut}显示延迟5阶的自相关图，并拟合延迟5阶自现关图。
由于自相关延迟阶数的确定是由我们尝试选择的，所以nlag的阶数通常会指定得大一些。
这就导致残差自回归模型中可能有部分参数不显著，因而添加逐步回归选项backstep，指令系统使用逐步回归的方法筛选出显著自相关因子，并使用极大似然的方法进行参数估计。
输出结果如下四方面的结果：
1.因变量说明
因变量说明
2．普通最小二乘估计结果
该部分输出信息包括误差平方和（SSE）、自由度（DFE）、均方误差（MSE）、根号均方误差（RootMSE）、SBC信息量、AIC信息量、回归部分相关系数平方（RegressR-Square）、总的相关系数平方（TotelR-Square），DW统计量（Durbin-Watson）及所有待估参数的自由度、估计值、标准差、t值和t统计量的P值。
如图（6）所示：
图（6）普通最小二乘估计结果
3.回归误差分析
该部分共输出四方面的信息：
残差序列自相关图、逐步回归消除的不显著项报告、初步均方误差（MSE）、自回归参数估计。
本例该部分输出结果如图（7）所示。
图（7）自回归误差分析输出结果
本例输出的残差序列自相关图显示残差序列有非常显著的1阶正相关性。
逐步回归消除报告显示除了延迟1阶的序列值显著自相关外，延迟其他阶数的序列值均不具有显著地自相关性，因此延迟2阶~5阶的自相关项被剔除。
初步均方误差为234.5,1阶残差自回归模型的参数为-0.602573。
4.最终拟合模型
该部分输出三方面的汇总信息：
收敛状况、极大似然估计结果和回归系数估计。
本例输出结果如图（8）所示.
图（8）最终拟合模型输出结果
为了得到直观的拟合效果，还可以利用OUTPUT命令将拟合结果存入SAS数据集中，并对输出结果作图，相关命令如下：
procautoregdata=example5_2;
modelx=t/nlag=5backstepmethod=mlnoint;
outputout=outp=xppm=trend;
procgplotdata=out;
plotx*t=2xp*t=3trend*t=4/overlay;
symbol2v=stari=nonec=black;
symbol3v=nonei=joinc=redw=2l=3;
symbol4v=nonei=joinc=greenw=2;
run；
语句说明：
“outputout=outp=xppm=trend;”，该命令是指令系统将部分结果输入临时数据集OUT，选择输出的第一个信息为整体模型的拟合值（P选项），该拟合变量取名为XP；选择输出的第二个信息为线性趋势拟合值（PM选项），还可以选择R选项输出拟合残差项，本例不要求输出此项。
输出图像如图（9）所示。
图（9）拟合效果图
三、延迟因变量回归模型
procautoregdata=example5_2;
modelx=lagx/lagdep=lagx;
run;
语句说明：
（1）首先在DATA步中添加命令“lagx=lag（x）；”，该语句指令系统使用延迟函数生成序列x的1阶延迟序列，并将该序列赋值给变量lagx。
（2）“modelx=lagx/lagdep=lagx;”指令系统建立带有延迟因变量的回归模型并通过LAGDEP选项指令被延迟的因变量名。
本例输出结果如图（10）。
图（10）带延迟因变量回归分析结果
由于带有延迟因变量，所以这种场合在回归模型估计结果输出的是Durbinh统计量。
本例中Durbinh统计量的分布函数达到0.3853，这表示残差序列不存在显著地相关性，不需要考虑对残差序列继续拟合自回归模型。
再注意参数检验结果，如图（11）所示。
图（11）参数估计结果
在显著性水平默认为0.05的条件下，截距项不显著（P值大于0.05），所以可以考虑在模型拟合命令中增加NOINT选项。
最后输出拟合结果，并绘制拟合时序图，相关命令如下：
procautoregdata=example5_2;
modelx=lagx/lagdep=lagxnoint;
outputout=outp=xp;
procgplotdata=out;
plotx*t=2xp*t=3/overlay;
symbol2v=stari=nonec=black;
symbol3v=nonei=joinc=redw=2;
run;
输出的拟合效果图如图（12）所示。
图（12）带有延迟因变量的回归模型拟合效果图
5.8.3拟合GARCH模型
SAS系统中AUTOREG过程功能非常强大，不仅可以提供上述的分析功能，还可以提供异方差性检验乃至条件异方差模型建模。
以临时数据集example5_3数据为例，介绍GARCH模型的拟合，相关命令如下：
dataexample5_3;
inputx@@;
t=_n_;
cards;
10.7713.3016.6419.5418.9720.5224.36
23.5127.1630.8031.8431.6332.6834.90
33.8533.0935.4635.3239.9437.4735.24
33.0332.6735.2032.3632.3438.4538.17
32.1439.7049.4247.8648.3462.5063.56
67.6164.5966.1767.5076.1279.3178.85
81.3487.0686.4193.2082.9572.9661.10
61.2771.5888.3498.7097.3197.1791.17
80.2085.1281.4070.8757.7552.3567.50
87.9585.4684.5598.16102.42113.02119.95
122.37126.96122.79127.96139.20141.05140.87
137.08145.53145.59134.36122.54106.9297.23
110.39132.40152.30154.91152.69162.67160.31
142.57146.54153.83141.81157.83161.79142.07
139.43140.92154.61172.33191.78199.27197.57
189.29181.49166.84154.28150.12165.17170.32
;
procgplotdata=example5_3;
plotx*t=1;
symbol1c=blacki=joinv=start;
procautoregdata=example5_3;
modelx=t/nlag=5dwprobarchtest;
modelx=t/nlag=2nointgarch=（p=1,q=1）;
outputout=outp=presidual=residuallcl=lclucl=uclcev=cev;
dataout;
setout;
l95=-1.96*sqrt（51.42515）;
u95=1.96*sqrt（51.42515）;
Lcl_GARCH=-1.96*sqrt（cev）;
Ucl_GARCH=1.96*sqrt（cev）;
Lcl_p=p-1.96*sqrt（cev）;
Ucl_p=p+1.96*sqrt（cev）;
procgplotdata=out;
plotresidual*t=2l95*t=3Lcl_GARCH*t=4u95*t=3Ucl_GARCH*t=4/overlay;
plotx*t=5lcl*t=3LCL_p*t=4ucl*t=3UCL_p*t=4/overlay;
symbol2c=greeni=needlev=none;
symbol3v=blacki=joinc=nonew=2l=2;
symbol4c=redi=joinv=none;
symbol5c=greeni=joinv=none;
run;
该序列输出时序图如图（13）所示。
图（13）序列时序图
时序图显示序列具有显著线性递增趋势，且波动幅度随时间递增，所以考虑使用AUTOREG过程建立序列{Xt}关于时间t的线性回归模型，并检验残差序列的自相关性和异方差性，如果检验结果显示残差序列具有显著自相关性，建立残差自回归模型；如果残差序列具有显著异方差性，则要建立条件异方差模型。
语句说明：
（1）“modelx=t/nlag=5dwprobarchtest;”，该命令指令系统建立序列{Xt}关于时间t的线性回归模型，并检验残差序列5阶延迟的自相关性并输出DW检验的P值，同时对残差序列进行异方差检验。
DW检验结果显示残差序列具有显著的正相关性，如图（14）所示。
图（14）普通最小二乘估计输出结果
残差序列5阶延迟自相关图显示残差序列至少具有2阶显著自相关性，如图（15）所示。
图（15）残差序列自相关图
参数估计结果显示回归模型常熟截距项不显著，如图（16）所示。
图（16）线性回归模型参数估计结果
异方差检验结果显示，残差序列具有显著地异方差性，且具有显著地长期相关性，如图（17）所示。
图（17）异方差检验结果
（2）“modelx=t/nlag=2nointgarch=（p=1,q=1）;”，综合考虑序列残差序列自现关性和异方差性检验结果，尝试拟合无回归常数项的AR
（2）-GARCH（1,1）模型。
模型最总拟合结果如图（18）所示。
图（18）普通最小二乘估计输出结果
参数检验结果显示除GARCH（1,1）模型中的常数项不显著外，其他变量均显著，整个模型的R^2高达0.9954，且正态性检验不显著（P值为0.3106），这与假定GARCH的残差函数εt/（ht）^（1/2）服从正态分布相吻合，所以可以认为该模型拟合成功。
（3）“outputout=outp=presidual=residuallcl=lclucl=uclcev=cev;”将估计值（p=），残差（residual=），序列置信下限（lcl=），序列置信上限（Ucl=），条件方差（cev）的结果存入临时数据集work.out。
后面整个data步的工作都是对结果数据集work.out进行数据加工，已获得以下数据：
残差序列方差齐性假定下95%的置信下限：
l95=-1.96*sqrt（51.42515）;
残差序列方差齐性假定下95%的置信上限：
u95=1.96*sqrt（51.42515）;
残差序列条件方差假定下95%的置信下限：
Lcl_GARCH=-1.96*sqrt（cev）;
残差序列条件方差假定下95%的置信上限：
Ucl_GARCH=1.96*sqrt（cev）;
条件方差假定下，序列的95%的置信下限Lcl_p=p-1.96*sqrt（cev）;
条件方差假定下，序列的95%的置信上限Ucl_p=p+1.96*sqrt（cev）;
分别绘制两种拟合效果图，图（19）是针对残差序列的波动性拟合情况，及在方差齐性和非齐两种假定下的置信区间，绘制命令如下：
plotresidual*t=2l95*t=3Lcl_GARCH*t=4u95*t=3Ucl_GARCH*t=4/overlay;
图（19）残差序列在两种方差假定下的置信区间效果图
图（21）是原序列的拟合情况，及在方差齐性和非齐两种假定下的置信区间，绘图命令如下：
plotx*t=5lcl*t=3LCL_p*t=4ucl*t=3UCL_p*t=4/overlay;
图（21）序列在两种方差假定下的置信区间效果图
图中，中间的波动曲线为残差序列或原序列，虚线为根据无条件方差得到的95%置信区间，而实线为根据条件方差得到的95%置信区间。
习题1
dataexample5_1;
inputx@@;
difx=dif（x）;
t=_n_;
cards;
304303307299296293301293301295284286286287284
282278281278277279278270268272273279279280275
271277278279283284282283279280280279278283278
270275273273272275273273272273272273271272271
273277274274272280282292295295294290291288288
290293288289291293293290288287289292288288285
282286286287284283286282287286287292292294291
288289
;
procgplot;
plotx*t;
symbolv=starc=blacki=join;
procgplot;
plotx*tdifx*t;
symbolv=starc=blacki=join;
procarima;
identifyvar=x
（1）;
estimatep=1;
forecastlead=5id=t;
run;
实验结果：
图1.1序列时序图
由时序图可知，该序列不平稳，是一个非平稳序列。
图1.2序列difx时序图
差分运算的实质是使用自回归方式提取确定性信息，因此用1阶差分对序列的信息提取。
该时序图没有明显的非平稳特征。
图1.3序列difx模型拟合结果
根据检验结果显示，该序列延迟各阶的P值都大于显著性水平0.05，接受原假设，即股票的收盘价1阶差分序列为非白噪声序列。
图1.4预测结果
由上图可得，预测该股票下一天的收盘价为288.6812。
习题5
dataexample5_1;
inputx@@;
difx=dif（x）;
t=_n_;
cards;
220323602254216520242078221422922207211921192137
213219551785174718181909195818921919185318681991
211121191991185918561924189219161968192818981850
184118241823184318801968202919961933180517131726
175217951717164815121338138313441384148415971686
170716401611163217751850180916531648166516271791
;
procgplot;
plotx*tdifx*t;
symbolv=starc=blacki=join;
procarima;
identifyvar=x
（1）;
estimatep=1;
forecastlead=7id=t;
run;
实验结果：
图5.1序列时序图
由时序图可知该序列不平稳，即该序列为一个非平稳序列。
1阶差分序列时序图：
图5.2序列difx时序图
而差分运算能使用自回归方式提取确定性信息，因此对序列进行1阶差分运算，考察其1阶差分序列的平稳性。
1阶差分序列值始终在0周围上下波动，即1阶差分序列平稳。
白噪声检验结果如下：
图5.3序列difx模型拟合结果
根据检验结果显示，该序列延迟各阶的P值都大于显著性水平0.05，接受原假设，即股票的收盘价1阶差分序列为非白噪声序列。
预测图：
图5.4预测结果
由上图可得，预测1939—1945年英国绵羊的数量分别为1851,1872,1879,1880,1879,1877,1875。
习题六
dataexample5_3;
inputx@@;
t=_n_;
lagx=lag（x）;
cards;
4.9955.035.035.255.265.35.455.495.525.7
5.685.655.86.56.456.486.456.356.46.436.43
6.446.456.486.46.356.46.36.326.356.135.7
5.585.185.185.175.155.215.235.054.654.654.6
4.674.694.684.624.634.95.445.566.046.066.06
8.078.078.18.058.068.078.068.118.610.811
11119.489.188.628.38.478.448.448.468.49
8.548.548.58.448.498.48.468.58.58.478.47
8.478.488.488.548.568.398.899.919.899.919.91
9.99.889.869.869.749.429.279.268.998.8
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