四边形.docx

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四边形

平行四边形的性质

（一）

一、知识点归纳：

1.平行四边形的性质

（1）平行四边形的边：

对边且

（2）平行四边形的角：

对角邻角

（3）平行四边形的面积

2.相关概性质

（1）夹在两条平行线间的

（2）两条平行线的距离：

二、填空题（基础训练）

1．已知平行四边形ABCD,∠A=40º，∠B=∠C=∠D=

2．已知在平行四边形ABCD中，AB=8，周长等于24，求其余三条边的长。

3．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=150°那么∠A=__________，∠D=_________

4．在平行四边形ABCD中，∠A:

∠B=4:

5，那么∠B=__________，∠C=_________

5．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．

6．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．

7．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______．

8．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．

9．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．

第8题图第9题图

10．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．

三、典例分析：

例1：

．已知：

如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：

DE＝BF．

例2：

如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADE的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由．

例3：

已知：

如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．

（1）求证：

DE＝FB；

（2）若DE、CB的延长线交于G点，求证：

CB＝BG．

例4：

已知：

如图，□ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．

求证：

（1）BE＝DF；

（2）BE∥DF．

四、课堂训练：

1．填空：

（1）在

ABCD中，∠A=

，则∠B=º，∠C=º，∠D=º．

（2）如果

ABCD中，∠A—∠B=24º，则∠A=º，∠B=º，∠C=º，∠D=º．

（3）如果

ABCD的周长为28cm，且AB：

BC=2∶5，那么AB=cm，BC=cm．

（4）已知

ABCD的周长为20cm，且AD-AB=1cm，则AD=______，CD=______．

（5）如图，在

ABCD中，∠ADB=40°，∠ABD=85°，则∠C=_____，∠ABC=_______．

（6）已知一个平行四边形的两对角和为214°，则这个平行四边形相邻的两内角的度数分别为_________．

2、解答题：

（1）已知：

□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB＝120°，若以点A为原点，直线AB为x轴，如图所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标．

（2）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：

AF=CE．

平行四边形的性质

（二）

一、知识点归纳：

（1）平行四边形的边：

对边且

（2）平行四边形的角：

对角邻角

（3）平行四边形的面积

（4）平行四边形的对角线：

二、填空题

1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．

2．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是。

3．如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，

AD＝10，则CD＝______；AB与CD的距离为______；AD与BC的距离为______；∠D＝______．

4．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，

则AB＝______，BC＝______．

5．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______．

6．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．

7．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______．

三、典例分析

例1：

已知：

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．

（1）求证：

OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c），

（1）的结论是否成立，说明你的理由？

例2：

已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．

四、课堂训练:

1.填空：

（1）在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是________．

（2）在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是．

（3）平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是（）．

（A）8cm和16cm（B）10cm和16cm（C）8cm和14cm（D）8cm和12cm

2.解答题：

（1）如图，

ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是多少？

（2）平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.若平行四边形ABCD的周长是

20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长

（3）如图在□ABCD中的对角线AC，BD相交与点O。

点E,F分别在AO，CO上，且AE＝CF。

求证：

∠EBO＝∠FDO。

平行四边形的判定

（一）

一、知识点归纳：

1.平行四边形的定义：

有两组对边分别的四边形是平行四边形．

2.平行四边形的性质：

平行四边形的对边，对角，对角线。

3．平行四边形的判定方法：

①两组对边分别的四边形是平行四边形。

②两组对角分别的四边形是平行四边形。

③对角线的四边形是平行四边形。

二、典例分析：

例1已知：

如图

ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．

求证：

四边形BFDE是平行四边形．

例2：

已知，如图，平行四边形ABCD的AC和BD相交于O点，经过O点的直线交DC和AB于E、F，求证：

四边形BEDF是平行四边形。

（用两种方法）

例3：

如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：

四边形EGFH是平行四边形．

三、学生练习：

1.已知：

如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点，求证：

BM∥DN，且BM=DN。

2.已知，如图，AD⊥AC，BC⊥AC且AB=CD，求证：

四边形ABCD是平行四边形.

3．已知：

如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：

O是BD的中点．

4.如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE=CG，AH=CF，

求证：

四边形EFGH是平行四边形。

5.已知：

如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，AE＝CF

求证：

四边形BFDE是平行四边形

平行四边形的判定

（二）

一、知识点归纳：

平行四边形判定

①两组对边分别的四边形是平行四边形。

②两组对边分别的四边形是平行四边形。

③对角线的四边形是平行四边形。

④一组对边且是平行四边形

二、典型例题：

例1、已知：

如图，

ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：

BE=DF．

例2、已知：

如图，

ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：

四边形BEDF是平行四边形．

三、学生训练

1．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）．

（A）AB∥CD，AD=BC（B）∠A=∠B，∠C=∠D

（C）AB=CD，AD=BC（D）AB=AD，CB=CD

2．已知：

如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形，并说明理由．

3、已知：

如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＤＣ上的两点，且ＡＥ＝ＣＦ．求证：

ＢＤ，ＥＦ互相平分

4、已知：

如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｍ，Ｎ在对角线ＡＣ上，且ＡＭ＝ＣＮ．求证：

四边形ＢＭＤＮ是平行四边形．

5、已知：

如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点，点Ｅ，Ｆ在ＡＣ上，且ＡＥ＝ＣＦ．

求证：

四边形ＥＧＦＨ是平四边形．

6、如图，在□ABCD中，E、F分别在DA、BC的延长线上，已知AE＝CF，FA与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S，求证：

四边形RESF是平行四边形．

7、已知：

如图，△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＢ的中点，Ｅ是ＡＣ上的一点，ＥＦ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＢＥ．

（1）猜想：

ＤＦ与ＡＥ间的关系是＿＿＿＿＿＿．

（2）证明你的猜想．

矩形性质1

一、探究新知

思考：

1、怎么样有平行四边形得到矩形？

2、矩形有哪些性质？

边：

角：

对角线：

直角三角形的性质定理：

对称性：

矩形与平行四边形的对比：

性质

类别

边

角

对角线

对称性

平行四边形

矩形

二、典例分析

例1：

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？

变式练习：

1、矩形ABCD被两对角线分成四个小三角形，如果四个三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？

2、矩形ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O，△BOC和△AOB的周长差是4cm，那么矩形各边的长是多少?

例2：

已知：

如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

例3：

已知：

如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：

CE＝EF．

三、学生训练

1、矩形的两条边长是6、8,则矩形的对角线长是_________

2、一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：

3，那么这个矩形的面积是__________

3、矩形的一条对角线与一边的夹角是35°，则对角线相交所成的锐角是____________

4、矩形中较短的边长为3.6cm，两条对角线相交的锐角为60°，则矩形对角线的长度是___________

5、矩形的边长是45cm和20cm，其中一个内角的平分线分较长边为两部分的边长是___________

6、已知：

如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．

矩形性质2

一、学生热身训练：

1.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝2∠BOC，若AC＝18厘米，则AD＝

2.一周长为56的矩形ABCD，O为对角线的交点，△BOC与△AOB的周长之差为4，则AB＝，BC＝

3.矩形相邻两边的比为2：

3，面积为54，则矩形的周长为

4.已知一个边长为4的矩形的面积与一个腰长为4的等腰直角三角形的面积相等，则此矩形的周长为

5.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E、F是AC的三等分点，则△BEF的面积是

6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF的值为：

7.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB＝1，BD＝2，则

∠AOB＝

8.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90○，BC＝45，四边形DEFG是矩形，且DG：

DE＝5：

2，则DE＝，EF＝

9.在矩形ABCD中，M为AD的中点，MB⊥MC，矩形的周长为24，则AB＝BC＝

10.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，BF∥DE，若AD＝12，AB＝7，且AE：

EB＝5：

2，则图中阴影部分的面积为：

11.已知矩形的边长为10和15，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分长分别为、

二、典例分析：

7、如图5，在矩形ABCD中，

，求这个矩形的周长。

8、已知：

如图6，矩形ABCD中，AE平分

交BC于E，若

求：

的度数。

四、课堂检测

1、由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：

3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（）

A、22.5°B、45°C、30°D、60°

2、矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为4.5厘米，则对角线长为。

3、已知：

如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，

于F，若

。

求证：

CE＝EF。

4、如图5，在矩形ABCD中，

，求这个矩形的周长。

5、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F的位置，BF交AD于E，AD=8,AB=4，求△BED的面积。

矩形的判定1

一、知识点归纳：

（一）探究归纳矩形的判定方法：

矩形的定义：

平行四边形是矩形．

矩形判定方法1：

平行四边形是矩形．

矩形判定方法2：

四边形是矩形．

二、典例分析：

例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？

为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）

   （3）四个角都相等的四边形是矩形；（）

     （4）对角线相等的四边形是矩形；（）

     （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）

（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）

（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）

   （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．（）

例2已知

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．

例3：

已知：

如图

（1），

ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：

四边形EFGH是矩形．

例4：

如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，求证：

四边形ABCD是矩形。

三、学生训练：

1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．

A．测量对角线是否相互平分

B．测量两组对边是否分别相等

C．测量一组对角是否都为直角

D．测量其中三角形是否都为直角

2、能判断四边形是矩形的条件是（）

A、两条对角线互相平分B、两条对角线相等

C、两条对角线互相平分且相等D、两条对角线互相垂直。

3、下列说法正确的是（）．

（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形

（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

（C）对角线互相平分的四边形是矩形

（D）对角互补的平行四边形是矩形

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．

5.如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC,∠AEB=∠DEC,证明:

四边形ABCD是矩形.

6.已知：

如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：

四边形ABCD是矩形。

7.已知：

在

ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE，CA=CB，

求证：

四边形AECF是矩形

矩形的判定2

一、知识点归纳：

（一）矩形的判定方法：

矩形的定义：

平行四边形是矩形．

矩形判定方法1：

平行四边形是矩形．

矩形判定方法2：

四边形是矩形．

（二）基础过关

1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相垂直

2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（）

①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．

A．1B．2C．3D．4

3．下列命题中，正确的是（）

A．有一个角是直角的四边形是矩形

B．三个角是直角的多边形是矩形

C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形

4．如图1所示，矩形ABCD中的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形的对角线的长为_____．

图1图2

5．若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD是_____形，若∠AOB=60°，那么AB：

AC=______．

6．如图2所示，已知矩形ABCD周长为24cm，对角线交于点O，OE⊥DC于点E，OF⊥AD于点F，OF-OE=2cm，则AB=______，BC=______．

7.已知

的对角线

，

相交于

，△

是等边三角形，

，求这个平行四边形的面积

二、典例分析：

例1：

如图，M、N分别是平行四边形ABCD对边AD、BC的中点，且AD=2AB，求证：

四边形PMQN是矩形。

三、课堂训练

1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．

A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等

C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三角形是否都为直角

2、能判断四边形是矩形的条件是（）

A、两条对角线互相平分B、两条对角线相等

C、两条对角线互相平分且相等D、两条对角线互相垂直。

3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（）

A菱形B平行四边形

C矩形D不能确定

3、工人师傅为了一个四边形窗框是否是矩形？

他先检验了两组对边分别相等，然后他又量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道其中的道理吗？

5如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论．

菱形性质

一、知识点归纳：

1.矩形的定义：

叫做矩形。

2.矩形的特殊性质：

；；

推论：

。

3.矩形的判定：

；

；

4．我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形：

———菱形．矩形的特殊性是直角，那么菱形的特殊性是什么呢？

什么叫菱形呢？

5【总结归纳】菱形定义：

有叫做菱形．

（1）是平行四边形；

（2）一组邻边相等．

6.【探究菱形的性质】与一般平行四边形相比，菱形具有哪些特殊性质？

⑴猜测

菱形的性质1：

菱形的性质2:

______________

⑵证明菱形的性质

二、例题精练

例 1：

已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．

求证：

∠AFD=∠CBE．

例2：

已知：

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求证：

OE=OF=OG=OH.

例3、如图，四边形ABCD是菱形.对角线AC=8㎝，DB=6㎝，DH⊥AB与H.求DH的长.

三、随堂练习

1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.

2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.

3.菱形的两条对角线的长分别为5cm和12cm，那么菱形的面积是_____.

4．已知菱形花坛ABCD的边长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．

5.已知如图，菱形ABCD中，∠ADC=120°，AC=

㎝，

（1）求BD的长；

（2）求菱形ABCD的面积，

（3）写出A、B、C、D的坐标.

（三）学生训练

1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．

2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积．

3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．

4．已知：

如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求

证：

∠AEF=∠AFE．

5．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为8cm，求菱形的高．

6．四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，

求

（1）对角线AC的长度；

（2）菱形ABCD的面积．

菱形的判定

一、学习目标:

1.通过探究得出菱形的四个判定方法.2.能运用菱形的四个判定方法进行简单的证明.

二、学习过程

（一）知识点归纳：

1．菱形的判定方法之一：

一组邻边的平行四边形叫做菱形.

2.菱形的判定方法之二：

对角线的平行四边形是菱形.

3.菱形的判定方法之三：

四边的四边形是菱形

（二）典例分析：

例1：

如图

的对角线AC，BD相较于点O，且AB=5，AO=4，BO=3求证：

是菱形

例2：

如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC，DF//AB，试说明EF与AD互相垂直平分

例3：

如图

（1）AC是矩形纸片ABCD的对角线，如图（２），将纸片沿AC折叠，使点B落在平面上的点B’处，交CD于点E，然后剪去△AEC外部的三角形，再将纸展开如图（３）．

（１）试说明四边形AECE’的形状．

（２）若将矩形纸片换成平行四边形（１）的结论还成立吗？

课堂练习

1．下列条件不能够判定平行四边形ABCD是菱形的是（）

A．AB=BCB．AC⊥BDC．AD=CDD．AC=BD

2．菱形的面积20cm，一条对角线的长是5cm，则另一条对角线的长为（）

A．4cmB．2cmC．16cmD．8cm

3．在菱形ABCD中，E,F,G,H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中共有菱形（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

4．根据两条对角线的关系判定一个四边形是矩形或菱形的必不可少的条件是

A．对角线相等B．对角线互相垂直

C．对角线互相平分D．对角线垂直且相等

5．下列说法中能判断是菱形的是　（）　　

A.对角线相等且互相平分的四边