问题提出A11自然数在现代数学中的定义与在.docx

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问题提出A11自然数在现代数学中的定义与在

【问题提出】A1—1  自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？

【释问参考】

最先给出自然数纯逻辑定义的是德国数学家、逻辑学家弗雷格和英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素，他们将每个自然数定义为“可以建立一一对应的所有的有限集组成的集”这一定义被成为“弗雷格—罗素的自然数定义”。

为了建立自然数公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G.皮亚诺在1891年给出了关于自然数的五条公理：

1．0是一个自然数；2．0不是任何其他自然数和后续；3．每一个自然数a都有一个后续；4．如果自然数a与b的后续相等，则a、b也相等。

5．如果一个由自然数组成的集合s包含0，并且当s包含某一个自然数a时，它一定也包含a的后续，那么就包含全体自然数。

为了使自然数这个定义通俗易懂，《小学数学基础理论》教科书将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”，如在教学5的认识时，通过引导学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支枪等等不同物体的集合，然后引导学生寻求这些物体集合的共同点：

“它们都是五个”，“五”就是这些物体集合的共同性质，从而初步形成自然数“五”的概念。

小学数学课本中对自然数的说明是在这样的：

用来表示物体个数的数1，2，3，…就叫自然数。

“0”表示没有东西可数，“0”也是一个自然数，“1”是自然数的单位。

任何一个自然数都是有若干个“1”组成的。

【思考练习】

小学数学课本中关于对自然数的教学的理论依据是（   B ）。

A．“弗雷格—罗素的自然数定义”。

B．《小学数学基础理论》教科书。

C．G.皮亚诺的关于自然数的五条公理。

【问题提出】A1—2  自然数的“基数意义”和“序数意义”有什么不同？

【释问参考】

当自然数0，1，2，…用来表示有限集合中元素的个数时，这样的数叫做“基数”。

如“这幢住宅楼是5层楼”，这里的“5”就是基数。

当自然数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫做“序数”。

如“我住在这幢住宅楼的5楼”，这里的“5”就是序数，表示“第5”的意思。

在一个句子里出现的自然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境来判定（如上文）。

【思考练习】

体育课上，同学们排成一列横队“报数”，排头从“1”开始，报到排尾是“35”，这个“35”（   C ）。

A．表示这一队学生共有35人。

B．表示排尾的学生是第35个。

C．既表示这一队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。

【问题提出】A1—3  自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？

【释问参考】

正整数：

一个一个地数东西而产生的、用来表示物体个数的数1，2，3，…也叫正整数。

当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也没有的情形。

要数的东西一个也没有，就用“0”表示。

0与正整数统称为自然数。

负整数：

为了表示现实世界中具有相反意义的量，人们引入了正数与负数。

如“盈利5元”用“＋5元”表示，“亏损5元”就用“5元”表示。

这种在一个数前添加的用来表示它的“正”、“负”的符号叫做性质符号。

添加了性质符号“＋”或“－”的数分别称为正数和负数。

“0”既不是正数，也不是负数。

正数中的正号可以省略不写。

添加了负号“－”的正整数叫做负整数。

整数：

正整数、零、负整数统称整数。

正整数

自然数

整数零

负整数

【思考练习】

自然数、正整数和整数这三个数概念中，（   C ）的范围最大。

A、自然数            B、正整数              C、整数

【问题提出】A1—4  为什么以前规定“0不是自然数”，现在又规定“0是自然数”？

【释问参考】

1891年，意大利数学家G.皮亚诺在建立自然数的公理化体系时，给出的一个公理就是“0是一个自然数”。

而在我国流传甚广的《范氏大代数》的第一编中，则明确提出：

所谓自然数，就是用符号1,2,3，…分别表示并称为一，二，三……的数。

可见，在各国的学术界，“0是自然数”与“0不是自然数”的观点并存。

现在看来，“0不是自然数”在应用中有其方便之处，而“0是自然数”就数的产生历史而言更为“自然”。

作为数学列强的俄罗斯数学界一直坚持“0不是自然数”。

1949年，中华人民共和国成立后，我国许多学科的教学大纲和教科书都是参照苏联的版本翻译的。

M.K.格列本卡所著的高等学校教学用书算术（第6页）中明确指出：

数（shǔ）树上的苹果时，可能某一棵树一只苹果也没有，这时我们就说这棵树上的苹果数目为0。

0就是没有东西可数。

0作为一个数，不属于自然数。

于是，“0不是自然数”的判断在我国中小学数学课程中广为传播。

20世纪80年代以来，我国实行对外开放，为了便于国际交流，在科技与教育上和国际接轨，1993年颁布的《中华人民共和国归家标准》（GB3100-3102-93）“量和单位”（11-29）第311页规定：

自然数包括0。

随后，中小学数学教材在进行修订时，根据上述国家标准进行了修改。

数物体时如果一个物体也没有，就用0表示。

0也是自然数。

1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准物理科学和技术中使用的数学符号》中，将自然数集记为N=｛0,1,2,3，…｝，而将原自然数集称为非零自然数集N+（或N*）=｛1,2,3，…｝。

我国国家标准局的专家们是从世界各国的两种不同的规定中取其一，希望更有利于国家交流。

规定“0是自然数”后，自然数按约数个数的分类也发生了变化，分为这样四部分：

（1）质数（有且只有2个约数）

（2）合数（有3个或3个以上的约数）

（3）1（只有1个约数）

（4）0（0以外的任何数都是它的约数）

【思考练习】

下面说法中，（     A ）是最恰当的。

A、以前规定“0不是自然数”，现在规定“0是自然数””

B、0是自然数

C、0不是自然数

【问题提出】A1—5  “自然数集”、“自然数列”、“扩大的自然数列”和“非零自然数集”有哪些区别和联系？

自然数列有哪些基本性质？

【释问参考】

自然数集：

所有的自然数组成的集合叫做“自然数集”。

“自然数”和“自然数集”是两个不同的概念。

我们可以说“3是自然数”，但不能说“3是自然数集”。

因为“自然数集”是一个集合概念，即从整体上反映一个集合体的概念。

“自然数”则是非集合概念。

自然数列：

将所有的自然数按照从小到大的顺序排成一列

0，1，2，3……

这样的一列数叫做自然数列。

“自然数列”的项和“自然数集”中的元素是一样的，都必须包括所有的自然数，它们的区别就在于自然数集不讲究所含元素的顺序，而自然数列中所有的自然数都必须按照从小到大的顺序排列。

只要有一处违反了这样的排列顺序，如0，2，1，3…，它就不是自然数列。

当然，少了一个自然数的数集或数列也不再是自然数集或自然数列。

扩大的自然数列：

这是一个应该消亡的数学名词。

当我们认为“0不是自然数”时，把1，2，3…叫做“自然数列”；而将0，1，2，3…称为“扩大的自然数列”。

现在，国家标准重新规定“0是自然数”，因此，后者顺理成章地应该称之为“自然数列”。

“扩大的自然数列”作为一个数学名词已经不再需要。

非零自然数列：

认为0是自然数后，0除外的自然数组成的数列叫做非零自然数列。

自然数列有以下的性质：

（1）有始。

自然数列是从0开始的。

0不是任何其他自然数的后继；

（2）有序。

每一个自然数都有且只有一个后继；除了0，每个自然数都有且只有一个先行数（即紧挨在其前面的一个数）；

（3）无限。

自然数列是一个无限数列。

没有最后的或者说最大的自然数。

【思考练习】

下面的这一列数（    B）自然数列。

0，1，2，4，5，…

A、是                B、不是

【问题提出】A1—6  “计数”、“记数”、“数数”、“写数”各指什么？

什么是计数的基本原理？

为什么我们的计数制和记数制都是十进制的？

【释问参考】

“计数”“数数”:

“计数”就是“数数”。

指的是把一些事物与非零自然数列里的数1，2，3…，建立一一对应的过程。

计数的基本原理是：

只要不遗漏、不重复，计数的结果与计数的顺序无关。

十进制计数法：

计数时，可以一个一个地数，也可以几个几个地数。

如两个两个地数，五个五个地数，十个十个地数，等等。

用一（个）、十、百、千、万……作为计数单位的计数方法，叫做十进制计数法。

这时，每十个较低的计数单位等于一个较高的计数单位。

“记数”“写数”：

“记数”就是“写数”。

指的是如何用数字符号将一个数N（或者计数的结果）记录下来。

十进制记数法：

当我们用十进制计数法弄清了一个数的组成后，就可以按照十进制记数法用数字符号0,1,2,…，9把这个数记录下来。

由于自然数有无限多个，要对每一个自然数都给一个独立的名称和记号是不可能的。

现在国际上通用的记数方法是用0，1，2…，9分别表示自然数列里的前十个数。

其他自然数则用这些数字按“位值原则”表示。

即每个数字占有一个位置，叫做“数位”。

每个数位表示一种计数单位。

同一个数字（0除外）在所记的数里位置不同，所表示的数值也不同。

在所记的数里，从右往左，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位……个位的计数单位是一，十位的计数单位是十，百位的计数单位是百……因为每两个相邻数位的计数单位的进率都是十，所以这种记数的方法叫做十进制计数法。

【思考练习】

自然数5023中的数字“2”根据“位值原则”表示2个（    B  ）。

A、一            B、十            C、百              D、千

【问题提出】A1—7  “数”和“数字”的区别和联系是什么？

【释问参考】

用来记数的符号叫做“数字”。

数和数字是两个不同的概念。

数或为单数，或为双数；或为质数，或为合数。

数字或为罗马数字，或为阿拉伯数字；或为手写的数字，或为印刷的数字。

事实上，数字并不是数，而是表示数的记号。

数是数字所表达的内容而不是数字本身。

我国是世界上的文明古国之一。

在我国，用文字记数已有悠久的历史。

早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已经记有数字。

其中记载的最大的数是“三万”，最小的数是“一”。

一、十、百、千、万各有专名。

特别是当时已经采用了十进制的记数方法，这和现在世界通用的“十进制计数法”是一致的。

【思考练习】

用来记数的符号叫做（   C ）。

A、数                    B、数位                C、数字

【问题提出】A1—8  说“43”是数而不是数字对吗？

【释问参考】

表示数的符号叫做数字。

因为“43”是一个数学符号，在十进制记数法中，用来表示由四个十与三个一组成的自然数，所以它是数字，而且是由数字“4”与“3”排成一列组成的“复合数字”。

同时，“43”也表示一个数，由四个十与三个一组成的数。

另一方面，在一定的语言环境中出现的数字“43”，也可以用来表示一个k进制的自然数，即四个k与三个一组成的数。

在这里，因为出现了数字“4”，所以k≥5。

总之，“43”既是一个数，也是一个数字。

同样，对于任一个用符号表示的自然数来说，它既是一个数，也是一个数字。

当它在一个语句中出现时，究竟何所指，要看特定的语言环境。

【思考练习】

从上文的分析看来，“43”是（    C  ）。

A、一个数              B、一个数字          C、既是一个数，也是一个数字

【问题提出】A1—9  “数的组成”、“数的名称”和“数的读写”有什么联系？

【释问参考】

数的组成：

在认识某个范围内的自然数时，首先要认识这些数的组成。

如认识一个千以内的数，要弄清它是由几个百、几个十与几个一组成的。

为此，可以先用计数单位“百