苏科版八年级上24线段角的轴对称性同步练习含答案.docx

苏科版八年级上24线段角的轴对称性同步练习含答案.docx

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苏科版八年级上24线段角的轴对称性同步练习含答案

第二章2.4线段、角的轴对称性

一．选择题（共10小题）

1．（2019•湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（　　）

A．8B．6C．4D．2

2．（2019•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）

A．15B．30C．45D．60

3．（2019•德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于

AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65°B．60°C．55°D．45°

4．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　）

A．2B．2

C．4D．4

5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于

BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；

②作直线MN交AB于点D，连接CD．

若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（　　）

A．90°B．95°C．100°D．105°

6．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（　　）

A．24°B．30°C．32°D．42°

7．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　）

A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm

8．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（　　）

①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等

②三角形的三条内角平分线交于一点

③三角形的内角平分线位于三角形的内部

④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分．

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A．11B．5.5C．7D．3.5

10．如图所示，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC满足（　　）

A．PC＜6B．PC=6C．PC＞6D．以上都不对

二．填空题（共6小题）

11．（2019•西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=______．

12．（2019•遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=______度．

13．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是______．

14．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为______．

15．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是______．

16．如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：

①DC=DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤∠BAC=∠BDE．其中正确的是______（写序号）

三．解答题（共5小题）

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：

∠CAB=∠AED．

18．如图，已知：

AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．

（1）求证：

AE∥CF；

（2）若AM平分∠FAE，求证：

FE垂直平分AC．

19．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．

（1）求BC的长；

（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．

20．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数．

21．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．

（1）求证：

AD垂直平分EF；

（2）若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系？

请说明理由．

参考答案

一．选择题（共10小题）

1．（2019•湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（　　）

A．8B．6C．4D．2

【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．

【解答】解：

过点P作PE⊥BC于E，

∵AB∥CD，PA⊥AB，

∴PD⊥CD，

∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，

∴PA=PE，PD=PE，

∴PE=PA=PD，

∵PA+PD=AD=8，

∴PA=PD=4，

∴PE=4．

故选C．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．

2．（2019•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）

A．15B．30C．45D．60

【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：

由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，

又∵∠C=90°，

∴DE=CD，

∴△ABD的面积=

AB•DE=

×15×4=30．

故选B．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．

3．（2019•德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于

AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65°B．60°C．55°D．45°

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．

【解答】解：

由题意可得：

MN是AC的垂直平分线，

则AD=DC，故∠C=∠DAC，

∵∠C=30°，

∴∠DAC=30°，

∵∠B=55°，

∴∠BAC=95°，

∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，

故选A．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．

4．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　）

A．2B．2

C．4D．4

【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=

AOB=30°，再根据直角三角形的性质求得PD=

OP=4，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．

【解答】解：

∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，

∴∠AOP=

AOB=30°，

∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，

∴OP=2OM=8，

∴PD=

OP=4，

∵点C是OB上一个动点，

∴PC的最小值为P到OB距离，

∴PC的最小值=PD=4．

故选C．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．

5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于

BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；

②作直线MN交AB于点D，连接CD．

若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（　　）

A．90°B．95°C．100°D．105°

【分析】由CD=AC，∠A=50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：

MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：

CD=BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．

【解答】解：

∵CD=AC，∠A=50°，

∴∠ADC=∠A=50°，

根据题意得：

MN是BC的垂直平分线，

∴CD=BD，

∴∠BCD=∠B，

∴∠B=

∠ADC=25°，

∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．

故选D．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

6．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（　　）

A．24°B．30°C．32°D．42°

【分析】根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的解即可．

【解答】解：

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP=∠CBP，

∵直线l是线段BC的垂直平分线，

∴BP=CP，

∴∠CBP=∠BCP，

∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，

∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=21°，

∴3∠ABP+24°+60°=180°，

解得：

∠ABP=32°，

故选：

C．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP是解此题的关键，数形结合思想的应用．

7．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　）

A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm

【分析】根据三角形周长求出AD+DC=12cm，根据线段垂直平分线求出AD=BD，求出BC=AD+DC，即可得出答案．

【解答】解：

∵AC=5cm，△ADC的周长为17cm，

∴AD+DC=12cm，

∵AB的垂直平分线DE，

∴BD=AD，

∴BC=BD+DC=AD+DC=12cm，

故选：

C．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

8．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（　　）

①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等

②三角形的三条内角平分线交于一点

③三角形的内角平分线位于三角形的内部

④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】画出图形，设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，求出ON=OM=OQ，判断即可．

【解答】解：

∵设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，

∴ON=OQ，OQ=OM，

∴ON=OM=OQ，

∴△ABC的三个内角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴①错误；

∵ON⊥AB，OM⊥BC，ON=OM，

∴O在∠ABC的角平分线上，

即O是△ABC的三个角的平分线交点，∴②正确；

∵三角形的三个内角的平分线都在三角形的内部，∴③正确；

∵三角形的任意中线把三角形的面积分为面积相等的两部分，而三角形的任意角平分线不一定把三角形的面积分成面积相等的两部分，∴④错误；

故选B．

【点评】本题考查了三角形的角平分线性质和三角形的中线性质，主要考查学生的推理能力和辨析能力．

9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A．11B．5.5C．7D．3.5

【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．

【解答】解：

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，

∵DE=DG，

∴DM=DG，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，

∴DF=DN，

在Rt△DEF和Rt△DMN中，

，

∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），

∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，

∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，

S△DNM=S△EDF=

S△MDG=

×11=5.5．

故选B．

【点评】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．

10．如图所示，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC满足（　　）

A．PC＜6B．PC=6C．PC＞6D．以上都不对

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PC=PA，得到答案．

【解答】解：

∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，

∴PC=PA=6，

故选：

B．

【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

二．填空题（共6小题）

11．（2019•西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=　2　．

【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．

【解答】解：

作PE⊥OA于E，

∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，

∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵∠BOP=∠AOP=15°，

∴∠AOB=30°，

∵PC∥OB，

∴∠ACP=∠AOB=30°，

∴在Rt△PCE中，PE=

PC=

×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），

∴PD=PE=2，

故答案是：

2．

【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．

12．（2019•遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=　35　度．

【分析】由已知条件和等腰三角形的性质可得∠A=∠C=35°，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABD=∠A，问题得解．

【解答】解：

∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，

∴∠A=∠C=35°，

∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=35°，

故答案为：

35．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟记垂直平分线的性质是解题关键．

13．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是　30　．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE=OD=OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．

【解答】解：

如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴OE=OF=OD=3，

∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，

∴S△ABC=

×AB×OE+

×BC×OD+

×AC×OF=

×（AB+BC+AC）×3

=

20×3=30，

故答案为：

30．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．

14．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为　22cm　．

【分析】根据线段垂直平分线性质求出AD=DC，根据△ABD的周长求出AB+BC=14cm，即可求出答案．

【解答】解：

∵DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，

∴AC=2AE=8cm，AD=DC，

∵△ABD的周长为14cm，

∴AB+AD+BD=14cm，

∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm，

∴△ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，

故答案为：

22cm

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能运用性质定理求出AD=DC是解此题的关键，注意：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

15．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是　4　．

【分析】由AB=AC，D是BC的中点，易得AD是BC的垂直平分线，则可证得△ACD≌△ABD，△OCD≌△OBD，△AOC≌△AOB，又由EF是AC的垂直平分线，证得△OCE≌△OAE．

【解答】解：

∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，

∴OC=OB，

在△ACD和△ABD中，

，

∴△ACD≌△ABD（SAS）；

同理：

△COD≌△BOD，

在△AOC和△AOB中，

，

∴△OAC≌△OAB（SSS）；

∵EF是AC的垂直平分线，

∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°，

在Rt△OAE和Rt△OCE中，

，

∴Rt△OAE≌Rt△OCE（HL）．

故答案为：

4．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

16．如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：

①DC=DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤∠BAC=∠BDE．其中正确的是　①②④⑤　（写序号）

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，判断①正确，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠ADE，判断②正确；全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出BE+AC=AB，判断④正确；根据同角的余角相等求出∠BAC=∠BDE，判断⑤正确，并得到③错误．

【解答】解：

∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，

∴DC=DE，故①正确；

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴∠ADC=∠ADE，AC=AE，

∴DA平分∠CDE，故②正确；

BE+AC=BE+AE=AB，故④正确；

∵∠BAC+∠B=90°，

∠BDE+∠B=90°，

∴∠BAC=∠BDE，故⑤正确；

∵∠ADE+∠BAD=90°，而∠BAD≠∠B，

∴∠BDE≠∠ADE，

∴DE平分∠ADB错误，故③错误；

综上所述，正确的有①②④⑤．

故答案为：

①②④⑤．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，求出三角形全等是解题的关键．

三．解答题（共5小题）

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：

∠CAB=∠AED．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论．

【解答】证明：

∵DE是线段AB的垂直平分线，

∴AE=BE，∠ADE=90°，

∴∠EAB=∠B．

在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，

∴∠CAB+∠B=90°．

在Rt△ADE中，

∵∠ADE=90°，

∴∠AED+∠EAB=90°，

∴∠CAB=∠AED．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．

18．如图，已知：

AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．

（1）求证：

AE∥CF；

（2）若AM平分∠FAE，求证：

FE垂直平分AC．

【分析】

（1）先根据AB∥CD得出∠BAC=∠DCA，再由∠BAE=∠DCF可知∠EAM=∠FCM，故可得出结论；

（2）先由AM平分∠FAE得出∠FAM=∠EAM，再根据∠EAM=∠FAM可知∠FAM=∠FCM，故△FAC是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．

【解答】

（1）证明：

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠DCA，

又∵∠BAE=∠DCF，

∴∠EAM=∠FCM，

∴AE∥CF；

（2）证明：

∵AM平分∠FAE，

∴∠FAM=∠EAM，

又∵∠EAM=∠FCM，

∴∠FAM=∠FCM，

∴△FAC是等腰三角形，

又∵AM=CM，

∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．

19．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．

（1）求BC的长；

（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．

【分析】

（1）先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=CE，再根据AD+DE+AE=BD+DE+CE即可得出结论；

（2）先根据线段垂直平分线的性质得出OA=OC=OB，再由∵△OBC的周长为16cm求出OC的长，进而得出结论．

【解答】解：

（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，

∴AD=BD，AE=CE，

∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，

∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，

∴BC=6cm；

（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，

∴OA=OC=OB，

∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，

∴OC+OB=16﹣6=10，

∴OC=5，

∴OA=OC=OB=5．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．