《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2复数平面向量.docx

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《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2复数平面向量

专题之2、复数、平面向量

一、选择题。

1．（2009年复旦大学）设实数r>1,如果复平面上的动点z满足|z|=r,则动点w=z+的轨迹是

A.焦距为4的椭圆

B.焦距为的椭圆

C.焦距为2的椭圆

D.焦距为的椭圆

2．（2009年复旦大学）复平面上点=1+2i关于直线l:

|z−2−2i|=|z|的对称点的复数表示是

A.−i

B.1−i

C.1+i

D.i

3．（2010年复旦大学）在xOy坐标平面上给出定点A（1,2）,B（2,3）,C（2,1）,矩阵将向量,,分别变换成向量,,,如果它们的终点A',B',C'的连线构成直角三角形,斜边为B'C',则k的取值为

A.±2

B.2

C.0

D.0,−2

4．（2010年复旦大学）设复数z=cos+isin,w=sin+icos满足z,则sin（β−α）=

A.±

B.,

C.±

D.,

5．（2010年复旦大学）已知复数=1+,z2=+,则复数z1z2的辐角是

A.

B.

C.

D.

6．（2010年复旦大学）在直角坐标系xOy中,已知点（1,0）,

（,）,（,）,（−1,0）,（,）和（,）,问在向量 （i,j=1,2,3,4,5,6,i≠j）中,不同向量的个数是

A.9

B.15

C.18

D.30

7．（2011年复旦大学）给定平面向量（1,1）,那么,平面向量（,）是将向量（1,1）经过

A.顺时针旋转60°所得

B.顺时针旋转120°所得

C.逆时针旋转60°所得

D.逆时针旋转120°所得

8．（2011年复旦大学）设有复数=,=+isin,令ω=,则复数ω+ω2+ω3+…+ω2011=

A.ω

B.

C.

D.

9．（2011年复旦大学）将复数z=（sin75°+isin15°）3（其中i=））所对应的向量按顺时针方向旋转15°,则所得向量对应的复数是

A.+i

B.+i

C.

D.

10．（2012年复旦大学）设S是Oxy平面上的一个正n边形,中心在原点O处,顶点依次为,,…,,有一个顶点在正y轴上.又设变换σ是将S绕原点O旋转一个角度使得旋转后的图形与原图形重合,

σ−1表示σ的反变换（即旋转角度大小和σ相同但方向相反）,变换τ是将S作关于y轴的对称变换（即将（x,y）变为（−x,y））,στ表示先作变换τ再作变换σ,而τσ,τστ,στστ等的含义类推,则有

A.τστ=σ

B.τστ=σ−1

C.τσ=στ

D.τστσ=σσ

11．（2011年同济大学等九校联考）i为虚数单位,设复数z满足|z|=1,则||的最大值为

A.−1

B.2−

C.+1

D.2+

12．（2011年同济大学等九校联考）向量a,b均为非零向量,（a−2b）⊥a,（b−2a）⊥b,则a,b的夹角为

A.

B.

C.

D.

13．（2010年清华大学等五校联考）设向量a,b满足==1,

a•b=m,则（t∈R）的最小值为

A.2

B.

C.1

D.

14．（2010年清华大学等五校联考）设复数w=（）2,其中a为实数,若w的实部为2,则w的虚部为

A.

B.

C.

D.

15．（2011年清华大学等七校联考）设复数z满足<1且=,则|z|=

A.

B.

C.

D.

16．（2012年清华大学等七校联考）向量a≠e,=1,若∀t∈R,≥,则

A.a⊥e

B.a⊥（a+e）

C.e⊥（a+e）

D.（a+e）⊥（a−e）

17．（2012年清华大学等七校联考）若复数的实部为0,Z是复平面上对应的点,则点Z（x,y）的轨迹是

A.一条直线

B.一条线段

C.一个圆

D.一段圆弧

二、填空题。

18．（2009年南京大学）已知向量a、b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为,则以3a−b和a+b为边的平行四边形的面积为　　　　.

19．（2009年南京大学）z为模大于1的复数,=cosθisinθ.,则z=　　　　.

20．（2012年同济大学等九校联考）直角三角形ABC中,∠A是直角,A为EF中点,且EF与BC夹角为60°,BC=4,EF=2,则•=　　　　.

三、解答题。

21．（2009年清华大学）sint+cost=1,设s=cost+isint,求f（s）=1+s++…+.

22．（2010年北京大学等三校联考）向量,的夹角为θ,=2,=1,=t,=（1−t）,| |=f（t）在t=时取得最小值,若0<<,求θ的取值范围.

k的方程进行求解.=,=,=,故点A',B',C'的坐标分别是A'（2+2k,1）,B'（4+3k,1）,C'（4+k,−1）,由于斜边为B'C',故A'B'⊥A'C',即·=0,即（2+k,0）·（2−k,−2）=0,即（2+k）（2−k）=0,由于2+k=0时,A',B'重合,故只能是2−k=0,即k=2.故选B.

4.C

【解析】直接计算z,根据复数相等的充要条件得出关于α,β的三角函数关系式,通过这个关系式求解.

z=（cosα+isinβ）（sinα−icosβ）=（sinαcosα+sinβcosβ）−（cosαcosβ−

sinαsinβ）i,根据已知可得,sinαcosα+sinβcosβ=,cosαcosβ−

sinαsinβ=0,根据和差化积公式和两角和的余弦公式,得sin（α+β）cos（α−β）=,cos（α+β）=0,由此得cos（α−β）=±,所以sin（β−α）=±.选C.

同的向量的个数是30−6−6=18.选C.

7.C

【解析】向量（1,1）的复数表示是（cos45°+isin45°）,向量（,）= （,）.由于cos105°=,sin105°=,所以向量（,）的复数表示是 （cos105°+isin105°）,即（cos45°+isin45°）（cos60°+isin60°）.选C.

8.A

【解析】ω1=+i=cos+isin,∴ω==cos+isin,

∴ω+ω2+ω3+…+ω2011==ω,选A.

9.A

【解析】z=（sin75°+isin15°）3=（cos15°+isin15°）3=cos45°+isin45°,

所以将其所对应的向量按顺时针方向旋转15°后得到的向量对应的复数为Z=（cos45°+isin45°）[cos（−15°）+isin（−15°）]=cos30°+isin30°=+i.

10.B

【解析】不失不一般性,我们把x轴、y轴对换,并设正n边形的外接圆半径为1.对于复平面

12.B

【解析】先找到向量a,b的模之间的关系,再代入已知表达式求出向量a,b夹角的余弦值,从而a,b的夹角易求.依题知（a−2b）·a=|a|2−2a·b=0,（b−2a）·b=2−2a·b=0,所以|a|2=|b|2,即|a|=|b|,故|a|2−2a·b=|a|2−2|a|2cos=0,可得cos=,又因为0≤≤π,所以=.故选B.

13.D

【解析】|a+tb|2=1+t2+2mt,所以min= .

14.A

【解析】w=（）2===ai,因为w的实部为2,所以a=2,故虚部为.选A.

15.D

【解析】由=得2+1=|z|,解得=2（舍去）,或=.选D.

16.C

19.2（cosθ+isinθ）.

【解析】设z=a+bi,则a−bi+=cosθisinθ.

∴,　（*）两式平方相加得·（a2+b2）=,

解得a2+b2=4或（舍去）.∴a2+b2=4,代入（*）式得a=2cosθ,b=2sinθ,∴z=2（cosθ+isinθ）.

20.1

【解析】如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立一个平面直角坐标系.

先设E在△ABC内,如图1所示.

不妨设∠C=α,则B（4sinα,0）,C（0,4cosα）,E（cos（30°+α）,sin（30°+α））,

F（cos（180°+30°+α）,sin（180°+30°+α））.

=（cos（30°+α）−4sinα,sin（30°+α））,

=（cos（180°+30°+α）,sin（180°+30°+α）−4cosα）.

·=−cos2（30°+α）+4sinαcos（30°+α）−sin2（30°+α）−4cosαsin（30°+α）

=−1+4sin[α−（30°+α）]=−3.

若F在△ABC内,如图2所示,

同理可得·=1.

21.f（s）=

【解析】由sint+cost=1得:

sin（t+）=1,

∴t+=2kπ+或2kπ+（k∈Z）,∴t=2kπ或2kπ+（k∈Z）.

当s≠1时,

f（s）===

=,

显然t=2kπ+（k∈Z）,∴f（s）=.