简单的线性规划问题附答案.docx
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简单的线性规划问题附答案
简单的线性规划问题
[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
知识点一 线性规划中的基本概念
名 称
意 义
约束条件
关于变量x，y的一次不等式（组）
线性约束条件
关于x，y的一次不等式（组）
目标函数
欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于变量x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解（x，y）
可行域
由所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
知识点二 线性规划问题
1．目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by（b≠0）对应的斜截式直线方程是y＝－
x＋
，在y轴上的截距是
，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；
当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．
2．解决简单线性规划问题的一般步骤
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：
“画、移、求、答”四步，即，
（1）画：
根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
（2）移：
运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点（或边界）便是最优解．
（3）求：
解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．
（4）答：
写出答案．
知识点三 简单线性规划问题的实际应用
1．线性规划的实际问题的类型
（1）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；
（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．
常见问题有：
①物资调动问题
例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？
②产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？
2．解答线性规划实际应用题的步骤
（1）模型建立：
正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．
（2）模型求解：
画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
（3）模型应用：
将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．
题型一 求线性目标函数的最值
例1 已知变量x，y满足约束条件
则z＝3x＋y的最大值为（ ）
A．12B．11
C．3D．－1
答案 B
解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由
?
此时z＝3x＋y＝11.
跟踪训练1
（1）x，y满足约束条件
若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）
A.
或－1B．2或
C．2或1D．2或－1
（2）若变量x，y满足约束条件
则z＝3x＋y的最小值为________．
答案
（1）D
（2）1
解析
（1）如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，
故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；
当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
（2）由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z＝3x＋y，即y＝－3x＋z过点（0,1）时z取最小值1.
题型二 非线性目标函数的最值问题
例2 设实数x，y满足约束条件
求
（1）x2＋y2的最小值；
（2）
的最大值．
解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，
（1）令u＝x2＋y2，其几何意义是可行域ABC内任一点（x，y）与原点的距离的平方．
过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x，则垂足为
的解，即
，
又由
得C
，
所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝
＝
，
所以，x2＋y2的最小值为
.
（2）令v＝
，其几何意义是可行域ABC内任一点（x，y）与原点相连的直线l的斜率为v，即v＝
.由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大，
由
（1）知C
，
所以vmax＝
，所以
的最大值为
.
跟踪训练2 已知x，y满足约束条件
则（x＋3）2＋y2的最小值为________．
答案 10
解析 画出可行域（如图所示）．（x＋3）2＋y2即点A（－3,0）与可行域内点（x，y）之间距离的平方．显然AC长度最小，
∴AC2＝（0＋3）2＋（1－0）2＝10，即（x＋3）2＋y2的最小值为10.
题型三 线性规划的实际应用
例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？
解 设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有
z＝300x＋400y，
在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线
300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点（4,4）时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，
最大值是z＝300×4＋400×4＝2800，
即该公司可获得的最大利润是2800元．
反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：
①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．
跟踪训练3 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？
解 设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，
把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为
由
解得
所以A点的坐标为
.
由
解得
所以B点的坐标为
.
所以满足条件的可行域是以A
，B
，
O（0,0）为顶点的三角形区域（如图）．
由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为B
，
但注意到x∈N*，y∈N*，
故取
故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．
1．若直线y＝2x上存在点（x，y）满足约束条件
则实数m的最大值为（ ）
A．－1B．1C.
D．2
2．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件
则z＝10x＋10y的最大值是（ ）
A．80B．85
C．90D．95
3．已知实数x，y满足
则z＝x2＋y2的最小值为________．
一、选择题
1．若点（x,y）位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为（ ）
A．－6B．－2C．0D．2
2．设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝3x－y的最大值为（ ）
A．－4B．0C.
D．4
3．实数x，y满足
则z＝
的取值范围是（ ）
A．[－1,0]B．（－∞，0]
C．[－1，＋∞）D．[－1,1）
4．若满足条件
的整点（x，y）（整点是指横、纵坐标都是整数的点）恰有9个，则整数a的值为（ ）
A．－3B．－2C．－1D．0
5．已知x，y满足
目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为（ ）
A．－1,4B．－1，－3
C．－2，－1D．－1，－2
6．已知x，y满足约束条件
使z＝x＋ay（a＞0）取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（ ）
A．－3B．3C．－1D．1
二、填空题
7．若x，y满足约束条件
则z＝x＋2y的取值范围是________．
8．已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________（答案用区间表示）．
9．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（
，1），则z＝
·
的最大值为________．
10．满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有________个．
11．设实数x，y满足不等式组
则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．
三、解答题
12．已知x，y满足约束条件
目标函数z＝2x－y，求z的最大值和最小值．
13．设不等式组
表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，求a的取值范围．
14．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？
（2）如果只安排生产书橱，可获利润多少？
（3）怎样安排生产可使所得利润最大？
当堂检测答案
1．答案 B
解析 如图，
当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即（m,2m）在直线x＋y－3＝0上，则m＝1.
2．答案 C
解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈N*，计算区域内与
最近的点为（5,4），故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.
3．答案
解析
实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，
故zmin＝
2＝
.
课时精练答案
一、选择题
1．答案 A
解析 画出可行域，如图所示，解得A（－2,2），设z＝2x－y，
把z＝2x－y变形为y＝2x－z，
则直线经过点A时z取得最小值；
所以zmin＝2×（－2）－2＝－6，故选A.
2．答案 D
解析 作出可行域，如图所示．
联立
解得
当目标函数z＝3x－y移到（2,2）时，z＝3x－y有最大值4.
3．答案 D
解析 作出可行域，如图所示，
的几何意义是点（x，y）与点（0,1）连线l的斜率，当直线l过B（1,0）时kl最小，最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行，∴kl＜1.综上，k∈[－1,1）．
4．答案 C
解析
不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点（1,1），（0,0），（1,0），（2,0）．当a＝－1时，正好增加（－1，－1），（0，－1），（1，－1），（2，－1），（3，－1）5个整点．故选C.
5．答案 D
解析 由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点（3,1）和点（1，－1），
∴
解得
6．答案 D
解析 如图，作出可行域，作直线l：
x＋ay＝0，要使目标函数z＝x＋ay（a＞0）取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x＋y＝5重合，故a＝1，选D.
二、填空题
7．答案 [2,6]
解析 如图，作出可行域，
作直线l：
x＋2y＝0，
将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故z的取值范围为[2,6]．
8．答案 [3,8]
解析 作出不等式组
表示的可行域，如图中阴影部分所示．
在可行域内平移直线2x－3y＝0，
当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A（3,1）时，目标函数有最小值zmin＝2×3－3×1＝3；
当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B（1，－2）时，目标函数有最大值zmax＝2×1＋3×2＝8.
所以z∈[3,8]．
9．答案 4
解析 由线性约束条件
画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝
·
＝
x＋y，将其化为y＝－
x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点（
，2）时，z最大，将点（
，2）代入z＝
x＋y，得z的最大值为4.
10．答案 13
解析 |x|＋|y|≤2可化为
作出可行域为如图正方形内部（包括边界），
容易得到整点个数为13个．
11．答案 21
解析 作出可行域（如图），即△ABC所围区域（包括边界），其顶点为A（1,3），B（7,9），C（3,1）
方法一 ∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，
∴x＋2y－4＞0，
则目标函数等价于z＝x＋2y－4，
易得当直线z＝x＋2y－4在点B（7,9）处，目标函数取得最大值zmax＝21.
方法二 z＝|x＋2y－4|＝
·
，
令P（x，y）为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，
则z＝
d，其中d为P（x，y）到直线x＋2y－4＝0的距离．
由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，
故d的最大值为
＝
.
故目标函数zmax＝
·
＝21.
三、解答题
12．解 z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：
2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：
当l移动到l1，即经过点A（5,2）时，zmax＝2×5－2＝8.
当l移动到l2，即过点C（1,4.4）时，
zmin＝2×1－4.4＝－2.4.
13．解 先画出可行域，如图所示，y＝ax必须过图中阴影部分或其边界．
∵A（2,9），∴9＝a2，∴a＝3.
∵a＞1，∴1＜a≤3.
14．解 由题意可画表格如下：
方木料（m3）
五合板（m2）
利润（元）
书桌（张）
0.1
2
80
书橱（个）
0.2
1
120
（1）设只生产书桌x张，可获得利润z元，
则
?
?
0≤x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24000（元），
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元．
（2）设只生产书橱y个，可获得利润z元，
则
?
?
0≤y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54000（元），
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元．
（3）设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，
则
?
z＝80x＋120y.
在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域（如图）．
作直线l：
80x＋120y＝0，即直线l：
2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．
由
解得，点M的坐标为（100,400）．
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56000（元）．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．
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