1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案理.docx

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1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案理

1993年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题共68分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

一、选择题：

本大题共17小题；每小题4分，共68分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

（1）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）

（A）2π

（B）

（C）π

（D）

（2）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）

（A）

（B）

（C）

（D）2

（3）和直线3x－4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）

（A）3x+4y－5=0

（B）3x+4y+5=0

（C）－3x+4y－5=0

（D）－3x+4y+5=0

（4）极坐标方程所表示的曲线是（）

（A）焦点到准线距离为的椭圆

（B）焦点到准线距离为的双曲线右支

（C）焦点到准线距离为的椭圆

（D）焦点到准线距离为的双曲线右支

（5）在[－1，1]上是（）

（A）增函数且是奇函数

（B）增函数且是偶函数

（C）减函数且是奇函数

（D）减函数且是偶函数

（6）的值为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）集合，则（）

（A）M=N

（B）

（C）

（D）Ø

（8）sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（9）参数方程表示（）

（A）双曲线的一支，这支过点

（B）抛物线的一部分，这部分过

（C）双曲线的一支，这支过点

（D）抛物线的一部分，这部分过

（10）若a、b是任意实数，且a>b，则（）

（A）a2>b2

（B）

（C）lg（a－b）>0

（D）

（11）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）

（A）圆

（B）椭圆

（C）双曲线的一支

（D）抛物线

（12）圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（13）（+1）4（x－1）5展开式中x4的系数为（）

（A）－40

（B）10

（C）40

（D）45

（14）直角梯形的一个内角为45º，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）

（A）2π

（B）

（C）

（D）

（15）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）

（A）a1+a8>a4+a5

（B）a1+a8

（C）a1+a8=a4+a5

（D）a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定

（16）设有如下三个命题：

甲：

相交两直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内．

乙：

l，m之中至少有一条与β相交．

丙：

α与β相交．

当甲成立时（）

（A）乙是丙的充分而不必要的条件

（B）乙是丙的必要而不充分的条件

（C）乙是丙的充分且必要的条件

（D）乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

（17）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）

（A）6种

（B）9种

（C）11种

（D）23种

第Ⅱ卷（非选择题共82分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，不要在答题卡上填涂．

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：

本大题共6小题；每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．

（18）=________________

（19）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为_________________

（20）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有______________种取法（用数字作答）．

（21）设f（x）=4x－2x+1，则f－1（0）=_____________

（22）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________________元

（23）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为__________度

三、解答题：

本大题共5小题；共58分．解题应写出文字说明、演算步骤．

（24）（本小题满分10分）

已知f（x）=loga（a>0，a≠1）．

（Ⅰ）求f（x）的定义域；

（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并予以证明；

（Ⅲ）求使f（x）>0的x取值范围．

（25）（本小题满分12分）

已知数列

Sn为其前n项和．计算得

观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．

（26）（本小题满分12分）

已知：

平面α∩平面β=直线a．

α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．

求证：

（Ⅰ）a⊥γ；

（Ⅱ）b⊥γ．

（27）（本小题满分12分）

在面积为1的△PMN中，tg∠PMN=，tg∠MNP=－2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．

（28）（本小题满分12分）

设复数，，并且，，求θ．

1993年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

说明：

1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数．

4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：

本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分．

（1）A

（2）C（3）B（4）B（5）A（6）D（7）C（8）A（9）B（10）D（11）C（12）A（13）D（14）D（15）A（16）C（17）B

二、填空题：

本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．

（18）（19）{k||k|>}（20）100（21）1（22）1760（23）30

三、解答题

（24）本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分．

解（Ⅰ）由对数函数的定义知．——1分

如果，则－1

如果，则不等式组无解．——4分

故f（x）的定义域为（－1，1）

（Ⅱ）∵，

∴f（x）为奇函数．——6分

（Ⅲ）（ⅰ）对a>1，loga等价于

，①

而从（Ⅰ）知1－x>0，故①等价于1+x>1－x，又等价于x>0．故对a>1，当x∈（0，1）时有f（x）>0．——9分

（ⅱ）对0

0<．②

而从（Ⅰ）知1－x>0，故②等价于－10．——12分

（25）本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．满分10分．

解．——4分

证明如下：

（Ⅰ）当n=1时，，等式成立．——6分

（Ⅱ）设当n=k时等式成立，即

——7分

则

由此可知，当n=k+1时等式也成立．——9分

根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，等式对任何n∈N都成立．——10分

（26）本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分．

证法一（Ⅰ）设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．——1分

∵γ⊥α，

∴PM⊥α．

而aα，

∴PM⊥a．

同理PN⊥a．——4分

又PMγ，PNγ，

∴a⊥γ．——6分

（Ⅱ）于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．——7分

∵b∥α，∴b∥a1．

同理b∥a2．——8分

∵a1，a2同过Q且平行于b，

∵a1，a2重合．

又a1α，a2β，

∴a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a．——10分

∵b∥a1，∴b∥a．

而a⊥γ，

∴b⊥γ．——12分

注：

在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．

证法二（Ⅰ）在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ．——1分

∵α⊥γ，P∈α，

∴a′α．

同理a′β．——3分

可见a′是α，β的交线．

因而a′重合于a．——5分

又a′⊥γ，

∴a⊥γ．——6分

（Ⅱ）于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d．——7分

∵b∥α，b∥β．

∴b∥c，b∥d．——8分

又cβ，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d．

于是c∥β．——9分

∵c∥β，cα，α∩β=a，

∴c∥a．——10分

∵b∥c，a∥c，b与a不重合（bα，aα），

∴b∥a．——11分

而a⊥γ，

∴b⊥γ．——12分

注：

在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．

（27）本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．满分12分．

解法一如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M（－c，0），N（c，0）．—1分

由tgM=，tgα=tg（π－∠MNP）=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=（x+c）和y=2（x－c）．将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为（c，c）．——5分

在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故

由题设条件S△MNP=1，∴c=，即P点坐标为．——7分

由两点间的距离公式

，

．

得．——10分

又b2=a2－c2=，故所求椭圆方程为

．——12分

解法二同解法一得，P点的坐标为．——7分

∵点P在椭圆上，且a2=b2+c2．

∴．

化简得3b4－8b2－3=0．

解得b2=3，或b2=（舍去）．——10分

又a2=b2+c2=3+．

故所求椭圆方程为．——12分

解法三同解法一建立坐标系．——1分

∵∠P=∠α－∠PMN，

∴．

∴∠P为锐角．

∴sinP=，cosP=．

而S△MNP=|PM|·|PN