八年级秋季班第5讲一般一元二次方程的解法及韦达定理.docx
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八年级秋季班第5讲一般一元二次方程的解法及韦达定理
利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一般的一元二次方程不能运用直接开平方或者是因式分解进行求解的时候，采取的两种方法，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是配方法和因式分解在解一元二次方程中的灵活应用．经过本节课学习，我们已经将解方程的常用方法讲解完毕，注意灵活运用和综合提高，在计算的准确度上和选择合适的方法解题上多下功夫．
1、配方法的步骤
①先把二次项系数化为1：
即方程左右两边同时除以二次项系数；
②移项：
把常数项移到方程右边；
③配方：
方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成（x+m）2=n的形式；
④当n≥0时，用直接开平方的方法解变形后的方程．
2、求根公式法的一般步骤
①把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）；
②确定a、b、c的值；
③求出b2-4ac的值（或代数式）；
若b2
-
4ac≥0，则把a、b、c及b2
-
4ac的值代入求根公式x=
2a
，求出x1、
2
x；若b2-4ac<0，则方程无解．
【例1】填空：
（1）x2-1x+=（x-
2
b
）2；
（2）x2-+
2
1=（x-
25
b2
）2；
2
（3）x2-
x+=（x-）2；（4）4x
a
-+=（2x-）．
a2
【例2】如果x2+ax+4是一个完全平方式，那么a的值可以是（）
A．4B．-2
C．2或-2
D．都不对
【例3】若m<0且x=2时，等式x2-mx+m2-7=0成立，则m值为．
【例4】如果一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是．
【例5】解下列方程（配方法）：
（1）x2+3x-4=0；
（2）0.04x2+0.4x+1=0；
（3）2x2+4mx+m2=0；（4）ax2+bx+c=0（a≠0）．
【例6】解下列方程（求根公式法）：
（1）x2=2（x-1）；
（2）0.2x2-0.1x=1；
（3）x2+2（
+1）x+2
=0；（4）x2-2mx+m2-n2=0．
【例7】解下列关于x的方程（用适当的方法）：
（1）mx2-nx-p=0（m≠0）；
（2）（x-5）（x-3）+x（x+6）=145．
【例8】用指定的方法解下列方程：
（1）x2-12x=3（配方法）；
（2）3（2x-1）2=75（开平方）；
（3）（1-
2）x2=（1+
2）x（因式分解）；（4）3x2+12x+7=0（公式法）．
【例9】已知：
（x2+2x+1）0=x2-2x-2，求x的值．
【例10】x为何值时，代数式
10x2-21x+9
x2+1
的值等于零．
【例11】的例题：
解方程x2-|x|-2=0
解：
当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，解得：
x=2，x
=-1（舍）
12
当x<0时，原方程化为x2+x-2=0，解得：
x=-2，x
=1（舍）
12
∴原方程的根是x1=2，x2=-2
请参照例题解方程x2-|x-1|-1=0．
【例12】解下列关于x的方程方程：
（1）kx2+2（k-2）x+（k-3）=0；
（2）（x-5）（x+3）+（x-2）（x+4）=49；
（3）2x2+（3a-b）x-2a2+3ab-b2=0．
【例13】已知：
y=2x2-3x+1，y=4x2+4x+7，求x为何值时，y=y．
1212
⎨
【例14】解关于x的一元二次方程x2-4=x（mx-3），其中m是满足不等式⎧3m+1>0的
⎩3-2m>0
整数．
【例15】求关于x的方程：
5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的实数解．
【例16】已知a+b-2-4
=3-1c-5，求a+b+c的值．
2
【例17】已知a，b，c是有理数，试证明关于x的方程：
x2-2ax+a2-b2-c2+2bc=0
的根也是有理数．
【例18】已知关于x的方程：
x2-4（m-1）x+3m2-2m+4k=0，当m取任意有理数时，方程的根都是有理数，求k的值或者是k的取值范围．
12
韦达定理：
如果x，x是一元二次方程ax2-bx+c=0（a≠0）的两个根,由解方程中的
公式法得,x1=
2a，x2=2a．
那么可推得x+x=-b，x⋅x=c这是一元二次方程根与系数的关系．
12a12a
【例19】若方程x2-（m+1）x+m=0有解，利用适当的方法解这两个根，分别是
；若这两个根互为相反数则m的值是；若两个根互为倒数，则m的值是．
【例20】如果x，x是方程2x2+3x-6=0的两个根，那么x+x=；
1212
x1⋅x2=．
【例21】若方程：
kx2-9x+8=0的一个根为1，则k=；另一个根为．
【例22】写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是5-
2
3，5+3．
2
【例23】已知
-1-
、是关于x的方程ax2
22
+
bx+1=0（a≠0）的两根，求b的值．
【例24】已知x，x是方程1x2-3x-3=0的两根，求下列各式的值：
1222
（1）1+1；
（2）x2-x2；（3）x2+x2；（4）|x-x|．
x1x2
【例25】已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：
2x2-8x+7=0两个根，求这个直角三角形的周长．
【例26】已知方程：
x2-4x+a=0的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围．
【例27】已知2m2-5m-1=0，n2+5n-2=0.mn≠1，求1+n的值．
m
【例28】已知α，β是方程：
x2-2x-4=0的两根，求代数式α3+8β+6的值．
【习题1】完成下列填空：
（1）x2-22x+=（x-）2；
（2）（2y-）2=+1；
（3）3x2++9=3（x+）2．
【习题2】完成下列填空：
（1）对于方程3x2=2x，用法解比较好，其根为；
（2）对方程（2x-1）2=4，用法解比较好，其根为；
（3）对方程2x2-3x-6=0，用法解比较好，其根为．
【习题3】已知x2+ax+a-2=0的两根互为倒数，则a的值为．
【习题4】用指定的方法解下列方程：
（1）ax2-bx=0（a≠0）（因式分解）；
（2）4x2-9a2+6a-1=0（a为已知数）（直接开平方）；
（3）5x2+6x-9=0（配方法）；
（4）3x2-2x-4=0（求根公式）．
【习题5】用适当的方法解下列方程：
（1）x2-x=1；
（2）2（2x-3）2-3（2x-3）=0；
（3）3x2-26x+2=0；（4）（3x+5）2-5（3x+5）+4=0．
【习题6】解关于x方程：
（1）x2-2ax+a2=1；
（2）x2-px+q=0．
【习题7】如果9x2-6（n+1）x+n2+5是一个完全平方式，求n的值．
【习题8】用配方法说明：
不论x为何值，代数式x2-5x+7的值总大于0，再求出当x为何值时，代数式x2-5x+7有最小值，最小值是多少？
12
【习题9】已知关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+3-m=0（m为实数）有两根x，x，其中
x1>0，x2<0且|x1|>|x2|，求m的取值范围．
【习题10】解方程x|x|-3|x|+2=0．
【习题11】已知关于x的方程（k-1）x2-px+k=0有两个正整数根，求整数k和p的值．
【习题12】已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3-3（a+1），3（b+1）=3-（b+1）2，
求b+a
的值．
【作业1】已知代数式3x2-9x+m是一个完全平方式，则m=．
【作业2】以下说法正确的有几个：
（1）方程x2=0，有两个根；
（2）方程x2=4x两边同除以x，解得方程的解为x=4；
（3）因为一个数的平方不可能是负数，所以方程（x-1）2=-x无解；
2
（4）对于方程（x-1）2=（x+3）2，因为无论x取何值，x-1和x+3都不可能相等，所以方程无解．
12
【作业3】如果x，x是方程5x2-7x+5=0的两根，求下列各式的值：
（1）1+1；
（2）x2+x2．
x1x2
【作业4】用适当的方法解下列方程：
（1）x2=49；
（2）3x2-21x=0；
（3）2x2-3x-5=0；（4）（x-4）2=5（x-4）；
（5）3x2-4x-2=0；（6）（y-1）2+5（y-1）+4=0．
（1）4（x-2）2-（3x-1）2=0；
（2）（3x-1）2-3（3x-1）+2=0；
（3）
6x2-
2x-2
=0；（4）12x2-20x-525=0．
【作业6】用适当的方法解下列关于x方程：
（1）x2+2ax+a2=1（a为已知常数）；
（2）x2+ax-2a2=0（a为已知常数）；
（3）-3x2-xb+2b2=0（b为已知常数）．
【作业7】若α，β是方程x2+3x-17=0的两个根，求α2+2α-β的值．
m的值．
【作业9】已知6m2-mn-2n2=0（n≠0），求m的值．
n
【作业10】解关于x的方程5x2-|x|-3=0．
【作业11】已知方程x2-2x-12=0的两根是α，β，设C=α+β，C=α2+β2，．．．，
12
n
C=αn+βn（n是正整数）．
（1）求C3的值；
（2）求证：
Cn+1=2Cn+12Cn-1．
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