四边形典型题.docx

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四边形典型题

1.如图，已知矩形ABCD,R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是-（）

A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少

C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定

2.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点,BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，求PB+PE的最小值。

3.如图1，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连结AC、PD.

（1）求证:

△APB≌△DPC；

（2）求证:

∠PAC=∠BAP；

（3）*若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD，如图2，AD∥BC，且BA=AD=DC，形内一点P仍满足AP=AB，PB=PC，试问

（2）中结论还成立吗？

若成立请给予证明：

若不成立,请说明理由.

4.已知,点P是△ABC的边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线,垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点。

（1）如图1，当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是________，QE与QF的数量关系式________；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3,当点P在线段BA（或AB）的延长线上时,此时

（2）中的结论是否成立?

？

请画出图形并给予证明。

5.请设计一种方案：

把正方形ABCD剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，画出必要的示意图．

（1）使拼成的三角形是等腰三角形；（图1）

（2）使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形．（图2）

6.已知下面各图形被一条直线将其面积平分，认真观察图形，用所得到的结论或启示将下面每个图形（或其阴影部分）的面积平分。

（不写画法,保留作图痕迹）

7.如图,，□ABCD中,点E，F在直线AC上（点E在点F左侧），BE∥DF。

（1）求证:

四边形BEDF是平行四边形;

（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2，当四边形BEDF

为矩形时，求线段AE的长。

8.如图,△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE,CF,相交于点D.

（1）求证:

BE=CF;

（2）当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.

9.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.

（1）求证:

四边形ADCE为矩形.

（2）当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?

并给出证明.

10.若a、b、c、d是四边形ABCD的四条边长，且满足a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由.

11.已知：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD．MF=MA

（1）若∠MAD=1200，求证：

AM=2MB；

（2）求证∠MPB=900-∠FCM（提示：

连结MD）

12.如图,△ABC中，D是BC边上的一点，E为AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF.

（1）求证:

BD=CD;

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.

13.在五边形ADBCE中，∠ADB=∠AEC=90°，∠DAB=∠EAC，M、N、O分别为AC、AB、BC的中点．

（1）求证：

△EMO≌△OND；

（2）若AB=AC，且∠BAC=40°，当∠DAB等于多少时，四边形ADOE是菱形，并证明．

14.如图①所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM。

易证DM=FM，DM⊥FM。

（不需写证明过程）

（1）如图②。

当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？

请写出猜想,并给予证明。

（2）如图③，,当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？

请直接写出猜想。

15.如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．

（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；

（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．

16.如图，若ABCD是一个长方形，AB＝2，AD＝1，作点A关于对角线BD的对称点P，求PC的长。

部分答案：

4.解：

（1）AE∥BF，QE=QF，

理由是：

如图1，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，

在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ（AAS），∴QE=QF，

故答案为：

AE∥BF，QE=QF．

（2）QE=QF，

证明：

如图2，延长FQ交AE于D，

∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ，

在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，

∴QE=QF=QD，即QE=QF．

（3）如图3，延长FQ交AE于D，

∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ，

在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，

∴QE=QF=QD，即QE=QF．

5.分析：

（1）找出AB、CD、AD的中点，沿相邻两边的中点剪开，即可拼接成一个等腰三角形；

（2）取AB、CD的中点F和G，还有AD上非中点的点E，沿EG、EF剪开，即可拼接成所求的三角形．

解：

（1）如图

（2）如图

点评：

本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．

补充：

7.解：

（1）证明:

连接BD,交AC于点O,

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD.

∵BE∥DF,∴∠BEO=∠DFO.

又∵∠EOB=∠FOD,∴△BEO≌△DFO.

∴BE=DF.又BE∥DF,∴四边形BEDF是平行四边形.

（2）解:

∵AB⊥AC,AB=4,BC=2，∴AC=6，∴OA=3，∴BO==5.

又∵四边形BEDF是矩形,∴OE=OB=5，

∴点E在OA的延长线上,且AE=2.

8.

（1）解：

证明:

由旋转可知，∠EAF=∠BAC，AF=AC，AE=AB.

∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠BAE=∠CAF.

又∵AB=AC，∴AE=AF，

∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF.

（2）解:

∵四边形ACDE是菱形,AB=AC=1，

∴AC∥DE,DE=AE=AB=1.

又∵∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=∠BAC=45°.

∵∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°，∴∠BAE=90°,

∴BE===.

∴BD=BE-DE=-1.

9.解：

（1）证明:

在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC.

∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线

∴∠MAE=∠CAE，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=1/2×180°=90°.

又∵AD⊥BC,CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形.

解：

（2）:

当∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形，证明下：

∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于D，

∴∠ACD=∠DAC=45°，∴DC=AD.

由

（1）知四边形ADCE是矩形,∴四边形ADCE是正方形.（注：

（2）题答案不唯一.）

10.解:

四边形ABCD是菱形，理由:

因为a4+b4+c4+d4=4abcd，

所以：

a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0，

所以：

（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0，所以a2-b2=0且c2-d2=0且ab-cd=0.

因为a、b、c、d是四边形ABCD的四条边长.

所以a>0，b>0，c>0，d>0，所以a=b=c=d，所以四边形ABCD是菱形.

11.

（1）解:

∵四边形ABCD是菱形,

∴CB=CD，AB∥CD，∴∠1=∠ACD.

∵∠1=∠2，∴∠2=∠ACD，∴MC=MD.

∵ME⊥CD，∴CD=2CE=2，∴BC=CD=2.

（2）证明:

如图,延长DF交AB的延长线于点G.

∵四边形ABCD是菱形,

∴∠BCA=∠DC，BC=CD.

∵BC=2CF，CD=2CE，∴CE=CF.∵CM=CM,

∴△CEM≌△CFM，∴ME=MF.

∵AB∥CD，∴∠2=∠G,∠BCD=∠GBF.

∵CF=BF,∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF.

∵∠1=∠2,∠G=∠2，∴∠1=∠G，

∴AM=GM=MF+GF=DF+ME.

分析：

利用三角形全等来解决线段的有关问题是常见的思考方法,遇到中点延长一倍,是常见的辅助线作法.

12.

（1）证明:

∵AF∥BC，∴∠AFE=∠ECD.

又∵E为AD的中点，∴AE=DE.

在△AFE与△DCE中，,∵

∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF=CD.

又∵AF=BD，∴BD=CD.

（2）解:

当AB=AC时，四边形AFBD是矩形.

证法一:

由

（1）知，D为BC的中点,又∵AB=AC，∴AD⊥BC.

∵AF∥BC，∴∠DAF=∠ADB=90°.

∵△AFE≌△DCE（已证），∴CE=EF.

∴DE为△BCF的中位线，∴DE∥BF.

∴∠FBD=∠EDC=90°，∴四边形AFBD是矩形.

证法二:

∵AF=BD，AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，由

（1）知,D为BC的中点,

又∵AB=AC，∴AD⊥BC（三线合一），即∠BDA=90°.∴AFBD是矩形.

16.解：

连接PD、AC，

∵AB与BP关于BD对称，∴BD是AP的垂直平分线，

∴AD=DP=BC，∴∠DPB=∠DCB=90°，

在△DPE与△BCE中，

∴Rt△DPE≌Rt△BCE，∴PE=CE，DE=EB，

∴∠PCD=∠CDB，

∵∠AFD=∠PFC，∠CDB+∠AFD=90°，

∴∠AFD+∠PCD=90°，∴∠APC=90°，

在Rt△ABD中，AB=2，AD=1，

∴BD===∴AC=BD=

∵BD是AP的垂直平分线，

∴AG=PG，

∵BD•AG=AD•AB，即:

AG=1×2∴AG=2/5

又∵AP=2AG=4/5

在Rt△APC中

PC==.......=3/5